司文濤，童寧寧，邱程

(空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051)

0 引言

研究表明：散射表面的分維特性將攜帶到散射信號中。在此基礎(chǔ)上1993年研究人員將分形理論引入復(fù)雜背景的信號檢測中，并得到了迅速的發(fā)展。許多文獻(xiàn)研究了分形理論在雷達(dá)目標(biāo)檢測中應(yīng)用[1-6]。這些研究都以實(shí)測數(shù)據(jù)來對理論和方法進(jìn)行驗(yàn)證和說明，具有很強(qiáng)的說服力，但卻不具有普遍性，并且對于大多數(shù)科研人員來說實(shí)測數(shù)據(jù)是難以獲得的，不利于分形理論在雷達(dá)信號檢測領(lǐng)域的進(jìn)一步深入研究和推廣。因此，應(yīng)用分形理論建立海雜波模型顯得尤為必要。

基于分形理論的海雜波建模，分為基于散射機(jī)理模型和簡單的時(shí)域模型2類。文獻(xiàn)[7]給出了海雜波散射機(jī)理模型，但是這種模型的計(jì)算量巨大。相比于散射機(jī)理建模簡單時(shí)域建模可以用一個(gè)比較簡單的迭代函數(shù)系統(tǒng)(Iterated Function System,IFS)和較少的參數(shù)來產(chǎn)生復(fù)雜的雜波信號。在已知雜波背景具有的分形特性和分形參數(shù)的基礎(chǔ)上，可以反演出海雜波的時(shí)間序列。王紅光等利用分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(FBM)模型為海雜波建模。但是，研究表明海雜波背景往往具有多重分形特性[8]，文獻(xiàn)[9-10]并通過加權(quán)組合的方法產(chǎn)生了具有多重分形特征的高頻雷達(dá)海雜波。但是其仿真流程比較復(fù)雜，需要多次判決尋優(yōu)。本文通過對多重分形特征和分式布朗運(yùn)動模型的研究，提出了一種在分式布朗運(yùn)動模型上隨機(jī)抽取一組序列，組成一個(gè)近似多重分形的隨機(jī)過程來模擬海雜波序列。最后通過Matlab仿真說明了仿真得到的隨機(jī)序列具有多重分形的性質(zhì)，可以很好地模擬海雜波。

1 分式布朗運(yùn)動模型

具有自相似性連續(xù)隨機(jī)過程X=xt,t≥0，在 X0=0，滿足如下冪律規(guī)律

Xλt=λHXt, t≥0，

(1)

式中：λ為比例系數(shù)且λ>0；H為Hurst指數(shù)。這個(gè)表達(dá)式被普遍視為自相似隨機(jī)過程的定義式[11]。

分形理論表明了事物內(nèi)部以及事物之間的相似性，分式布朗運(yùn)動模型是分形理論研究中常用的數(shù)學(xué)模型，于1968由Mandelbort和Van Ness提出，并作如下定義：

(2)

式中：BHt為分式布朗運(yùn)動；Bt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動；s為時(shí)間延遲；

(3)

H=TD+1-D，

(4)

式中：TD為拓?fù)渚S數(shù)，對于一維時(shí)間序列，TD=1，所以H=2-D。

分式布朗運(yùn)動的增量為具有自相似性質(zhì)的高斯噪聲，滿足

(5)

式中：

(6)

分式布朗運(yùn)動模型的自相關(guān)函數(shù)為

(7)

其功率譜密度具有如下性質(zhì):

Ff～1/fα,

(8)

其中：α=2H+1，并且滿足1<α<3。

文獻(xiàn)[12]提出了一種基于分形積分模型的分式布朗運(yùn)動時(shí)間序列模型產(chǎn)生方法：將所要得到的時(shí)間序列模型看作有一個(gè)高斯白噪聲輸入到某一線性系統(tǒng)中所產(chǎn)生的輸出。以ht作為系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，所以輸出為

(9)

根據(jù)分式布朗運(yùn)動的性質(zhì)得到傳遞函數(shù)的階躍響應(yīng)序列迭代表達(dá)式為

(10)

2 海雜波多重分形序列模型

Mandelbort等于1997年提出構(gòu)造一個(gè)復(fù)合的分式布朗運(yùn)動Xt=BHTt來模擬具有多重分形性質(zhì)的隨機(jī)過程，其中BHt是一個(gè)分式布朗運(yùn)動，Tt是一個(gè)關(guān)于t的連續(xù)非減隨機(jī)函數(shù)，并且Tt與BHt相互獨(dú)立。

本文采用對分式布朗運(yùn)動隨機(jī)序列進(jìn)行隨機(jī)抽樣的方法，抽樣時(shí)間是遞增的，但是增量Δt(對于離散序列Δt=m)是隨機(jī)的，即

(11)

式中：mk在1,M(M為正整數(shù))區(qū)間內(nèi)取整數(shù)。

為了保證抽樣之后得到的序列具有長程相關(guān)性，所以M的取值不宜過大。采用以上模型，通過Matlab仿真得到圖1～4。圖1為仿真得到的時(shí)間序列；圖2為對仿真得到的時(shí)間序列的幅度進(jìn)行歸一化得到的波形圖；圖3為圖2中歸一化幅度的分布圖；圖4為仿真得到的時(shí)間序列的功率譜密度。圖3中圓點(diǎn)代表時(shí)間序列歸一化幅度的分布情況，實(shí)線代表高斯分布的理論曲線，所以從圖中可見仿真得到的時(shí)間序列相比標(biāo)準(zhǔn)高斯分布有較長的拖尾，具有明顯的非高斯性。

圖1 時(shí)間序列波形圖Fig.1 Simulation sequence oscillogram

圖2 時(shí)間序列的幅度歸一化波形圖Fig.2 Ampitude uniformization oscillogram

圖3 時(shí)間序列的歸一化幅度分布圖Fig.3 Uniformization amplitude distribution graph

圖4 時(shí)間序列功率譜密度圖Fig.4 PSD distribution graph

3 多重分形特性分析

多重分形的重要標(biāo)志有2個(gè)：非高斯性(圖3可以說明)和長程相關(guān)性。仿真得到的時(shí)間序列的時(shí)間相關(guān)性可以由時(shí)間相關(guān)函數(shù)(auto-correlation function，ACF)來表征，其定義為

(12)

時(shí)間序列(如圖1)的相關(guān)函數(shù)曲線如圖5所示。圖中分別畫出了隨機(jī)序列在50點(diǎn)和500點(diǎn)范圍內(nèi)的相關(guān)函數(shù)曲線，從圖5可以看出仿真得到的時(shí)間序列具有長程相關(guān)性。

由隨機(jī)乘法模型得到配分函數(shù)

χqr∝rτq.

(13)

對式(13)兩邊取對數(shù)得到

lnχqr≈τqlnr+C,

(14)

式中：τq為q次相關(guān)指數(shù)；C為常量。

圖5 仿真序列的時(shí)間相關(guān)函數(shù)Fig.5 Sequence time correlation

τq與Dq(廣義維數(shù))存在如下關(guān)系：

τq=q-1Dq.

(15)

如果式(13)成立，并且τq不是q的線性函數(shù)，即認(rèn)為測度是多重分形的[13]。對幅度進(jìn)行歸一化(如圖2所示)

(16)

式中： N=2n為數(shù)據(jù)長度。所以配分函數(shù)

(17)

為了驗(yàn)證式(13)是否成立，可以驗(yàn)證式(14)是否成立。用q階矩結(jié)構(gòu)函數(shù)分割法對仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行處理得到圖6,7。

圖6 ln r～ln χqr曲線Fig.6 ln r～ln χqr curve graph

圖7 q～τq曲線Fig.7 q～τq curve graph

圖6為lnr ～ln(χq(r))曲線，從圖中可見在lnr取4到9時(shí)表現(xiàn)比較好的線性關(guān)系，說明在一定尺度變化范圍內(nèi)仿真模型具有無標(biāo)度性。圖7為q～τq曲線圖，從圖中可見曲線有一個(gè)明顯的折點(diǎn)，說明τq不是q的線性函數(shù)，所以根據(jù)多重分形判定準(zhǔn)則，可以判定仿真得到的時(shí)間序列具有多重分形性質(zhì)。仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[6，9-10]中研究的實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)進(jìn)行對比發(fā)現(xiàn)，其性質(zhì)十分相似。說明了本文模型可以很好地模擬海雜波。

4 結(jié)束語

利用分形理論建模海雜波具有非常大的潛力，本文在研究多重分形特征和分式布朗運(yùn)動模型的基礎(chǔ)上，提出了一種在分式布朗運(yùn)動模型上隨機(jī)抽取一組序列，組成一個(gè)近似多重分形的隨機(jī)過程來模擬海雜波序列的海雜波建模方法。并通過Matlab仿真說明了仿真得到的海雜波序列具有多重分形的性質(zhì)。需要指出的是，本文模型與文獻(xiàn)中研究的實(shí)測數(shù)據(jù)的分形性質(zhì)具有很好的相似性，說明了模型的合理性。對于海雜波分形性質(zhì)及相關(guān)檢測方法的深入研究，具有一定的意義。

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