周俊東

（阜陽師范學院 數(shù)學與計算科學學院，安徽 阜陽 236037）

Maple在微分幾何實踐教學中的應用

周俊東

（阜陽師范學院 數(shù)學與計算科學學院，安徽 阜陽 236037）

利用Maple的符號計算和圖形繪制功能，以典型實例介紹了Maple在微分幾何實踐教學中應用，改進了微分幾何的教學方法，有利于提高學生的學習興趣和運用軟件解決實際問題的能力。

微分幾何；Maple；曲率；基本形式

微分幾何主要以數(shù)學分析為工具，研究空間形式，并適當采用張量分析的方法討論曲線和曲面的分析性質。開設這門課程旨在使學生掌握三維歐氏空間中曲線和曲面的基本理論，進一步提高分析運算能力和空間想象能力，并為學習黎曼幾何、微分流形等后繼課程打下基礎。在教學中，如何激發(fā)學生對微分幾何的興趣，增強學生解決幾何問題的能力，以提高教學質量，已成為數(shù)學教學改革的重要課題。Maple是一種具有強大符號計算和數(shù)學分析能力的軟件，具有很強的數(shù)據(jù)可視化能力，另外Maple提供了一種結構化的內部編程語言，類似于C、BASIC等第四代高級語言，使用戶可以快速地設計編寫自己的程序。Maple在教學中有著廣泛的應用[1-8]。

本文討論了Maple在微分幾何教學中的應用，它不僅可以簡化計算，而且還可以繪制曲線和曲面的圖形，從而可以更加直觀地幫助學生理解微分幾何的理論。

1 Maple計算功能在微分幾何實踐教學中的應用

微分幾何課程中有一些公式計算比較復雜，例如曲線的曲率和撓率以及曲面的高斯曲率和平均曲率計算。我們可以利用Maple的計算功能輔助計算，提高學生的計算能力。

1.1 空間曲線上任意一點的曲率和撓率計算

曲率和撓率刻畫了空間曲線在一點鄰近的彎曲程度和扭曲情況，曲線論的基本定理證明了除空間位置差別之外，空間曲線形狀可以由曲率和撓率唯一確定。設C3類曲線參數(shù)方程為，則曲率。曲率和撓率是曲線論中的核心概念，根據(jù)公式計算曲率和撓率，比較復雜，我們可以利用Maple來簡化計算。下面以曲線論中的經典曲線——圓柱螺線為例，求圓柱螺線={a cost,a sin t,b t}(-＜t＜)的曲率與撓率。

打開Maple軟件，在主界面輸入程序語句計算曲率和撓率：

1.2 關于曲面第一基本形式和第二基本形式的計算

在Maple命令窗口輸入以下程序語句：

2 Maple的圖形繪制功能在微分幾何實踐教學中的應用

為了加強學生對幾何中一些原理的理解，我們在教學中經常要作圖。手工繪制三維圖形不僅浪費時間，而且制作的圖形也不夠準確；另一方面微分幾何中的原理常常表現(xiàn)為變換中存在不變，為了描述這種現(xiàn)象，就需要作動態(tài)圖。以上問題我們可以采用Maple作圖，根據(jù)所學的幾何原理畫出動態(tài)的幾何圖形。

圓柱螺線和圓錐螺線在曲線論中是兩個經典的例子。圓柱螺線可以看成一個質點圍繞圓柱面的運動軌跡，這個運動可以分解成繞圓柱面勻速轉動和向上勻速直線運動，圓柱螺線具有常的曲率和常的撓率。圓錐螺線稍稍復雜一些，它的曲率和撓率都是變化的。下面我們用Maple軟件繪制圓柱螺線和圓錐螺線的圖形。在Maple中輸入以下程序語句：

繪制出的圖形如下圖1和圖2。

正螺面和懸鏈面是曲面論中典型的例子。正螺面的坐標網是正交的漸進網，是非可展的直紋面，同時又是極小曲面。微分幾何中證明了極小的旋轉曲面一定是懸鏈面，而懸鏈面和正螺面又是等距的。下面我們繪制出正螺面和懸鏈面的圖形，輸入以下程序語句：

繪制出的正螺面如圖3，懸鏈面如圖4。

圖1 圓柱螺線

圖2 圓錐螺線

圖3 正螺面

圖4 懸鏈面

以上利用Maple作出的圖形可以轉換不同的視角給學生觀看，也可以作出動態(tài)的圖形，很好地體現(xiàn)了Maple的繪圖功能在微分幾何教學中的實踐應用性。

3 結束語

Maple為微分幾何實踐教學提供了一個非常好的平臺，它具有超強的符號計算功能和3D繪圖功能。教師運用軟件輔助教學，能夠把抽象的幾何理論形象地展示出來。學生在學習中使用軟件，可以省去大量復雜的手工計算，更加容易接受所學的理論。Maple應用于微分幾何實踐教學可以調動學生的學習興趣，提升學生的計算能力和創(chuàng)新能力，從而獲得更好的教學效果。

[1]阿榮．Maple在線性代數(shù)教學中的應用[J]．高等數(shù)學研究，2013，16(4)：97-99．

[2]周甄川，呂同斌．Maple的圖形繪制功能在高等數(shù)學教學中的應用[J]．黃山學院學報，2010，12(3)：117-119．

[3]胡源艷．Maple在高等代數(shù)與解析幾何教學中的應用[J]．高等函授學報：自然科學版，2012，25(6)：36-39．

[4]朱春蓉，鄭群珍．Maple在常微分方程教學中的應用[J]．河南教育學院學報：自然科學版，2009,18(3)：63-64

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[6]余柏林，程虹，嚴文利．基于Maple的高等代數(shù)與解析幾何可視化教學探究[J]．教育與教學研究，2013，27(1)：72-75.

[7]劉瓊．Maple軟件在復變函數(shù)中的應用[J]．邵陽學院學報：自然科學版，2013,10(1)：21-25．

[8]羅日才．基于Maple的曲面在一點臨近結構的三維可視化教學[J]．高師理科學刊，2010，30(1)：:85-87．

[9]梅向明，黃敬之．微分幾何[M]．北京：高等教育出版社，2008．

[責任編輯：桂傳友]

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1674-1104(2014)03-0126-03

10.13420/j.cnki.jczu.2014.03.037

2013-12-13

國家特色專業(yè)教研項目（TS11496）；安徽省教學研究項目（2012jyxm344）；安徽省教育廳科研項目（KJ2013Z263）。

周俊東（1983-），男，安徽肥東人，阜陽師范學院數(shù)學與計算科學學院講師，碩士，主要研究方向為微分幾何。