簡平，鄒鵬，熊偉

(裝備學(xué)院a.研究生管理大隊(duì);b.重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 101416)

0 引言

為應(yīng)對未來戰(zhàn)爭彈道導(dǎo)彈不斷增加的威脅，及時(shí)的預(yù)警和有效的跟蹤越來越重要。與地基、?；?、空基預(yù)警相比，天基預(yù)警系統(tǒng)不受地球曲率的限制，通過星載紅外探測器盡早探測到彈道導(dǎo)彈的發(fā)射，并將信息迅速傳遞給地面中心，能夠提供更加廣闊的更長的預(yù)警時(shí)間和監(jiān)視范圍，以組織有效的反擊。紅外低軌預(yù)警系統(tǒng)通過多星協(xié)同工作對自由段導(dǎo)彈目標(biāo)進(jìn)行捕獲與跟蹤，針對低軌預(yù)警系統(tǒng)的設(shè)計(jì)日益受到廣泛關(guān)注。天基低軌預(yù)警系統(tǒng)設(shè)計(jì)，是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題，要從天基傳感器的特點(diǎn)和系統(tǒng)任務(wù)的要求兩方面出發(fā)，設(shè)計(jì)目標(biāo)是在現(xiàn)有的經(jīng)濟(jì)條件下盡量提高系統(tǒng)的覆蓋性能和監(jiān)視能力。國內(nèi)外對低軌星座系統(tǒng)設(shè)計(jì)已經(jīng)開展了很多研究，近年來對紅外低軌星座系統(tǒng)也有一些涉足。文獻(xiàn)[1]利用改進(jìn)的低軌道星座設(shè)計(jì)方法，研究了以最少的衛(wèi)星來實(shí)現(xiàn)空間一重覆蓋問題。文獻(xiàn)[2-3]探討了多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化的紅外低軌星座設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[4-5]提出了描述空間觀測性能指標(biāo)和基于緯度威脅加權(quán)的觀測性能評估方法，并考慮星座成本及碰撞因素，建立了星座優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，引入GDE3(generalized differential evolution 3)算法對紅外低軌星座進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。以上研究有的只考慮星座對地面的覆蓋特性，不能優(yōu)化星座構(gòu)型，有的對星座構(gòu)型中的離散變量(如衛(wèi)星數(shù)、軌道面數(shù)目)的優(yōu)化設(shè)計(jì)考慮不全面，有的沒有考慮GDE3算法本身性能因素，從而影響了系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的效果。本文在以上研究的基礎(chǔ)上，從影響GED3算法性能的控制參數(shù)著手，研究了自適應(yīng)控制參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，建立了低軌預(yù)警系統(tǒng)優(yōu)化指標(biāo)模型，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，最后進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。

1 自適應(yīng)通用差異演化算法

近些年來，人們通過模擬自然界生態(tài)系統(tǒng)機(jī)制，提出了一系列求解復(fù)雜優(yōu)化問題的仿生優(yōu)化算法，如遺傳算法、蟻群算法、粒子群算法、差異演化算法等，以及S.Kukkonen和Jouni Lampinen等先后提出三代通用差異演化算法[6-8]，為解決低軌預(yù)警系統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了思路。

1.1 通用差異演化算法原理

差異演化算法是一種基于種群演化的實(shí)數(shù)編碼，可以隱并行地搜索解空間的多個(gè)解，產(chǎn)生基于Pareto最優(yōu)概念的多目標(biāo)優(yōu)化的演化算法。通用差異演化算法[6-9]共發(fā)展了3代，GDE3[9]對原有的GDE和GDE2進(jìn)行了改進(jìn)，將DE方法應(yīng)用到具有M個(gè)目標(biāo)函數(shù)和V個(gè)約束函數(shù)的問題。GDE3算法的基本流程：

(1) 輸入初始化參數(shù)D，Gmax，NP≥4，F(xiàn)∈(0,1+]，初始基向量：xlo,xhi。

(3) 交叉變異產(chǎn)生父代個(gè)體的試驗(yàn)個(gè)體。任意選擇r1,r2,r3∈{1,2,…,NP}用來生成xj, i,G的試驗(yàn)個(gè)體，其中r1,r2,r3與i兩兩互異，并產(chǎn)生隨機(jī)參數(shù)jrand=rand(1,D)。則試驗(yàn)個(gè)體uj, i,G的每個(gè)決策變量有

for(j=1;j≤D;j=j+1)

{

if(randj[0,1)

uj,i,G=xj,r3,G+F(xj,r2,G-xj,r1,G)

else

uj,i,G=xj,i,G

}

(1)

CR控制交叉操作，代表試驗(yàn)個(gè)體選擇3個(gè)父代個(gè)體線性組合的概率；F控制問題解的搜索速度和魯棒性。采用這種交叉策略可以確保下一代個(gè)體中至少1個(gè)染色體來源于試驗(yàn)個(gè)體uj,i,G。

(4) 選擇操作。對于2個(gè)不可行解，選擇試驗(yàn)個(gè)體和父代個(gè)體中占優(yōu)的解，如果互不占優(yōu)，則選擇父代個(gè)體；對于可行解和不可行解，選擇可行的個(gè)體；如果試驗(yàn)個(gè)體和父代個(gè)體均可行，選擇占優(yōu)的解，如果互不占優(yōu)，同時(shí)選擇2個(gè)解，且m=m+1。

(5)i=i+1，如果i

(6) 非劣排序。選擇合適個(gè)體，保持G+1代種群規(guī)模為NP。對G+1代的種群PG+1={x1,G+1,x2,G+1,…,xNP,G+1,…,xNP+m,G+1}(規(guī)模為NP到2NP之間)，通過非劣排序和計(jì)算擁擠距離的方法，使得種群規(guī)模為NP。

(7) 若G

(8) 輸出當(dāng)前種群即為Pareto最優(yōu)解。

1.2 控制參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略

控制參數(shù)對差異演化算法的優(yōu)化能力和收斂速度等性能會(huì)產(chǎn)生較大的影響。在通用差異演化算法中主要有3個(gè)控制參數(shù)：種群規(guī)模NP，縮放因子F和交叉概率CR。這3個(gè)參數(shù)是保持不變的，要獲得最優(yōu)的參數(shù)設(shè)置比較困難，因此，有學(xué)者提出了自適應(yīng)調(diào)整控制參數(shù)的策略[10]，在演化過程中F和CR以概率的形式隨種群發(fā)生變化，但未考慮個(gè)體的適應(yīng)度和多目標(biāo)的情況，具有一定的盲目性。相對于NP，差異演化算法的性能對F和CR更敏感[11]，自適應(yīng)技術(shù)主要應(yīng)用于F和CR參數(shù)。當(dāng)利用當(dāng)前的F和CR產(chǎn)生的新個(gè)體的適應(yīng)度優(yōu)于父代個(gè)體時(shí)，說明這2個(gè)參數(shù)是合適的，則無需對這2個(gè)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，基于這種思想并借鑒單目標(biāo)優(yōu)化自適應(yīng)參數(shù)控制方法，將個(gè)體的適應(yīng)度作為參數(shù)調(diào)整的依據(jù)，并結(jié)合一定的調(diào)整概率提出一種新的對F和CR參數(shù)自適應(yīng)控制策略，提高算法的搜索能力。在調(diào)整過程中加入了適應(yīng)度的比較，目標(biāo)是讓縮放因子向當(dāng)前種群中較好的參數(shù)方向取值。具體方法是：對種群個(gè)體采用不同的F和CR，在演化過程中則按如下公式自動(dòng)調(diào)整(以最小化目標(biāo)函數(shù)為例)：

(2)

(3)

式中：randk,k∈1,2,3,4為[0,1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)；Fbest,G為當(dāng)前種群中非劣排序后第1個(gè)體對應(yīng)的縮放因子；ui,Gxi,G表示試驗(yàn)個(gè)體劣于(非支配)父代個(gè)體。

從式(3)和(4)可以看出，如果個(gè)體i用其對應(yīng)的Fi和CRi值生成的新個(gè)體的適應(yīng)度優(yōu)于該個(gè)體當(dāng)前適應(yīng)度，則表明該個(gè)體的縮放因子和交叉概率取值是有效的，保留該縮放因子和交叉概率到下一代。只有在ui,G的適應(yīng)度劣于xi,G的適應(yīng)度值，并且隨機(jī)數(shù)小于調(diào)整概率τ1，τ2時(shí)，才生成新的縮放因子和交叉概率。α是向Fbest,G的趨向率，可表示為

(4)

式中：fj(xbest,G)為當(dāng)前種群中非劣排序后第一的個(gè)體對應(yīng)的第j個(gè)目標(biāo)適應(yīng)值;M為優(yōu)化目標(biāo)數(shù)。

隨著個(gè)體xi,G與種群最優(yōu)個(gè)體幾何平均距離的增加，其對應(yīng)參數(shù)Fi,G+1向Fbest,G的趨向率α也越大，相應(yīng)的隨機(jī)擾動(dòng)越??；當(dāng)個(gè)體xi,G與最優(yōu)個(gè)體接近時(shí)，其對應(yīng)參數(shù)的隨機(jī)擾動(dòng)就會(huì)增加。參數(shù)的自適應(yīng)控制使種群中適應(yīng)度較差的個(gè)體向著種群中的最優(yōu)個(gè)體趨近，提高算法的性能。自適應(yīng)控制參數(shù)的通用差異演化算法(gencralized differential evolution algorithm self-controlled,selfGDE3)的描述如下：

(1) 設(shè)定種群規(guī)模NP，最大演化代數(shù)Gmax及τ1，τ2的值；

(2) 隨機(jī)初始化種群及種群中每個(gè)個(gè)體對應(yīng)的參數(shù)Fi和CRi，G=0；

(3)i=0；

(4) 利用個(gè)體xi(t)對應(yīng)的參數(shù)Fi和CRi，按照GDE3算法的工作策略執(zhí)行變異、交叉和選擇操作，生成新一代個(gè)體xi,G+1；

(5) 按照式(4)計(jì)算趨向率α；

(6) 按照式(2)和式(3)更新個(gè)體xi,G+1對應(yīng)的Fi,G+1，CRi ,G+1；

(7)i=i+1；

(8) 如果i

(9) 通過快速非劣排序保持種群規(guī)模為NP；

(10) 如果G

(11) 輸出當(dāng)前種群即為Pareto最優(yōu)解。

2 低軌預(yù)警系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)建模

2.1 空間覆蓋建模

凝視傳感器探測視場對關(guān)注空域的覆蓋性能反映了低軌星座對深空背景目標(biāo)的探測能力。根據(jù)所需分析圓球面Λn的半徑Rn與衛(wèi)星軌道半徑Rs和最小指向角時(shí)的工作切線半徑Rm的位置關(guān)系不同，對應(yīng)的空間覆蓋范圍也不同[12]。根據(jù)圖1分析目標(biāo)的覆蓋情況：

圖1 覆蓋分析示意圖Fig.1 Picture of coverage analysis

(4) 當(dāng)目標(biāo)所處的圓球面Λn的半徑Rn在傳感器的最小指向角切線高度以內(nèi)時(shí)，即OH≤Rn≤Re，Re為地球半徑。由于球面Λn不在衛(wèi)星S傳感器的視線范圍內(nèi)，因此目標(biāo)不能被衛(wèi)星S覆蓋和探測。

在優(yōu)化設(shè)計(jì)中以平均N重幾何覆蓋面積百分比CovNg為覆蓋優(yōu)化目標(biāo)：

(5)

式中：T為時(shí)間周期推進(jìn)時(shí)間點(diǎn)數(shù)；Ssum為被分析空間區(qū)域的面積；P為其點(diǎn)區(qū)域總數(shù)。

以Sj表示某一點(diǎn)區(qū)域j的面積，點(diǎn)區(qū)域特征點(diǎn)被覆蓋即認(rèn)為該點(diǎn)區(qū)域被覆蓋，kij表示某一時(shí)刻i對點(diǎn)區(qū)域的覆蓋重?cái)?shù)。由于2顆衛(wèi)星即能對目標(biāo)形成立體觀測，本文選取N為2，并在優(yōu)化過程中采用網(wǎng)格點(diǎn)仿真方法求取覆蓋優(yōu)化指標(biāo)。

2.2 定位精度建模

在低軌紅外預(yù)警系統(tǒng)中，需要2顆或以上衛(wèi)星對目標(biāo)進(jìn)行定位，簡化描述目標(biāo)與衛(wèi)星幾何關(guān)系對跟蹤精度的影響，可將其幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化到二維平面內(nèi)，定位系統(tǒng)可抽象為一個(gè)只測角定位系統(tǒng)，從每顆衛(wèi)星獲得兩維像平面觀測[13]。通常使用GDOP度量描述預(yù)警衛(wèi)星對目標(biāo)的定位誤差。GDOP定義如下：

(6)

(7)

(8)

式中：Pθ為目標(biāo)的定位誤差協(xié)方差矩陣；θ1和θ2為2個(gè)衛(wèi)星分別測得目標(biāo)的觀測角。

GDOP越小精度越高。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中以平均定位精度GDOPavg為優(yōu)化目標(biāo)：

(9)

式中：T為時(shí)間周期推進(jìn)時(shí)間點(diǎn)數(shù)；P為某一時(shí)間點(diǎn)區(qū)域總數(shù)；Psum為T和P的乘積。GDOPi，j為i時(shí)間點(diǎn)j網(wǎng)格區(qū)域的定位精度，如果系統(tǒng)對目標(biāo)的覆蓋在2重以上，需要兩兩計(jì)算衛(wèi)星對目標(biāo)的定位精度取最小值作為GDOPi，j值。

2.3 星座成本模型

衛(wèi)星數(shù)量是影響星座成本的主要因素，在衛(wèi)星數(shù)目一定的情況下，軌道面數(shù)越少成本越低，軌道高度越低軌道傾角越低，則所需的發(fā)射能量越小，成本也隨之減少。單星成本估算主要考慮其制造、發(fā)射和保險(xiǎn)成本，這3方面與衛(wèi)星質(zhì)量、軌道高度密切相關(guān)。衛(wèi)星星座成本(以Ccons表示，億美元)估算如下[5]：

(10)

式中：β為保險(xiǎn)費(fèi)所占比例，一般為0.2；h為衛(wèi)星軌道高度，km；λ1，λ2和λ3為權(quán)重因子，λ1+λ2+λ3=1；P為軌道面數(shù)；N為星座衛(wèi)星配置數(shù)量；i為衛(wèi)星軌道傾角，(°)；ih和i1為軌道傾角的上下限值。

3 基于selfGDE3的系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

采用基于selfGDE3算法對天基低軌預(yù)警星座系統(tǒng)設(shè)計(jì)，在仿真時(shí)間內(nèi)對覆蓋性能、定位精度和星座成本設(shè)計(jì)目標(biāo)的計(jì)算值為個(gè)體的3個(gè)適應(yīng)度，作為進(jìn)化個(gè)體的一部分。下面就低軌預(yù)警星座系統(tǒng)個(gè)體編碼、優(yōu)化設(shè)計(jì)相關(guān)問題進(jìn)行實(shí)例分析。

3.1 多目標(biāo)函數(shù)及編碼

本模型的決策變量代表星座系統(tǒng)參數(shù)的選擇。Walker星座具有良好的全球覆蓋特性，對于紅外低軌系統(tǒng)，一般采用的星座構(gòu)型為Walker星座，星座由7個(gè)要素確定：衛(wèi)星數(shù)量(S)，軌道面數(shù)(P)，諧參數(shù)(F)，軌道高度(h)，軌道傾角(I)，第一軌道面升交點(diǎn)赤經(jīng)(Ω0)，第一軌道面第1顆衛(wèi)星初始時(shí)刻緯度幅角(u0)。Walker星座中第i軌道面上第j顆衛(wèi)星的升交點(diǎn)赤經(jīng)Ωi,j和緯度幅角ui,j就可表示為

(11)

(12)

運(yùn)用selfGDE3算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，有如下特殊情況需要說明：

(1) 離散型變量的編碼問題

由于星座系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的變量S，P和F屬于離散型的整數(shù)，因此在對這幾個(gè)變量的交叉變異后需要取整數(shù)，保證衛(wèi)星數(shù)量(S)能夠整除軌道面數(shù)(P)，如果S不能整除P，則

S=S+P-mod(S,P) .

(13)

(2) 趨向率問題

由于在低軌預(yù)警系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的有關(guān)覆蓋率優(yōu)化目標(biāo)為：1-CovNg，取最小值，如果覆蓋率達(dá)到100%，f1(xbest,G)趨近于0，因此趨向率式(4)中求和的分母接近0，程序中無法計(jì)算，因此針對預(yù)警系統(tǒng)的覆蓋優(yōu)化目標(biāo)將趨向率改為

(14)

3.2 仿真參數(shù)

地球模型為圓模型，紅外感器探測距離范圍為0～7 000 km，俯仰方向光軸指向范圍為-180°～180°，水平方位光軸指向方位為-90°～90°，引入的測角誤差為80 μrad，λ1，λ2和λ3分別為0.5，0.4和0.1，觀測空間：高度范圍20～600 km；緯度范圍為-30°～30°；經(jīng)度范圍為-180°～180°，selfGDE3算法參數(shù)CR和F為0.8，調(diào)整概率τ1和τ2取0.9，種群規(guī)模為50，進(jìn)化代數(shù)100。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及系統(tǒng)性能分析

在本文的仿真參數(shù)條件下，采用selfGDE3算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，得到多種優(yōu)化方案及性能指標(biāo)，如表1中的1～10方案。

表1 星座系統(tǒng)方案Table 1 Data of preliminary constellations

其中表中的方案a為文獻(xiàn)[5]采用GDE3優(yōu)化設(shè)計(jì)方法得出的較佳系統(tǒng)星座方案，方案b是文獻(xiàn)[2]采用多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)方法得出的最佳星座系統(tǒng)方案，方案中的性能指標(biāo)值是根據(jù)本文的優(yōu)化模型求得的。根據(jù)不同的考慮側(cè)重因素，可以初步選擇不同目標(biāo)相對較好的不同星座系統(tǒng)方案，如果關(guān)注點(diǎn)較為分散(不是特定某一優(yōu)化目標(biāo))，在最終選擇方案時(shí)需要綜合考慮各個(gè)因素，選擇一個(gè)使各個(gè)目標(biāo)都較優(yōu)的綜合性的方案。一種基于理想點(diǎn)的方法[14]可用來處理這種情況下的多目標(biāo)方案選擇的決策問題。本文選擇方案6作為最優(yōu)星座。

本文選擇方案6與方案b進(jìn)行星座系統(tǒng)性能仿真對比分析(在仿真中，方案b的Ω0，u0參數(shù)是隨機(jī)產(chǎn)生)。在本文的仿真條件下，與方案b相比，方案6的平均二重覆蓋百分比高1.1%，平均定位精度值小159.752 m，星座成本少0.61億美元，針對不同高度，2個(gè)方案的二重覆蓋率對比如圖2所示。方案6在高度260 km左右達(dá)到100%二重覆蓋率，而方案b在310 km左右才達(dá)到100%二重覆蓋率，在此高度之前，方案6的二重覆蓋率都比方案b高。2個(gè)方案的定位精度隨高度變化的對比如圖3所示。方案6在不同高度下定位精度值都低于方案b的值，定位效果明顯好于方案b。

圖2 方案6和b二重覆蓋隨高度變化對比圖Fig.2 Comparison of 2-cover by altitude to scheme 6 and b

圖3 方案6和b平均定位精度隨高度變化對比圖Fig.3 Comparison of positioning precision by altitude to scheme 6 and b

通過以上的仿真分析可以看出，本文方法設(shè)計(jì)的方案6的性能整體優(yōu)于方案b，驗(yàn)證了selfGDE3優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。對于2個(gè)非支配方案解6和7，如果考慮覆蓋率和成本，選擇方案7更合適，否則可以選擇方案6。

4 結(jié)束語

本文提出了自適應(yīng)控制參數(shù)的差異演化算法，建立了低軌預(yù)警系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的空間覆蓋模型、定位精度模型和星座成本計(jì)算模型，確定了優(yōu)化設(shè)計(jì)中具體的編碼方案和遺傳操作算子，解決了低軌預(yù)警星座系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的離散變量選取、優(yōu)化參數(shù)自適應(yīng)控制的問題。通過仿真可以得出低軌星座方案，并通過性能仿真驗(yàn)證了本文所研究的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性和優(yōu)越性。本文所建立的低軌預(yù)警系統(tǒng)的優(yōu)化模型、提出的基于selfGDE3的系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可為紅外低軌預(yù)警星座系統(tǒng)研究提供方法基礎(chǔ)和參考，為進(jìn)一步開展天基低軌預(yù)警系統(tǒng)應(yīng)用研究(如面向?qū)椄櫟奶旎A(yù)警系統(tǒng)任務(wù)規(guī)劃和傳感器資源調(diào)度研究)奠定基礎(chǔ)。

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