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        基于風(fēng)險(xiǎn)管理模式下的最佳投資策略研究

        2014-07-10 12:21:50王浩華
        關(guān)鍵詞:協(xié)方差度量方差

        余 玲,王浩華

        (海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,海南 ???70228)

        近二十年來(lái),由于受經(jīng)濟(jì)全球化、金融一體化、現(xiàn)代金融理論、信息技術(shù)和金融創(chuàng)新等因素的影響,一方面全球金融市場(chǎng)迅猛發(fā)展,越來(lái)越多的國(guó)家和地區(qū)享受經(jīng)濟(jì)一體化與創(chuàng)新所帶來(lái)的好處,另一方面一體化與創(chuàng)新把原先局限于異地的風(fēng)險(xiǎn)帶到了世界經(jīng)濟(jì)這一更廣闊的舞臺(tái),全球范圍內(nèi)匯率、利率、股票價(jià)格以及商品價(jià)格呈現(xiàn)出前所未有的波動(dòng).2008 年深受華爾街金融海嘯的影響,全球風(fēng)險(xiǎn)投資行業(yè)都處于半停滯的狀態(tài),但對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)投資機(jī)構(gòu)來(lái)說(shuō),中國(guó)卻是為數(shù)不多的避風(fēng)港. 因此,不得不正視國(guó)內(nèi)風(fēng)險(xiǎn)投資的現(xiàn)狀,隨著中國(guó)入世,充滿生機(jī)和活力的中國(guó)金融市場(chǎng)同樣充滿著困惑與風(fēng)險(xiǎn).

        目前,國(guó)內(nèi)外有關(guān)CVaR 的研究日趨成熟,已有許多成熟的理論,但仍有待發(fā)展深化. RFLUNG 于2000 年從定義、性質(zhì)及計(jì)算方面對(duì)資本配置進(jìn)行了檢測(cè)分析;NIKOLAS 利用CVaR 對(duì)資本配置進(jìn)行了分析與實(shí)證研究;ROCKAFELLAR[1]等對(duì)CVaR 的優(yōu)化算法和應(yīng)用做了較詳細(xì)的綜述;秦璇[2]等國(guó)內(nèi)學(xué)者在此基礎(chǔ)上也對(duì)CVaR 的概念及優(yōu)化進(jìn)行了簡(jiǎn)單的研究;王建華、李楚霖[3]等則利用CVaR 研究了度量和控制金融風(fēng)險(xiǎn)的新方法. 由于,方差描述的風(fēng)險(xiǎn)既包括損失的不確定性,也包括收益的不確定性,因此投資者的風(fēng)險(xiǎn)感受在期望收益兩側(cè)事實(shí)上是不對(duì)稱的. 這是方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量所固有的缺陷,但若用半方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量卻可以避免類似問題. 于是,筆者主要以風(fēng)險(xiǎn)管理下的投資策略為研究對(duì)象,分別建立了基于方差、半方差的投資組合效用最大化決策模型,并進(jìn)行了對(duì)比和分析,最終得出結(jié)論:當(dāng)面臨資產(chǎn)選擇決策時(shí),用半方差模型所得到的組合種類要比使用均值-方差模型得到的組合種類多,即半方差模型的投資結(jié)果要優(yōu)于均值-方差模型.

        1 基于CVaR 的投資組合優(yōu)化模型

        CVaR[2]是指在一定的時(shí)間T 內(nèi)置信度為α 的情況下,投資者對(duì)收益分布尾部1-α部分的期望值.其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

        CVaR 具有以下性質(zhì)

        1)平移不變性

        2)正齊性

        3)凸性 對(duì)任意隨機(jī)變量y1,y2,當(dāng)時(shí)0 <λ <1,

        定義1 假設(shè)k 種證劵組成的投資組合中,各種證劵所占的投資比例為x = (x1,…,xk)T,其中投資組合的回報(bào)為其中γi表示各項(xiàng)投資的回報(bào)率.

        若用c 表示要求的最低回報(bào)率,則CVaR 模型可以表示為

        2.1 均值-方差模型的有效前沿 投資者在選擇最優(yōu)證劵組合時(shí)會(huì)同時(shí)追求2 個(gè)目標(biāo):1)最大期望收益率;2)最小不確定性(風(fēng)險(xiǎn)). 投資者在t=0 作購(gòu)買證券的決策時(shí),必須在這2 個(gè)矛盾的目標(biāo)中權(quán)衡取舍(trade-off). 此時(shí)有2 種最優(yōu)準(zhǔn)則:當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)值(如方差)給定時(shí),組合的期望收益率最大;當(dāng)期望收益率給定時(shí),組合的風(fēng)險(xiǎn)值最小. 由此得到關(guān)于均值-方差有效期前沿的定義[3].

        定義2 組合X*屬于β(0 <β <1)置信水平下的均值-方差有效前沿?不存在組合X**X 使得E(rX**)≥E(rX*)和σ(rX**)≤σ(rX*)同時(shí)成立,且至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式,而且對(duì)應(yīng)為有效前沿曲線上的點(diǎn).

        推論1 設(shè)E(rX)=r0,則方差最小的證劵組合在前沿上,從而由求前沿上的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的線性約束二次規(guī)劃問題

        其中,e 代表分量為1 的n 維向量,n 為股票數(shù).

        定理1 前沿上的2 個(gè)證劵組合協(xié)方差為

        當(dāng)r0= r1時(shí),證劵組合的方差

        的上半支就是均值- 方差模型為有效前沿.

        證明 對(duì)于問題的求解,首先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

        從而有

        顯然,V 是正定矩陣. 解方程組(1),可以得到λ = (Cr0- A)/D,μ = (B - Ar0)/D,其中A = eTVTR =

        將λ,μ 代入方程組(1),得到在指定收益r0下方差最小的證劵組合

        類似的,指定另外一個(gè)收益r1,在前沿上的證劵組合為

        由式(2)和(3)得到前沿上的2 個(gè)證劵組合協(xié)方差為

        在以標(biāo)準(zhǔn)差為橫軸,均值為縱軸構(gòu)成的坐標(biāo)系中,其圖像是以(0,A/C)為中心,E(rX)= A/C ±為漸近線的開口向右的雙曲線,如圖1 所示.

        圖1 中,雙曲線的頂點(diǎn)在所有證劵組合中是方差最小的點(diǎn),即最小方差證劵組合. 對(duì)于2 個(gè)不同的投資者I1,I2,用無(wú)差異曲線描述其可以接受的均值與相應(yīng)的所愿意承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的無(wú)差異組合,如圖2 所示,其所對(duì)應(yīng)的最佳投資策略分別是圖中點(diǎn)M 與點(diǎn)N.

        圖1 均值-方差模型有效前沿曲線

        圖2 投資者選擇證劵組合示意圖

        2 半方差風(fēng)險(xiǎn)

        馬柯威茨均值-方差模型的一個(gè)重要前提是以資產(chǎn)收益率的方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量的參數(shù),然而方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量不能區(qū)別對(duì)待期望兩側(cè)投資者的不同感受. 因而對(duì)風(fēng)險(xiǎn)度量準(zhǔn)則進(jìn)行改進(jìn),得到半方差風(fēng)險(xiǎn)度量的概念. 在刻畫資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)方面,半方差優(yōu)于方差.均值-方差模型與均值-半方差模型可行域的區(qū)別分別如圖3 和圖4 所示[4].

        圖3 均值-方差模型可行域

        圖4 均值-半方差模型可行域

        顯然圖4 的可行域包含了圖3 的可行域. 從集合的角度看,在一個(gè)更大的集合中所得到的最優(yōu)解一般要優(yōu)于在一個(gè)較小的集合里所得到的最優(yōu)解,至少不會(huì)比后者差.

        定義3[5]設(shè)ri表示第i 個(gè)證劵投資,Ri表示其期望收益,則對(duì)于單個(gè)投資而言投資組合的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)

        其中

        定義4 用風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)作為風(fēng)險(xiǎn)度量因子,用xi表示第i 項(xiàng)投資i = 1,2,…,n,則投資組合的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為其中H-= (hij)n×n為半方差風(fēng)險(xiǎn)的相關(guān)矩陣[6],hij為矩陣中各元素.這種風(fēng)險(xiǎn)度量下的風(fēng)險(xiǎn)模型表示為

        2.1 均值-半方差模型的有效前沿

        定理2 前沿上的2 個(gè)證劵組合協(xié)方差為

        當(dāng)R0= R1時(shí)證劵組合半方差為

        的上半支就是均值-半方差模型為有效前沿.

        證明 研究模型(4)的有效邊界,仿均值-方差模型構(gòu)造拉格朗日乘子的方法來(lái)求解. 其拉格朗日函數(shù)為

        從而有

        顯然,H-也是正定陣,解此方程組,可以得到λ = (Cr0- A)/D,μ = (B - Ar0)/D,其中,A = eTHT,

        將λ,μ 代入方程組(5),得到在指定收益R0下方差最小的證劵組合

        類似的,指定另外一個(gè)收益R1,在前沿上的證劵組合為

        由式(6)和(7)得到前沿上的2 個(gè)證劵組合協(xié)方差為

        在以風(fēng)險(xiǎn)度量為橫軸,以均值為縱軸的坐標(biāo)系中,其圖像是以C(1/C,A/C)為頂點(diǎn)的開口向右的拋物線,如圖5 所示.

        圖5 均值-半方差模型的有效前沿

        從圖5 可以看出,點(diǎn)C 在所有證劵組合中是風(fēng)險(xiǎn)最小的點(diǎn),即最小風(fēng)險(xiǎn)投資組合,有效前沿為曲線在最小方差投資組合的上半部分.

        3 實(shí)證研究

        3.1 數(shù)據(jù)的收集 從國(guó)泰安數(shù)據(jù)庫(kù)中股票市場(chǎng)系列—CSMAR 中國(guó)股票市場(chǎng)交易數(shù)據(jù)庫(kù)中選取了5 支股票作為實(shí)證來(lái)考察收益情況,分別是中國(guó)工商銀行(601398)、天山股份(000877)、蘭花科創(chuàng)(600123)、貴州茅臺(tái)(600519)、中國(guó)平安(601318). 考察時(shí)間跨度為2010 年1 月—2012 年12 月共計(jì)36 個(gè)月的現(xiàn)金紅利在投資的月個(gè)股回報(bào)率.

        表1 股票的月收益率數(shù)據(jù) (%)

        表2 5 支股票的平均收益 (%)

        3.2 數(shù)據(jù)分析與結(jié)果 首先,用jbtest 檢驗(yàn)法對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn),結(jié)果表明5 組數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布,再考察投資組合的2 種風(fēng)險(xiǎn)條件下的投資策略,并進(jìn)行比較.

        1)按照均值-方差模型來(lái)求解,得到其協(xié)方差矩陣為

        利用Matlab 軟件求解,得到其權(quán)重為XT=(0.334 0,0,0.137 9,0.325 6,0.212 5).

        2)按照均值-半方差模型來(lái)求解,得到其協(xié)方差矩陣為

        利用Matlab 軟件求解,得到其權(quán)重為XT=(0.344 6,0,0.133 3,0.337 0,0.185 1).

        2 種不同的模型下,5 支股票的投資比例發(fā)生了微小變化. 雖然在各自的準(zhǔn)則下都達(dá)到了風(fēng)險(xiǎn)最小,但是按照均值-半方差模型來(lái)投資發(fā)生損失的概率比按照均值-方差模型來(lái)投資小. 因而,均值-半方差模型更能表現(xiàn)出投資者的投資意愿.

        組合投資的期望收益rx率從-0.008 開始,每次遞增步長(zhǎng)為0.000 01,到0.012 為止,共201 個(gè)點(diǎn),用以計(jì)算有效邊界,所取的開始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)基本符合要求. 利用Matlab(附錄1)軟件通過(guò)求解線性規(guī)劃得到其基于半方差準(zhǔn)則下的有效邊界曲線,如圖6 所示.

        圖6 股票的有效前沿

        [1]王周偉,姚亞偉.投資組合管理[M].上海:上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社,2010,8 -31.

        [2]秦璇.基于CDaR 模型有效前沿的研究[D].武漢:華中科技大學(xué),2006.

        [3]王建華,李楚霖.度量和控制金融風(fēng)險(xiǎn)的新方法[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào):信息與管理工程版,2002,4(2):60 -63.

        [4]李曉,李紅麗.均值-方差模型與均值-半方差模型的實(shí)證分析[J]. 鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院學(xué)報(bào),2011,29(6):135-139.

        [5]王霞.資產(chǎn)組合橢球分布下的CVaR 及均值-CVaR 有效前沿[D].上海:華東師范大學(xué),2006.

        [6]程春利,單鋒.有效前沿在風(fēng)險(xiǎn)投資組合中的應(yīng)用[J]. 沈陽(yáng)航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2012,29(4):72 -75.

        [7]姜瑋怡.Markowitz 均值-方差模型與RAROC 模型在中國(guó)證券市場(chǎng)的實(shí)證研究[J]. 經(jīng)濟(jì)研究導(dǎo)刊,2010,76(2):103-106.

        [8]郭強(qiáng).投資基金中套牢的選擇性契約分析[J]. 海南大學(xué)學(xué)報(bào):人文社會(huì)科學(xué)版,2007,25(3):263 -267.

        [9]王貞.幾類投資組合優(yōu)化模型及其算法[D].西安:西安電子科技大學(xué),2012.

        [10]周圣.均值-條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值模型有效前沿分析—以含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和持有期為研究視角[J]. 西南交通大學(xué)學(xué)報(bào):社會(huì)科學(xué)版,2012,13(3):122 -126.

        [11]楊大楷,陳偉.認(rèn)證、監(jiān)控及市場(chǎng)權(quán)力—風(fēng)險(xiǎn)投資在IPO 中功能的研究進(jìn)展[J]. 海南大學(xué)學(xué)報(bào):人文社會(huì)科學(xué)版,2012,30(2):106 -110.

        附錄:

        ExpReturn =[0.002178 0.003841 0.011157 0.009427 0.006330];

        ExpCovariance =0.01* [

        0.000 8 0.001 7 0.001 1 0.000 7 0.000 7

        0.001 7 0.008 3 0.004 8 0.002 5 0.002 7

        0.001 1 0.004 8 0.006 9 0.002 3 0.002 2

        0.000 7 0.002 5 0.002 3 0.004 1 0.001

        0.000 7 0.002 7 0.002 2 0.001 0.003 7];

        NumPorts =50;

        [Portrisk,PortReturn,PortWts]=frontcon(ExpReturn,ExpCovariance,NumPorts)

        plot(Portrisk,PortReturn)

        xlabel(‘半方差風(fēng)險(xiǎn)’);

        ylabel(‘期望收益’);

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