仵浩，呂文平

(1. 空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051；2. 中國(guó)人民解放軍94907部隊(duì)，江西 南昌 330000)

0 引言

彈道導(dǎo)彈具有射程遠(yuǎn)、威力大、精度高等優(yōu)良的戰(zhàn)術(shù)性能，在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中兼具實(shí)戰(zhàn)打擊能力和戰(zhàn)略威懾效應(yīng)。因此，發(fā)展導(dǎo)彈防御能力成為軍事強(qiáng)國(guó)競(jìng)相追逐的、制衡彼此的目標(biāo)。目標(biāo)跟蹤作為彈道導(dǎo)彈防御作戰(zhàn)閉合環(huán)路的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其優(yōu)劣程度直接影響整個(gè)防御行動(dòng)的可行性和有效性。考慮到當(dāng)前飽和攻擊及多彈頭突防仍是彈道導(dǎo)彈防御面臨的現(xiàn)實(shí)威脅，本文從彈道導(dǎo)彈防御中的多目標(biāo)跟蹤問題出發(fā)，著重解決其中的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題[1]。對(duì)此，相關(guān)文獻(xiàn)已做了很多有價(jià)值研究和探索，如(按復(fù)雜度的降序排列)多假設(shè)跟蹤(MHT)、多維(SD)分配、聯(lián)合概率數(shù)據(jù)互聯(lián)(JPDA)以及兩維(2D)分配(單掃描處理)算法等[2-9]。雖然，MHT的復(fù)雜度較高，但它對(duì)其他算法卻有非常好的兼容性和一致性[10-11]。本文考慮彈道導(dǎo)彈防御作戰(zhàn)的緊時(shí)性要求，嘗試基于采用線性分配方法(linear assignment programming，LAP)對(duì)MHT關(guān)聯(lián)假設(shè)進(jìn)行簡(jiǎn)化，以降低其復(fù)雜性進(jìn)而滿足導(dǎo)彈防御作戰(zhàn)需求。

1 MHT關(guān)聯(lián)假設(shè)構(gòu)建及概率計(jì)算

在彈道導(dǎo)彈防御多目標(biāo)跟蹤中，為了實(shí)現(xiàn)測(cè)量值與目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)匹配，MHT算法跟蹤過程中需要依據(jù)測(cè)量值和目標(biāo)構(gòu)建多個(gè)假設(shè)的匹配對(duì)，并計(jì)算所有匹配假設(shè)的概率，進(jìn)而依據(jù)概率確認(rèn)并選擇最優(yōu)匹配假設(shè)，從而完成測(cè)量值與目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)。

假設(shè)：

(1) 傳感器探測(cè)過程中，每個(gè)目標(biāo)至多有1個(gè)測(cè)量值；

(2) 每個(gè)測(cè)量值都只與1個(gè)目標(biāo)相關(guān)；

(3) 傳感器測(cè)量數(shù)據(jù)每一步中都得到更新；

(4) 彈道導(dǎo)彈目標(biāo)未采取任何EA(electronic attacts)技術(shù)。

則MHT算法的基本過程如下[12]：

Zk=zk,m,m=1,2,…,mk.

(1)

測(cè)量值在雷達(dá)垂直坐標(biāo)系中定義，zk,m可表示為目標(biāo)在特定坐標(biāo)系中的位置測(cè)量值ξ,γ，ζ的形式，即

zk,m=ξk,m,γk,m,ζk,m.

(2)

(3)

式中：ψh=ψmjh,m=1,2,…,mk；ψmjh表示在每個(gè)關(guān)聯(lián)假設(shè)ψh中第m個(gè)測(cè)量值屬于(來自于)第j個(gè)目標(biāo)，下標(biāo)g為全局指針，h為關(guān)聯(lián)假設(shè)指針。運(yùn)用貝葉斯定律，式(3)可寫為

(4)

令PΩk=C，即為常量，則有

(5)

進(jìn)一步可寫成

(6)

由于每個(gè)關(guān)聯(lián)假設(shè)ψh中的事件組ψmjh之間相互獨(dú)立，則進(jìn)一步可得

(7)

(8)

可得

(9)

(10)

依據(jù)文獻(xiàn)[15-16]，差分為

(11)

(12)

式中：Pj,kk-1為更新后的估計(jì)協(xié)方差；Rk為噪聲協(xié)方差；HΓ,k,j為觀測(cè)矩陣。

表1所示為測(cè)量值-目標(biāo)關(guān)聯(lián)中關(guān)聯(lián)概率矩陣β·的一個(gè)實(shí)例，共有5個(gè)目標(biāo)J=5，7個(gè)測(cè)量值M=7。

2 基于LAP的可行假設(shè)構(gòu)建及最佳關(guān)聯(lián)選擇

最佳關(guān)聯(lián)的確定依據(jù)每個(gè)關(guān)聯(lián)假設(shè)的概率進(jìn)行選擇，在傳統(tǒng)MHT算法中，需要計(jì)算所有假設(shè)的概率(遍歷所有假設(shè))，然后才能選擇出其中概率最大的假設(shè)作為最終的關(guān)聯(lián)。這導(dǎo)致隨著目標(biāo)數(shù)目的增加，采用上述遍歷計(jì)算方法時(shí)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量組合爆炸，難以實(shí)時(shí)應(yīng)用。

為了應(yīng)對(duì)上述問題，可以采取多假設(shè)篩選技術(shù)[17]進(jìn)行處理：即在每次獲得新的測(cè)量值需要進(jìn)行數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的時(shí)候，在所有的關(guān)聯(lián)假設(shè)中預(yù)選擇N個(gè)可行假設(shè)，然后分別計(jì)算這N個(gè)假設(shè)的概率并從中選出最佳假設(shè)實(shí)現(xiàn)測(cè)量值與目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)。這種思想的優(yōu)勢(shì)在于：每次測(cè)量值-目標(biāo)之間關(guān)聯(lián)的過程中，將需要計(jì)算的假設(shè)限定在N個(gè)，只需對(duì)它們的概率進(jìn)行計(jì)算，從而可大大減小每步跟蹤過程中的計(jì)算量，便于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。

然而，如何從大量關(guān)聯(lián)假設(shè)中預(yù)選出這N個(gè)可行假設(shè)則對(duì)MHT算法的有效性非常關(guān)鍵?？紤]到每一步跟蹤過程中可以得到測(cè)量值-目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)概率矩陣β·，因此，可以考慮采用線性分配方法LAP對(duì)β·進(jìn)行處理，從而構(gòu)造出N個(gè)可行假設(shè)。即從β·中的概率大小出發(fā)，優(yōu)先選擇那些概率較大的匹配對(duì)，據(jù)此再構(gòu)建假設(shè)，這樣便可以保證構(gòu)建的假設(shè)是所有可能假設(shè)中概率最大的N個(gè)。

基于上述考慮，建立基于LAP的MHT假設(shè)構(gòu)建方法如下：

(1) 生成關(guān)聯(lián)概率矩陣PA

依據(jù)式(10)～(12)計(jì)算β·中每個(gè)測(cè)量值-目標(biāo)匹配對(duì)的概率Pm,j，構(gòu)建關(guān)聯(lián)概率矩陣

(13)

(2) 對(duì)關(guān)聯(lián)概率矩陣PA中的元素進(jìn)行編號(hào)

編號(hào)方法為在關(guān)聯(lián)概率矩陣PA中從左至右、先行后列(左至右、上至下)依次進(jìn)行。每個(gè)編號(hào)代表測(cè)量值和目標(biāo)之間的一個(gè)匹配對(duì)，且每個(gè)編號(hào)對(duì)應(yīng)一個(gè)概率，構(gòu)建的假設(shè)的概率將依據(jù)這些概率和式(9)進(jìn)行計(jì)算，即

(14)

(15)

(3) 基于LAP進(jìn)行關(guān)聯(lián)假設(shè)構(gòu)建

基于LAP構(gòu)造假設(shè)的宗旨在于構(gòu)造N個(gè)概率相對(duì)最大的可行假設(shè)，因此在可行假設(shè)構(gòu)建過程中，需要不斷在PA依據(jù)概率大小進(jìn)行匹配對(duì)的選擇和移除，即采取2步策略：

第1步：初始選擇(構(gòu)建第1個(gè)假設(shè))。秉持概率最大原則，選擇每個(gè)目標(biāo)與之相關(guān)概率最大的匹配對(duì)組成第1個(gè)假設(shè)，依據(jù)式(14)可知，這種方法構(gòu)建的第1個(gè)假設(shè)的概率將是所有可能假設(shè)中最大的。

第2步：替換迭代(構(gòu)建其余假設(shè))。其余(N-1)個(gè)可行假設(shè)的構(gòu)造方法同樣遵循概率最大原則，方法和上述方法相同，即逐次在之前構(gòu)建的假設(shè)的基礎(chǔ)上進(jìn)行匹配對(duì)的替換(即移除和再選擇，移除其中的某個(gè)匹配對(duì)，并在未被選擇的匹配對(duì)中選擇概率最大的替換)，直至N個(gè)可行假設(shè)全部構(gòu)造完畢。

(4) 選擇概率最大的關(guān)聯(lián)假設(shè)進(jìn)行數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)

得到N個(gè)假設(shè)之后，按概率高低進(jìn)行排序，并從中選擇概率最大的假設(shè)將測(cè)量值與目標(biāo)之間進(jìn)行關(guān)聯(lián)。依據(jù)上述方法對(duì)表1進(jìn)行實(shí)例分析，得到的10個(gè)假設(shè)如表2所示。

表2 10個(gè)關(guān)聯(lián)假設(shè)中的測(cè)量值的匹配目標(biāo)Table 2 Ten matching target of measure value with an assumption of relationship

建立了基于LAP的多假設(shè)構(gòu)造和數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)方法之后，便可以基于EKF建立MHT跟蹤算法，其基本流程如圖1所示。

圖1 基于MHT算法的彈道導(dǎo)彈目標(biāo)跟蹤過程示意圖Fig.1 Progress sketch map of ballistic missiles' target tracking based on MHT algorithm

3 仿真分析

3.1 MHT算法對(duì)鄰近發(fā)射和軌跡交叉的多目標(biāo)的跟蹤能力

首先測(cè)試MHT算法對(duì)多目標(biāo)鄰近發(fā)射和軌跡交叉時(shí)的適用性，將導(dǎo)彈的發(fā)射時(shí)間置于同一時(shí)刻，并運(yùn)用MHT算法進(jìn)行多目標(biāo)跟蹤，仿真結(jié)果如圖2，3所示。

可見，所有彈道導(dǎo)彈均能夠被MHT算法良好跟蹤，且軌跡交叉的彈道導(dǎo)彈也能夠被MHT算法迅速區(qū)分并分別跟蹤。這初步說明本文建立的MHT算法對(duì)鄰近發(fā)射和軌跡交叉的多目標(biāo)具有較好的分辨能力，跟蹤性能較好。

圖2 MHT算法對(duì)雙彈道導(dǎo)彈目標(biāo)的跟蹤效果Fig.2 Tracking effect of MHT algorithm to double ballistic missile targets

圖3 MHT算法對(duì)三彈道導(dǎo)彈目標(biāo)的跟蹤效果Fig.3 The tracking effect of MHT algorithm to three ballistic missile targets

3.2 MHT算法對(duì)變加速度目標(biāo)的跟蹤能力仿真

為了檢驗(yàn)MHT算法在更多種類彈道導(dǎo)彈目標(biāo)跟蹤過程中的適用性，接下來測(cè)試MHT算法對(duì)變加速度目標(biāo)的跟蹤性能。首先，設(shè)2枚彈道導(dǎo)彈同時(shí)發(fā)射，并設(shè)置彈道導(dǎo)彈加速度為非線性(分段推進(jìn))，仿真結(jié)果如圖4a)所示?？梢?，由于彈道導(dǎo)彈在第1級(jí)推進(jìn)結(jié)束之后(80 s)，存在一個(gè)突然減速過程，這導(dǎo)致MHT算法在跟蹤到彈道導(dǎo)彈發(fā)射后80 s時(shí)突然停止，跟蹤失敗。表明上述設(shè)置的MHT算法對(duì)變加速運(yùn)動(dòng)的多目標(biāo)的跟蹤效果并不理想。

但MHT算法對(duì)相同變加速度運(yùn)動(dòng)的單目標(biāo)的跟蹤效果卻非常好，如圖4b)所示。究其原因?yàn)閱文繕?biāo)時(shí)MHT算法無需多目標(biāo)匹配，實(shí)際上就是單目標(biāo)的卡爾曼濾波算法，故跟蹤效果較好。

圖4 MHT算法對(duì)變加速運(yùn)動(dòng)彈道導(dǎo)彈 目標(biāo)助推段的跟蹤效果Fig.4 Boost phase tracking effect of MHT algorithm to ballistic missile targets with variable accelerated motion

圖5 仿真過程中目標(biāo)助推段加速度Fig.5 Boost phase acceleration of target in simulation progress

圖6 跟蹤過程中MHT算法差分變化情況Fig.6 Different change of MTH algorithm in progress of tracking

為了改進(jìn)MHT算法中的上述缺點(diǎn)，采用門限技術(shù)對(duì)其進(jìn)行處理。從MHT的跟蹤過程可知，式(13)給出了每種測(cè)量值和目標(biāo)匹配的概率(也就是對(duì)每種匹配進(jìn)行了打分)，在MHT算法中即要求關(guān)聯(lián)匹配假設(shè)的聯(lián)合概率達(dá)到最大，這也就是使得目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)值和測(cè)量值之間的距離最小。因此，利用差分協(xié)方差建立距離門限為

(16)

式中：G為設(shè)定的門限值。

這就增加了一個(gè)約束：當(dāng)距離D的絕對(duì)值超出門限值G時(shí)，MHT算法將采取簡(jiǎn)單地進(jìn)行匹配，而不進(jìn)行選擇概率最大的匹配。經(jīng)過仿真試驗(yàn)，門限值G設(shè)為2時(shí)，MHT算法具有較好的性能。

下面對(duì)改進(jìn)后的MHT算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真中令MHT算法跟蹤2個(gè)均為兩級(jí)推進(jìn)的彈道導(dǎo)彈，結(jié)果如圖7所示。

圖7 改進(jìn)MHT算法跟蹤同時(shí)發(fā)射雙目標(biāo)Fig.7 Tracking of double target lunched at the same time with improved MTH algorithm

可見，在彈道導(dǎo)彈由一級(jí)轉(zhuǎn)二級(jí)推進(jìn)過程中，MHT算法對(duì)它們的跟蹤存在一個(gè)微小的波動(dòng)，這是因?yàn)榇藭r(shí)，由于距離超出門限值，算法初始化了2個(gè)額外的測(cè)量值(如k=64,j=2;k=65,m=4)，并進(jìn)行了不正確的關(guān)聯(lián)，這種過程大約維持了6個(gè)步長(zhǎng)(即6 s，時(shí)間步長(zhǎng)為1 s)，在MHT算法進(jìn)行到第70個(gè)仿真步長(zhǎng)時(shí)，已經(jīng)收斂到每個(gè)目標(biāo)的真實(shí)飛行軌跡。

更多目標(biāo)的仿真測(cè)試結(jié)果表明，修改后的MHT算法能夠較好地滿足對(duì)多目標(biāo)的跟蹤需求，如圖8所示。圖8中所示為當(dāng)6枚彈道導(dǎo)彈依次間隔2～10 s發(fā)射時(shí)(換級(jí)推進(jìn)發(fā)生在80～90 s)，MHT算法對(duì)這6枚彈道導(dǎo)彈的跟蹤情況，可見MHT算法不僅對(duì)彈道導(dǎo)彈進(jìn)行了良好的跟蹤，對(duì)拋出的一級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)也進(jìn)行有效跟蹤，這有利于進(jìn)行目標(biāo)識(shí)別。

圖8 改進(jìn)MHT算法跟蹤近同時(shí)發(fā)射六目標(biāo)Fig.8 Tracking of six targets lunched almost at the same time with improved MTH algorithm

4 結(jié)束語

本文僅是對(duì)彈道導(dǎo)彈多目標(biāo)跟蹤復(fù)雜性降級(jí)問題的初步嘗試，研究中作了很多簡(jiǎn)化和假設(shè)，特別是對(duì)彈道導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)突防考慮不足。在后續(xù)研究中，若將多目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域的交互式多模型(interacting multiple model，IMM)技術(shù)引入到MHT算法中，將使得多假設(shè)中各分支的分值估計(jì)更準(zhǔn)確，進(jìn)一步改善其對(duì)考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)的彈道導(dǎo)彈的跟蹤性能。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張洪波, 鄭偉, 朱隆魁，等. 彈道導(dǎo)彈進(jìn)攻中多目標(biāo)突防的效能分析[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2007, 28(2):394-397.

ZHANG Hong-bo, ZHENG Wei, ZHU Long-kui, et al. The Effectiveness Analysis of Multi-Target Penetration Ballistic Missile Attack [J]. Journal of Astronautics, 2007, 28(2): 394-397.

[2] PULFORD G W. Taxonomy of Multiple Target Tracking Methods [J]. IEE Proc-Radar Sonar Navig, 2005, 152(5): 291-304.

[3] BLACKMAN S S. Multiple Hypothesis Tracking for Multiple Target Tracking [J]. IEEE A&.E Systems Magazine, 2004, 19(1): 5-18.

[4] Bert Rakdham. Efficient Multiple Hypothesis Track Processing of Boost-Phase Ballistic Missiles Using IMPULSE-Generated Threat Models[D]. U.S. Monterey: Naval Postgraduate School, 2006.

[5] BAR-SHALOM Y,BLACKMAN S S. Dimensionless Function for Multiple Hypothesis Tracking [J]. IEEE Trans on Aerospace and Electronics Systems, 2007, 43(1): 392-400.

[6] POPP R L,PATTIPATI K R,BAR-SHALOM Y. m-Best S-D Assignment Algorithm with Application to Multitarget Tracking[J]. IEEE Trans on Aerospace and Electronics Systems, 2001, 37(1): 22-39.

[7] DEB S, YEDDANAPUDI M, PATTIPATI K R, et al. A Generalized S-D Assignment Algorithm for Multisensor-Multitarget State Estimation [J]. IEEE Trans on Aerospace and Electronic Systems, 1997, 33(2): 523-538.

[8] KIRUBARAJAN T, BAR-SHALOM Y, PATTIPATI K R. Efficient Multisensor Fusion Using Multidimensional Data Association [J]. IEEE Trans on Aerospace and Electronics Systems, 2001, 37(2): 386-398.

[9] 湯軍, 孫偉. 彈道目標(biāo)跟蹤的自適應(yīng)多維分配相關(guān)算法[J]. 彈道學(xué)報(bào), 2011, 23(2): 72-75.

TANG Jun, SUN Wei. Adaptive Multi-Dimension Assignment Algorithm for Tracking Ballistic Target [J]. Journal of Ballistics, 2011, 23(2): 72-75.

[10] 何佳洲, 吳傳利, 周志華，等. 多假設(shè)跟蹤技術(shù)綜述[J]. 火力與指揮控制, 2004, 29(6): 1-4.

HE Jia-zhou, WU Chuan-li, ZHOU Zhi-hua, et al. Survey of Multiple Hypothesis Tracking [J]. Fire Control and Command Control, 2004, 29(6): 1-4.

[11] MORI S. Tracking and Classifying Multiple Targets Without a Priori Identification [J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1986, 31(5): 401-409.

[12] REID D B. An Algorithm for Tracking Multiple Targets [J]. IEEE Transaction on Automatic Control, 1978, 24(6): 1202-1211.

[13] NAGARAJAN V， CHIDAMBARA M R, SHARMA R N. New Approach to Improved Detection and Tracking Performance in Track-While-Scan Radars [J]. IEEE Proceedings, 1987, 134(1): 89-112.

[14] STONE L D, BARLOW C A, CORWIN T L. Bayesian Multiple Target Tracking [M]. Maryland：Artch House,1999.

[15] COX I J, HINGORANI S L. An Efficient Implementation of Reid’s Multiple Hypothesis Tracking Algorithm and Its Evaluation for the Purpose of Visual Tracking [J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1996, 18(2): 138-150.

[16] BAR-SHALOM Y,LI X. Estimation and Tracking-Principles, Techniques, and Software [J]. IEEE Antennas and Propagation, 1996，38(1): 62-63.

[17] DANCHICK R, NEWNAM G E. A Fast Method for Finding the Exact N-Best Hypotheses for Multitarget Tracking [J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1993, 29(2): 555-560.