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        乘數(shù)

        2014-07-08 05:03:12何垚
        關(guān)鍵詞:狀態(tài)方程乘數(shù)穩(wěn)定性

        何垚

        摘 要:乘數(shù)原理和加速數(shù)原理是乘數(shù)——加速數(shù)模型的核心所在,我們主要是通過(guò)它們兩來(lái)分析經(jīng)濟(jì)的周期性波動(dòng)。利用狀態(tài)空間法對(duì)改進(jìn)的宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng):動(dòng)態(tài)乘數(shù)—加速數(shù)模型的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析,得出了該模型漸近穩(wěn)定的充分必要條件。

        關(guān)鍵詞:乘數(shù);加速數(shù);狀態(tài)方程;穩(wěn)定性

        0 引言

        “乘數(shù)原理”和“加速原理”各自闡述的重點(diǎn)不同?!俺藬?shù)原理”旨在闡明收入的變化與帶來(lái)這種變化的投資支出之間的比率關(guān)系,而“加速原理”旨在闡明人們收入的微小變動(dòng)是怎樣讓投資數(shù)額發(fā)生很大的變動(dòng),它倆要闡明的經(jīng)濟(jì)變動(dòng)是互相關(guān)聯(lián)、互相影響的。在實(shí)際的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中乘數(shù)——加速數(shù)原理相互共同作用是凱恩斯主義學(xué)派對(duì)乘數(shù)原理的繼承和發(fā)展,我們正是運(yùn)用宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“乘數(shù)”和“加速數(shù)”之間的相互作用來(lái)對(duì)經(jīng)濟(jì)的周期性經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變動(dòng)作出解釋的。

        1 乘數(shù)——加速數(shù)模型的基本思想

        乘數(shù)——加速數(shù)模型在試圖把外部因素和內(nèi)部因素結(jié)合在一起對(duì)經(jīng)濟(jì)周期作出解釋的同時(shí),特別強(qiáng)調(diào)投資變動(dòng)的因素。假設(shè)新發(fā)明的出現(xiàn)使投資數(shù)量增加,他們會(huì)通過(guò)乘數(shù)作用使收入增加。當(dāng)人們收入增加時(shí),就會(huì)購(gòu)買更多的商品,從而使整個(gè)社會(huì)的物品銷售量增加。再通過(guò)加速數(shù)的作用會(huì)促進(jìn)投資以更快的速度增加,而投資的增加又使國(guó)民收入增加,從而銷售量進(jìn)一步上升,如此循環(huán),社會(huì)經(jīng)濟(jì)便處于擴(kuò)張階段。[1]但社會(huì)資源是有限的,當(dāng)經(jīng)濟(jì)達(dá)到周期頂峰時(shí),收入便不再增長(zhǎng),銷售量也就不再增長(zhǎng),根據(jù)加速原理意味著投資量下降為零。又投資下降,收入下降,導(dǎo)致銷售量也進(jìn)一步下降。又由于加速原理,銷售量的下降使投資進(jìn)一步下降,而投資的下降又使國(guó)民收入進(jìn)一步下降。如此往復(fù),社會(huì)經(jīng)濟(jì)周期便又處于衰退期。經(jīng)濟(jì)周期的形成就是這樣通過(guò)乘數(shù)—加速數(shù)模型的原理實(shí)現(xiàn)的。

        對(duì)薩繆爾森的乘數(shù)——加速數(shù)模型的基本方程進(jìn)行整合,得模型的輸入——輸出表達(dá)如下:Yt=1+abYt-1-abYt-2+Ut (1)

        式中,第t季度的國(guó)民收入用Y(t)表示,第t季度的國(guó)民消費(fèi)用C(t)表示,第t季度的國(guó)民投資用I(t)表示,第t季度的國(guó)民政府支出用G(t)表示。a為加速數(shù),b為邊際消費(fèi)傾向。

        2 乘數(shù)——加速數(shù)模型的控制論分析

        將(1)式轉(zhuǎn)化成為狀態(tài)空間模型,寫成矩陣形式:

        輸出方程為:

        由于上面情形存在多種情況的穩(wěn)定性討論。所以我們?cè)谙挛膶?duì)乘數(shù)加速數(shù)模型進(jìn)行改進(jìn)再討論其穩(wěn)定性。

        3 對(duì)乘數(shù)——加速數(shù)模型進(jìn)行改進(jìn)并分析其穩(wěn)定性

        現(xiàn)在討論下面的改進(jìn)的乘數(shù)——加速數(shù)模型:

        Yt=Ct+It+G 4Ct=a+bYt-1+dCt-1 5It=eCt-Ct-1+I 6

        上式中a為自主消費(fèi)且a>0,b表示邊際消費(fèi)傾向,00,a,b,c,d均是常數(shù)。I0是自發(fā)投資與其他消費(fèi)沒(méi)有關(guān)系,I0>0。我們接下來(lái)討論該改進(jìn)模型系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

        3.1 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判別方法

        定理:設(shè)有二階線性定常離散系統(tǒng)x(k+1)=Ax(k)式中,xk∈R,A∈R。若I-A為非奇異,則系統(tǒng)的平穩(wěn)解為x=I-A,系統(tǒng)關(guān)于x的穩(wěn)定性取決于特征根的情況。特征多項(xiàng)式為 當(dāng)二階線性定常系統(tǒng)的兩個(gè)特征根全部位于Z平面的單位圓中時(shí),系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定,此時(shí),系統(tǒng)關(guān)于平衡態(tài)xe漸近穩(wěn)定的充分必要條件為

        f0<1,f-1>0,f1>0 7

        依據(jù)這個(gè)定律我們將在下面對(duì)改進(jìn)的模型的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

        3.2 建立改進(jìn)后模型的狀態(tài)空間方程:

        將上述方程(5)(6)代入(4)得方程:

        Yt=1+ebYt-1+d+ed-eCt-1+a1+e+G+I 8

        定義狀態(tài)變量:

        從而可以得到改進(jìn)后模型的空間狀態(tài)方程:

        則:E-A=1-d-b其中是E二階的單位矩陣,由上述定理可以知道當(dāng)b+d≠1時(shí),平衡狀態(tài):

        是改進(jìn)后模型的系統(tǒng)關(guān)于平衡狀態(tài)的唯一解。

        矩陣A的特征方程為:

        從定理得,模型改進(jìn)后的系統(tǒng)關(guān)于Xe漸近穩(wěn)定的充要條件為:eb<1b+d<1 其中,e>0,0

        畫(huà)出其圖形,從圖形中我們可以看到,當(dāng)點(diǎn)(e,b)在陰影面積區(qū)域之外時(shí),改進(jìn)的系統(tǒng)不穩(wěn)定,當(dāng)在陰影區(qū)域內(nèi)時(shí),改進(jìn)后的系統(tǒng)就關(guān)于Xe漸近穩(wěn)定。

        參考文獻(xiàn):

        [1]龔德恩.經(jīng)濟(jì)控制論概論[M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,1988.

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