李文學(xué)

摘 要：電場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算在工程中有很大的應(yīng)用價(jià)值，為此介紹了3種常用的電場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法：模擬電荷法、有限差分法、有限元法。主要分析和比較了三種方法的原理、解題步驟和優(yōu)缺點(diǎn)，三種方法的適用場(chǎng)合略有差別，指出了有限元法是比較適合實(shí)際工程計(jì)算電場(chǎng)的方法。

關(guān)鍵詞：電場(chǎng)數(shù)值計(jì)算；模擬電荷法；有限差分法；有限元法

0 引言

目前，我國(guó)電力系統(tǒng)正在大力建設(shè)特高壓交流、直流輸電線路，隨著輸電線路電壓等級(jí)的提高，將會(huì)帶來一系列的問題，如設(shè)備的選型、電磁干擾、絕緣間隙的設(shè)計(jì)等，這些問題和電場(chǎng)的數(shù)值和分布都有著緊密的關(guān)系，因此有必要明確高壓輸電線路各個(gè)關(guān)鍵部位的電場(chǎng)數(shù)值以及分布，以便于指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)[1]。

電場(chǎng)的測(cè)量和數(shù)值計(jì)算是兩種常用的確定電場(chǎng)數(shù)值以及分布的方法。電場(chǎng)測(cè)量的結(jié)果比較精確，但是需要大量的人力、物力和時(shí)間，而且由于工況的不同，使得電場(chǎng)測(cè)量不能窮舉，而電場(chǎng)數(shù)值計(jì)算能夠克服電場(chǎng)測(cè)量的缺點(diǎn)，并且計(jì)算出來的結(jié)果具有一定的指導(dǎo)意義，因此廣泛被工程和科研人員接受，用來計(jì)算輸變電設(shè)備的電場(chǎng)分布、均壓環(huán)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化等[2]。常用的電場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法有模擬電荷法、有限差分法和有限元法。本文介紹了三種電場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法的原理和解題步驟，并從解決問題的普遍性、消耗的計(jì)算機(jī)資源等方面分析了不同方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

1 模擬電荷法

模擬電荷法是基于靜電場(chǎng)唯一性定理提出來的能夠求解靜電場(chǎng)問題的方法，通過虛設(shè)電荷的方法可以使電場(chǎng)在計(jì)算域內(nèi)滿足原始的邊界條件和分界面條件，然后對(duì)虛設(shè)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)進(jìn)行疊加，從而求出未知的物理量。

1.1 靜電場(chǎng)唯一性定理的證明

在靜電場(chǎng)下，磁場(chǎng)的變化可以忽略，因此麥克斯韋方程組的微分形式為也即。根據(jù)求解域邊界條件的不同，可將靜電場(chǎng)問題分為以下兩種情況：狄利克雷問題和紐曼問題，它們分別表示為

和 。

如果和是同一個(gè)邊值問題的兩個(gè)解，令，則=0。根據(jù)格林第一公式可知，無論是狄利克雷問題還是紐曼問題，都有=0，因此要想滿足上式成立，必有=0，所以=c（c為常數(shù)）。

因此，對(duì)于狄利克雷問題和紐曼問題，解是唯一確定的，由此證明了靜電場(chǎng)定理的唯一性，也即模擬電荷法的準(zhǔn)確性。

1.2 模擬電荷法的優(yōu)缺點(diǎn)

模擬電荷法并沒有對(duì)求解的微分方程或者未知函數(shù)做近似，因此只要虛設(shè)電荷滿足邊界條件和分界面條件，所求得的結(jié)果將是準(zhǔn)確的，然后由于實(shí)際工程的復(fù)雜性，使得確定虛設(shè)電荷的位置和類型存在很大的困難，因此模擬電荷法僅適用于具有簡(jiǎn)單邊界條件和分界面條件的情況。

2 有限差分法

2.1 有限差分法的原理

有限差分法是將連續(xù)的求解區(qū)域用離散的點(diǎn)來代替，使得原方程中的微分形式轉(zhuǎn)化為差分形式，進(jìn)而通過求解代數(shù)方程得到近似結(jié)果，其實(shí)質(zhì)是算子的近似。

根據(jù)泰勒展開式定理，如果定義在一個(gè)包含x的區(qū)間上的函數(shù)在x處n+1次可導(dǎo)，那么對(duì)于在這個(gè)區(qū)間的任意，都有：

（11）

令，帶入上式有：

（12）

根據(jù)差分形式的不同，可以將有限差分法分為前向差分、后向差分和中心差分三種不同的形式。

2.2 有限差分法的解題步驟

有限差分法的解題步驟是首先將求解域離散為網(wǎng)格，然后在網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)上用差分方程近似表示微分方程，計(jì)算結(jié)果的精度和網(wǎng)格的疏密有關(guān)，如果網(wǎng)格足夠密，那么結(jié)果將足夠準(zhǔn)確，然后過密的網(wǎng)格將使計(jì)算量增大，因此在計(jì)算時(shí)因合理劃分網(wǎng)格，在求解的重點(diǎn)區(qū)域?qū)⒕W(wǎng)格劃密一點(diǎn)，在非重點(diǎn)區(qū)域?qū)⒕W(wǎng)格劃疏一點(diǎn)，這樣能保證結(jié)果精確的同時(shí)也能減小計(jì)算量。

2.3 有限差分法的優(yōu)缺點(diǎn)

有限差分法能夠解決復(fù)雜的偏微分問題，特別是求解以空間坐標(biāo)（歐拉坐標(biāo)系）為基礎(chǔ)的流體問題，有限差分法有很大的優(yōu)勢(shì)，因此在流體力學(xué)計(jì)算中，有限差分法仍然占據(jù)著舉足輕重的位置，然后靜電場(chǎng)問題以物體坐標(biāo)（拉格朗日坐標(biāo)系）為基礎(chǔ)，因此有限差分法也有一定的局限性。

3 有限元法

3.1 有限元法的原理

有限元法由美國(guó)在1960年提出，通過剖分網(wǎng)格的方法，將計(jì)算場(chǎng)域離散為單元的組合，然后在每個(gè)單元上對(duì)未知函數(shù)進(jìn)行近似，然后采用加權(quán)余量法來消除近似產(chǎn)生的誤差。

3.2 有限元法的解題步驟

有限元法由于在各個(gè)單元上進(jìn)行函數(shù)近似，因此首先也得對(duì)整個(gè)場(chǎng)域劃分網(wǎng)格，然后根據(jù)劃分的網(wǎng)格單元，根據(jù)空間維數(shù)的不同，可以分為線單元、二維單元和三維單元，其中二維單元可以分為三角形單元和四邊形單元；三維單元分為四面體單元和六面體單元。

3.3 有限元法的優(yōu)缺點(diǎn)

有限元法應(yīng)用廣泛，既能夠解決結(jié)構(gòu)問題，也能夠解決非結(jié)構(gòu)問題，對(duì)于不同的材料，僅僅會(huì)影響其單元矩陣前面的系數(shù)，使得有限元法在處理不同材料構(gòu)成的場(chǎng)域時(shí)有著巨大的優(yōu)勢(shì)，然后有限元法也存在一些不足，比如對(duì)于復(fù)雜工程問題，需要耗費(fèi)大量的計(jì)算資源；對(duì)于邊界條件和載荷的加載要求必須準(zhǔn)確，否則結(jié)果會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，因此需要計(jì)算人員有較強(qiáng)的理論功底，另外網(wǎng)格劃分也需要一定的基礎(chǔ)，網(wǎng)格的質(zhì)量將會(huì)決定計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)論

本文介紹了目前幾種常用的電場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法的原理和簡(jiǎn)要計(jì)算步驟，分析了各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，指出模擬電荷法雖然精度高但僅僅適用于場(chǎng)域和邊界條件比較簡(jiǎn)單的情況；有限元法能夠計(jì)算復(fù)雜場(chǎng)域和邊界條件下的電場(chǎng)并且能夠解決以物體坐標(biāo)為基礎(chǔ)的微分方程，因此有限元法更適合于電場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉振亞.中國(guó)特高壓交流輸電技術(shù)創(chuàng)新[J].電網(wǎng)技術(shù)，2013（03）：567-574.

[2]黃道春，阮江軍，文武，李昊星，趙全江，鄭偉.特高壓交流輸電線路電磁環(huán)境研究[J]. 電網(wǎng)技術(shù)，2007（01）：6-11.