曲 凱，王志平，唐 宇

(大連海事大學(xué)，遼寧大連 116026)

“數(shù)值分析”是大多數(shù)高校的工科專業(yè)學(xué)生必修的一門(mén)課程，其主要內(nèi)容是研究如何利用數(shù)值方法去處理具體的工程問(wèn)題，它在科學(xué)研究、工程建設(shè)和經(jīng)濟(jì)建設(shè)等很多方面有著廣泛的應(yīng)用。“數(shù)值分析”課程要求學(xué)生不僅要掌握數(shù)值計(jì)算的方法與理論、不同算法的比較、算法的改進(jìn)與創(chuàng)新，更強(qiáng)調(diào)掌握其應(yīng)用能力。［1］目前國(guó)內(nèi)多數(shù)高校的信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)都開(kāi)設(shè)“數(shù)值分析”課程，部分高校在工科專業(yè)的研究生課程中也開(kāi)設(shè)了這門(mén)課。但是多數(shù)高校對(duì)于“數(shù)值分析”課程還沒(méi)有給予足夠的重視，而且“數(shù)值分析”在教學(xué)過(guò)程中也存在著很多不足。［2］不少學(xué)者曾經(jīng)討論過(guò)我國(guó)高校中“數(shù)值分析”課程的教學(xué)情況及其相關(guān)問(wèn)題，其中有些問(wèn)題普遍存在，例如學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)值方法的思維方式單一，缺乏理論與實(shí)際相結(jié)合的能力，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中感到知識(shí)枯燥或者學(xué)習(xí)效果不佳，學(xué)校軟、硬件設(shè)施無(wú)法滿足學(xué)生的上機(jī)實(shí)習(xí)等［3］。在“數(shù)值分析”教學(xué)中提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力無(wú)非包括兩方面的內(nèi)容:一是基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，即傳授數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí);二是啟發(fā)學(xué)生利用所學(xué)的數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力的教學(xué)。在素質(zhì)教育背景下對(duì)應(yīng)用能力的提高顯得尤為重要。［4］

一、傳統(tǒng)“數(shù)值分析”課程教學(xué)中存在的主要問(wèn)題

1.課程內(nèi)容多，教學(xué)時(shí)數(shù)少

傳統(tǒng)的“數(shù)值分析”課程中主要包含了數(shù)值逼近、數(shù)值代數(shù)、微分方程數(shù)值解等三方面內(nèi)容，其中數(shù)值逼近部分主要包括插值方法、數(shù)據(jù)擬合及逼近、數(shù)值積分與微分，數(shù)值代數(shù)部分主要包括解線性方程組的直接法與迭代法、矩陣特征值和特征向量的計(jì)算、非線性方程及非線性方程組的求根，微分方程數(shù)值解部分主要講解常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法。這些內(nèi)容都是以數(shù)學(xué)問(wèn)題為研究對(duì)象，并提供了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的不同的數(shù)學(xué)方法及理論分析。在運(yùn)用傳統(tǒng)教學(xué)方法講授這些知識(shí)時(shí)，由于計(jì)算公式多且長(zhǎng)，推導(dǎo)過(guò)程繁瑣，加上教學(xué)時(shí)數(shù)由原來(lái)的三門(mén)課約90學(xué)時(shí)減少為64/54/48學(xué)時(shí)等，部分內(nèi)容不能細(xì)致講解，容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，教學(xué)效果不佳。［5］

2.重理論、輕實(shí)踐，上機(jī)時(shí)間少

“數(shù)值分析”是一門(mén)實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程，它具有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，又具有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)際實(shí)驗(yàn)的高度技術(shù)性的特點(diǎn)。［6］通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生熟練掌握各種常用的數(shù)值算法及其構(gòu)造原理，提高算法設(shè)計(jì)和理論分析的能力，并對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析。這既能為學(xué)生打下良好的理論基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，又能提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。［7］傳統(tǒng)的教學(xué)模式只注重講授數(shù)學(xué)方法及原理，理論教學(xué)占整個(gè)教學(xué)過(guò)程的大部分時(shí)間，上機(jī)時(shí)間少，甚至沒(méi)有上機(jī)時(shí)間，這不符合工科數(shù)學(xué)“以應(yīng)用為目的，以夠用為度”的原則，也很難與工程領(lǐng)域中的實(shí)際問(wèn)題緊密聯(lián)系起來(lái)。這樣的教學(xué)方式不但不能引起學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)值分析”的興趣，而且會(huì)產(chǎn)生厭學(xué)情緒，導(dǎo)致課堂氣氛不活躍，進(jìn)而直接阻礙素質(zhì)教育目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

二、“數(shù)值分析”教學(xué)模式的改革

對(duì)原有的“數(shù)值分析”課程的教學(xué)模式進(jìn)行改革，任課教師必須具有較高的學(xué)術(shù)造詣和扎實(shí)的基礎(chǔ)功底，并對(duì)工程領(lǐng)域中的背景知識(shí)具有一定的了解。此外，任課教師應(yīng)該重視學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力培養(yǎng)，注重與學(xué)生的交流，明確培養(yǎng)目標(biāo)并將培養(yǎng)目標(biāo)分解細(xì)化到教學(xué)大綱中，同時(shí)在日常教學(xué)中應(yīng)注意如下三個(gè)方面。

1.培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)變思維方式

在“數(shù)值分析”課程的教學(xué)中，雖然在理論推導(dǎo)過(guò)程中利用到了高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等前修課程中的知識(shí)，但是“數(shù)值分析”課程的學(xué)習(xí)更注重以工程應(yīng)用為背景，以解決實(shí)際問(wèn)題為最終目標(biāo)。例如，在中學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)利用求根公式求解一元二次方程的根(零點(diǎn))，但是實(shí)際問(wèn)題中遇到的不一定是一元二次方程，可能是比較復(fù)雜的非線性方程，那么該如何求得這些非線性方程的零點(diǎn)呢?在線性代數(shù)課程中學(xué)習(xí)了利用初等行變換的方法求解線性方程組的解，但是對(duì)于較大規(guī)模的線性方程組，初等行變換會(huì)產(chǎn)生非常龐大的運(yùn)算量，這該如何避免呢?在高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)了求函數(shù)積分的方法，但是在實(shí)際問(wèn)題中的被積函數(shù)很難找到原函數(shù)，那么又該如何求解這些函數(shù)的積分呢?要想解決以上的問(wèn)題，需要重視兩種思維方式的轉(zhuǎn)變:一是從精確求解到求近似解的轉(zhuǎn)變，二是從人工計(jì)算到計(jì)算機(jī)計(jì)算的轉(zhuǎn)變。

在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，由于背景的復(fù)雜性，求解實(shí)際問(wèn)題精確解往往都是不現(xiàn)實(shí)的，只需要對(duì)近似解進(jìn)行誤差分析，將近似解控制在允許的誤差范圍內(nèi)即可，這種從求精確解到求近似解的思維轉(zhuǎn)變是數(shù)值分析課程中需要學(xué)生深刻領(lǐng)悟的。上述三個(gè)問(wèn)題就可以分別利用二分法、迭代法和構(gòu)造數(shù)值積分公式的方法求得近似解。另外，實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)算量往往非常龐大，利用人工計(jì)算是不可能的，如何拋棄人工計(jì)算，而將數(shù)學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，也是數(shù)值分析課程中要求學(xué)生做到的重要的思維改變。

2.利用應(yīng)用背景將理論與實(shí)踐相結(jié)合

“數(shù)值分析”課程作為一門(mén)與工程領(lǐng)域密切相關(guān)的課程，如何將課程中學(xué)到的數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中就顯得尤為重要。一個(gè)好的數(shù)學(xué)方法，除了有嚴(yán)格的理論分析之外，一定要有較為實(shí)用的應(yīng)用背景?，F(xiàn)以函數(shù)插值為例探討如何以航海為背景學(xué)習(xí)函數(shù)插值方法。

首先通過(guò)例題引入需要解決的問(wèn)題。［8］

已知某船靜水力特性參數(shù)表如下所示:

型吃水d/m d1=6.80 d2=7.00 d3=7.20 d4=7.40排水量w/t w1=8195 w2=8676 w3=9145 w4=9635 h/t h1=13760 h2=14240 h3=14710 h4=15200總載重量

若某艘輪船的型吃水為d0=7.25 m，求該輪船此時(shí)的排水量h0和總載重量w0。

如何求解該問(wèn)題呢?可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)(d2，h2)，(d3，h3)利用待定系數(shù)法求出一個(gè)一次多項(xiàng)式h=P1(d)，將d0代入即可求出h0。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)(d1，h1)這個(gè)信息沒(méi)有用上，這時(shí)通過(guò)(d1，h1)，(d2，h2)，(d3，h3)利用待定系數(shù)法求出一個(gè)二次多項(xiàng)式，學(xué)生會(huì)再問(wèn):(d4，h4)這個(gè)信息怎么辦?如果再通過(guò)(d1，h1)，(d2，h2)，(d3，h3)，(d4，h4)利用待定系數(shù)法求一個(gè)三次多項(xiàng)式，大部分學(xué)生就會(huì)覺(jué)得這樣做太麻煩了，這時(shí)引入插值基函數(shù)的概念，并通過(guò)插值基函數(shù)構(gòu)造插值多項(xiàng)式，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這種方法既有規(guī)律又方便計(jì)算。若再給出這個(gè)插值方法的誤差估計(jì)，一個(gè)完整的數(shù)學(xué)方法就引出來(lái)了。通過(guò)解決具有實(shí)際意義的問(wèn)題，數(shù)值方法的思想得以充分利用。

3.采用啟發(fā)式教學(xué)，注重培養(yǎng)學(xué)生編程的能力

“數(shù)值分析”課程中的大部分知識(shí)既給出了解決實(shí)際問(wèn)題的方法，又對(duì)這些方法進(jìn)行了理論分析，以保證方法的可操作性。教學(xué)中應(yīng)既講授方法和理論，同時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生的編程能力。目前，MALTB等試驗(yàn)軟件不斷完善與升級(jí)，能夠滿足大部分工程實(shí)際中的運(yùn)算需求。在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)結(jié)合應(yīng)用實(shí)例，采用啟發(fā)式的教學(xué)方式，啟發(fā)學(xué)生利用MATLAB將數(shù)學(xué)方法實(shí)現(xiàn)，逐步培養(yǎng)起學(xué)生主動(dòng)編程的能力。

第一步，啟發(fā)學(xué)生對(duì)于事先給定的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析，分析解決實(shí)際問(wèn)題所需要的理論知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生在課前獨(dú)立思考，促使學(xué)生在課后尋找資料，對(duì)將要學(xué)習(xí)的課程進(jìn)行預(yù)習(xí)，讓學(xué)生在課下思考用學(xué)過(guò)的解析方法能不能解決，若不能解決，如何用數(shù)值的方法解決，用這種啟發(fā)式引導(dǎo)學(xué)生思考和預(yù)習(xí);第二步，對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題所用到的數(shù)值方法進(jìn)行講解，包括原理、理論分析、方法的推廣以及方法的適用范圍，使得背景知識(shí)、學(xué)習(xí)的目的和如何進(jìn)行算法設(shè)計(jì)貫穿整個(gè)課堂，這樣可以吸引學(xué)生的注意力，提高學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)值方法的實(shí)用意義和價(jià)值;第三步，啟發(fā)學(xué)生通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題和所學(xué)方法的綜合考慮，選擇合適的數(shù)值方法，啟發(fā)學(xué)生思考為什么不采用解析的方法，而要采用數(shù)值方法，應(yīng)該如何建立數(shù)值方法，如何進(jìn)行數(shù)值方法的推導(dǎo)等;第四步，鼓勵(lì)學(xué)生將合適的數(shù)值方法編程實(shí)現(xiàn)出來(lái)，解決所給定的實(shí)際問(wèn)題，并對(duì)不同的算法進(jìn)行分析和比較。

三、教學(xué)模式改革后的效果

通過(guò)啟發(fā)式教學(xué)、轉(zhuǎn)變學(xué)生思維模式等教學(xué)模式的改革，學(xué)生在學(xué)習(xí)“數(shù)值分析”課程時(shí)逐漸由被動(dòng)變?yōu)橹鲃?dòng)，利用計(jì)算機(jī)對(duì)實(shí)際問(wèn)題求解數(shù)值解這種思想逐步代替了之前的求解析解的思維模式。啟發(fā)式教學(xué)也逐步引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的數(shù)學(xué)方法，主動(dòng)編程并在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，提高了學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。下面仍然以船的靜水力特性參數(shù)為例，展現(xiàn)新的教學(xué)模式下學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的變化及效果。

當(dāng)所測(cè)得型吃水的數(shù)據(jù)比較多時(shí)，采用啟發(fā)式教學(xué)，學(xué)生便會(huì)主動(dòng)尋求一種快捷的求解插值多項(xiàng)式的方法，并深刻了解到計(jì)算機(jī)的實(shí)際用途:可以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)計(jì)算。多數(shù)學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)點(diǎn)較多時(shí)選擇Lagrange插值方法是不合適的，這時(shí)可以借助MATLAB畫(huà)出龍格現(xiàn)象(利用Lagrange方法對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)較多的情形進(jìn)行插值時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象)，學(xué)生會(huì)因?yàn)樽约赫莆樟诉@種方法而產(chǎn)生成就感，促使自己繼續(xù)學(xué)習(xí)新的方法，這時(shí)引入分段插值的思想就非常自然了。分段插值方法中的經(jīng)典方法是三次樣條，為了使學(xué)生深刻了解三次樣條，可以鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)MATLAB利用三次樣條對(duì)船的靜水力特性參數(shù)的例子進(jìn)行求解，并將結(jié)果通過(guò)作圖的方式展現(xiàn)出來(lái)，這可以讓學(xué)生直觀地感受到三次樣條插值對(duì)外型設(shè)計(jì)、圖像處理的應(yīng)用效果，并培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

通過(guò)船的靜水力特性參數(shù)的例子，可以培養(yǎng)學(xué)生逐步解決實(shí)際問(wèn)題的思維方法和步驟:分析實(shí)際問(wèn)題—學(xué)習(xí)理論知識(shí)—學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法—對(duì)數(shù)值方法編程實(shí)現(xiàn)—分析結(jié)果—改進(jìn)數(shù)學(xué)方法—解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)船的靜水力特性參數(shù)的例子，學(xué)生也主動(dòng)學(xué)習(xí)到了數(shù)值分析中的Lagrange插值方法和三次樣條插值方法。

四、結(jié)語(yǔ)

“數(shù)值分析”是一門(mén)利用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問(wèn)題的學(xué)科，它是理論性和實(shí)踐性結(jié)合比較緊密的課程，對(duì)于理工科的本科學(xué)生而言，它的理論和實(shí)踐知識(shí)對(duì)學(xué)生的要求都比較高，因此要讓學(xué)生學(xué)好這門(mén)課程，需要在教學(xué)方式上采用一些技巧，比如采用啟發(fā)式的教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)變思維方式，重視實(shí)踐環(huán)節(jié)等，這樣可以提高學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，使學(xué)生真正學(xué)好這門(mén)課程。

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