殷霞,廖祖華,章里程,朱曉英
江南大學(xué)理學(xué)院,江蘇無錫 214122
雙極值模糊軟子群和雙極值模糊正規(guī)軟子群
殷霞,廖祖華,章里程,朱曉英
江南大學(xué)理學(xué)院,江蘇無錫 214122
研究了雙極值模糊軟子群的等價刻畫。在雙極值模糊軟子群的基礎(chǔ)上定義了雙極值模糊正規(guī)軟子群,得到了它的一些性質(zhì)及等價刻畫,進一步還研究了在雙極值模糊軟同態(tài)下,雙極值模糊正規(guī)軟子群的像與原像一些性質(zhì)。
雙極值模糊軟集;雙極值模糊軟子群;雙極值模糊正規(guī)軟子群;雙極值模糊軟同態(tài)
1999年,俄羅斯學(xué)者M olodtsov[1]提出了軟集的概念,軟集是一種全新的處理不確定性、不精確性問題的數(shù)學(xué)工具。2003年,M aji[2]等給出了軟集的運算及它們的基本性質(zhì)。此后,基于這些運算,軟集被廣泛應(yīng)用到數(shù)學(xué)、信息科學(xué)、計算科學(xué)等各個學(xué)科領(lǐng)域,并取得了很大的成就[3-8]。
給定一個初始論域X和一個參數(shù)集A,X上軟集就是從參數(shù)集A到X的冪集的一個集值函數(shù)。但是一般的集合沒有代數(shù)結(jié)構(gòu),為了豐富軟集理論,建立軟集的代數(shù)結(jié)構(gòu),2007年Akta?和?a?man[9]在研究軟集理論的基礎(chǔ)上,首次把軟集理論應(yīng)用到群論中,提出了軟群的概念:設(shè)G是一個群,(F,A)是群G上的軟集,稱軟集(F,A)是群G上的軟群當(dāng)且僅當(dāng)? ε∈A,F(xiàn)(ε)是G的子群。在此基礎(chǔ)上,Akta?和?a?man研究并討論了軟群的一些基本性質(zhì),初步建立了軟群理論。之后,許多學(xué)者將這一定義的方式拓展到其他的代數(shù)系統(tǒng)上,深入研究了軟集的代數(shù)性質(zhì)[10-16],這些研究工作對代數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了極大的推動作用。
1994年,Zhang[17]給出了模糊集的一種推廣即雙極值模糊集。隨著研究的不斷深入,楊文華[18]等將軟集與雙極值模糊集相結(jié)合提出了雙極值模糊軟集的概念,研究了它們的運算及性質(zhì),這使軟集理論進一步得到了充實。利用這一概念,殷霞[19]等將雙極值模糊軟集應(yīng)用到群論中,提出了雙極值模糊(反)軟子群的概念并研究了它們的基本性質(zhì)。本文在前面工作的基礎(chǔ)上,進一步研究了雙極值模糊軟子群的等價刻畫,提出了雙極值模糊正規(guī)軟子群的概念,并討論了它的代數(shù)性質(zhì)。
本章給出雙極值模糊集、模糊軟集、雙極值模糊軟集等基本概念,同時定義群上雙極值模糊軟集的一些運算并給出其基本性質(zhì)。
定義2.1[17]設(shè)X是一個初始論域,μP:X→[0, 1],μN:X→[-1, 0]是兩個映射,則稱B={(x,μP(x),μN(x))| x∈X}是X上的一個雙極值模糊集,簡記為B= (,μ)。這里,正隸屬度μ(x)表示元素x關(guān)于雙極值模糊集B對某性質(zhì)的滿足度,負隸屬度μ(x)表示元素x關(guān)于雙極值模糊集B對這種性質(zhì)的相反性質(zhì)的滿足度。
設(shè)X是一個初始論域,X上的所有雙極值模糊集的全體記為BFX。
定義2.2[3]設(shè)X是一個論域,E是參數(shù)集,A?E,X上的一個模糊軟集是指序?qū)?F,A),其中F:A→IX( I=[0,1])是一個映射,即? ε∈A,F(xiàn)(ε):X→I是X上的模糊集合。
定義2.3[18]設(shè)X是一個論域,E是參數(shù)集,A?E,X上的一個雙極值模糊軟集是指一個序?qū)?F,A),其中F:A→BFX是一個映射。
換句話說,一個X上雙極值模糊軟集就是X上的一些雙極值模糊集構(gòu)成的參數(shù)族。即? ε∈A,F(xiàn)(ε)是一個與ε相關(guān)的X上的雙極值模糊集
定義2.4[18]設(shè)X是一個論域,E是參數(shù)集,A,B?E,(F,A)和(K,B)是X上的兩個雙極值模糊軟集,若(F,A)和(K,B)滿足下列兩個條件:
(1)A?B。
(2)? ε∈A,F(xiàn)(ε)是K(ε)的雙極值模糊子集,即是(K,B)的雙極值模糊軟子集,記為(F,A)(K,B)。
定義2.5[18]設(shè)(F,A)和(K,B)是X上的兩個雙極值模糊軟集,若(F,A)K,B)且(K,B)(F,A),則稱(F,A)和(K,B)是雙極值模糊軟相等的。
下面取初始論域X為群G,定義群上雙極值模糊軟集的乘積與逆運算,并給出這兩種運算的基本性質(zhì)。
定義2.6設(shè)(F,A)和(K,B)是群G上的兩個雙極值模糊軟集,稱雙極值模糊軟集(H,C)是(F,A)與(K,B)的乘積,記作(H,C)=(F,A)(K,B),如果C= A∩B,且?ε∈C,?z∈G有:
定義2.7設(shè)(F,A)是群G上的雙極值模糊軟集,稱雙極值模糊軟集(F-1,A)是(F,A)的逆,記作(F,A)-1= (F-1,A),如果?ε∈A,?x∈G有:
性質(zhì)2.1設(shè)(F,A)和(K,B)是群G上的兩個雙極值模糊軟集,則
本章中在文獻[19]的基礎(chǔ)上進一步給出群G上的雙極值模糊軟子群的一些等價刻畫。
定義3.1[19]設(shè)(F,A)是群G上的雙極值模糊軟集,稱(F,A)是G的雙極值模糊軟子群,如果? ε∈A,? x,y∈G有:
定理3.1[19]設(shè)(F,A)是群G上的雙極值模糊軟集,則(F,A)是G的雙極值模糊軟子群當(dāng)且僅當(dāng)? ε∈A,? x,y∈G有:
定理3.2設(shè)(F,A)是群G上的雙極值模糊軟集,則(F,A)是群G的雙極值模糊軟子群當(dāng)且僅當(dāng)(F,A)(F,A)(F,A),(F,A)(F,A)-1。
證明由引理3.2、引理3.3及定義3.1即得。
定理3.3設(shè)(F,A)是群G上的雙極值模糊軟集,則(F,A)是群G的雙極值模糊軟子群當(dāng)且僅當(dāng)(F,A)(F,A)-1(F,A)。
證明必要性:(F,A)是群G的雙極值模糊軟子群,則由定理3.2可得(F,A)(F,A)(F,A),(F,A)(F,A)-1。由性質(zhì)2.1(4)得(F,A)=(F,A)-1,從而(F,A)(F,A)-1(F,A)。
定理3.4設(shè)(F,A)是群G的雙極值模糊軟子群則(F,A)(F,A)=(F,A)。
根據(jù)性質(zhì)2.1,定理3.2及定理3.4可得下面的推論。
推論3.1設(shè)(F,A)是群G上的雙極值模糊軟集,則(F,A)是群G的雙極值模糊軟子群當(dāng)且僅當(dāng)(F,A)(F,A)=(F,A),(F,A)=(F,A)-1。
定理3.5設(shè)(F,A)和(K,B)是群G的雙極值模糊軟子群,且(F,A)(K,B)=(K,B)(F,A),則(F,A)(K,B)是群G的雙極值模糊軟子群。
證明設(shè)(F,A)和(K,B)是群G的雙極值模糊軟子群,由推論3.1得:
定義3.2[19]設(shè)(F,A)是群G上的雙極值模糊軟集,α∈[0,1],β∈[-1,0],? ε∈A定義:
定理3.6[19]設(shè)(F,A)是群G上的雙極值模糊軟集,則(F,A)是G的雙極值模糊軟子群當(dāng)且僅當(dāng)? ε∈A,? α∈[0,],? β∈[-1,0],當(dāng)F(ε),F(xiàn)(ε)非空時,F(xiàn)(ε),(ε)都是G的子群。
定義3.3[19]設(shè)(F,A)和(K,B)分別是X和Y上的雙極值模糊軟集,φ是X到Y(jié)的映射,ψ是A到B的映射,則稱(φ,ψ)是X到Y(jié)的雙極值模糊軟映射。
定義3.4[19]設(shè)(F,A)和(K,B)分別是X和Y上的雙極值模糊軟集,(φ,ψ)是X到Y(jié)的雙極值模糊軟映射,定義Y上的雙極值模糊軟集(φ(F),ψ(A)):? ε′∈ψ(A),? y∈Y
則稱雙極值模糊軟集(φ(F),ψ(A))是(F,A)在(φ,ψ)之下的像,記作(φ,ψ)(F,A)=(φ(F),ψ(A))。
定義X上的雙極值模糊軟集(φ-1(K),ψ-1(B)):? ε∈ψ-1(B),? x∈X,
則稱雙極值模糊軟集(φ-1(K),ψ-1(B))是(K,B)在(φ,ψ)之下的原像,記作:
定義3.5[19]設(shè)(F,A)和(K,B)分別是群G1和G2上的雙極值模糊軟集,(φ,ψ)是G1到G2的雙極值模糊軟映射,若φ是G1到G2的群同態(tài)映射,則稱(φ,ψ)是G1到G2的雙極值模糊軟同態(tài)映射。
定理3.7[19]設(shè)G1和G2是兩個群,(F,A)是G1的雙極值模糊軟子群,(φ,ψ)是G1到G2的雙極值模糊軟同態(tài)映射,則(φ,ψ)(F,A)是G2的雙極值模糊軟子群。
定理3.8[19]設(shè)G1和G2是兩個群,(K,B)是G2的雙極值模糊軟子群,(φ,ψ)是G1到G2的雙極值模糊軟同態(tài)映射,則(φ,ψ)-1(K,B)是G1的雙極值模糊軟子群。
設(shè)G是群,x,y∈G,規(guī)定xy=y-1xy,并稱xy為x在y下的共軛變形。
定義4.1設(shè)(F,A)是群G的雙極值模糊軟子群,若?ε∈A,?x,y∈G有:
則稱(F,A)是群G的雙極值模糊正規(guī)軟子群。
例設(shè)N是自然數(shù)集,G是四次對稱群S4,A4是四次交代群。G上的雙極值模糊軟集(F,N)定義如下:是G上的雙極值模糊集,這里:
容易驗證(F,N)是群G的雙極值模糊軟子群。又因為A4是S4的正規(guī)子群,所以對任意x,y∈G,有:xy∈A4?x∈A4,xy∈S4A4?x∈S4A4,從而(F,N)是群G上的雙極值模糊正規(guī)軟子群。
定理4.1設(shè)(F,A)是群G上的雙極值模糊軟集,則(F,A)是群G的雙極值模糊正規(guī)軟子群當(dāng)且僅當(dāng)?ε∈A,?α∈[0,1],?β∈[-1,0],當(dāng)集合(ε),(ε)非空時,(ε),(ε)都是G的正規(guī)子群。
(1)?(5)設(shè)(K,B)是群G上的任意雙極值模糊軟集,記(F,A)(K,B)=(H,C),(K,B)(F,A)=(H1,C1),其中C=A∩B=B∩A=C1。?ε∈C,?x∈G,
定理4.2設(shè)(F,A)是群G的雙極值模糊軟子群,則下列條件等價:
(1)(F,A)是群G的雙極值模糊正規(guī)軟子群。
證明由引理4.1及定義4.1即得。
由定理3.5及定理4.2(5)可得下面的兩個定理。
定理4.3設(shè)(F,A)是群G的雙極值模糊正規(guī)軟子群,(K,B)是群G的雙極值模糊軟子群,則(F,A)(K,B)是群G的雙極值模糊軟子群。
定理4.4設(shè)(F,A)和(K,B)都是群G的雙極值模糊正規(guī)軟子群,則(F,A)(K,B)也是群G的雙極值模糊正規(guī)軟子群。
定理4.5設(shè)(F,A)是群G的雙極值模糊軟子群,則(F,A)是群G的雙極值模糊正規(guī)軟子群當(dāng)且僅當(dāng)?ε∈A,?x,y∈G有:
這里[x,y]是G的換位子。
證明必要性:設(shè)(F,A)是群G的雙極值模糊正規(guī)軟子群,則?ε∈A,?x,y∈G,
充分性:?ε∈A,?x,y∈G,因為(F,A)是群G的雙極值模糊軟子群,所以
推論4.1設(shè)(F,A)是群G的雙極值模糊軟子群,e是G的單位元。如果?ε∈A,?x,y∈G,有:
則(F,A)是群G的雙極值模糊正規(guī)軟子群。
定理4.6設(shè)G1,G2是兩個群,(φ,ψ)是G1到G2的雙極值模糊軟同態(tài)映射,且φ是G1到G2的滿同態(tài)。若(F,A)是群G1的雙極值模糊正規(guī)軟子群,則(φ,ψ)(F,A)是群G2的雙極值模糊正規(guī)軟子群。
證明由定理3.7知(φ,ψ)(F,A)是群G2的雙極值模糊軟子群。?ε′∈ψ(A),?y1,y2∈G2,因為φ是G1到G2的滿同態(tài),所以?x1,x2∈G1使得φ(x1)=y1,φ(x2)=y2,從而由此可得:
定理4.7設(shè)G1,G2是兩個群,(φ,ψ)是G1到G2的雙極值模糊軟同態(tài)映射。若(F,A)是群G2的雙極值模糊正規(guī)軟子群,則(φ,ψ)-1(F,A)是群G1的雙極值模糊正規(guī)軟子群。
證明由定理3.8知(φ,ψ)-1(F,A)是群G1的雙極值模糊軟子群。?ε∈ψ-1(A),?x1,x2∈G1,
本文將雙極值模糊軟集理論應(yīng)用到群上,定義了雙極值模糊正規(guī)軟子群,并研究了雙極值模糊軟子群和雙極值模糊正規(guī)軟子群的代數(shù)性質(zhì),使得對群的理論的研究又向前邁進了一步。利用這一定義方式,雙極值模糊軟集理論還可以應(yīng)用到其他的代數(shù)系統(tǒng)中,比如環(huán)、域、模等等,使這些代數(shù)理論也得到進一步的發(fā)展。
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YIN Xia, LIAO Zuhua, ZHANG Licheng, ZHU Xiaoying
School of Science, Jiangnan University, Wuxi, Jiangsu 214122, China
The equivalent characterizations of bipolar-value fuzzy soft subgroup are investigated. The concept of bipolarvalue fuzzy normal soft subgroup based on the bipolar-value fuzzy soft subgroup is introduced and in the meantime, some of its properties and equivalent characterizations are discussed. Furthermore, the theorems of soft homomorphic image and pre-image of bipolar-value fuzzy normal soft subgroup are given.
bipolar-value fuzzy soft set; bipolar-value fuzzy soft subgroup; bipolar-value fuzzy normal soft subgroup;bipolar-value fuzzy soft homomorphism
YIN Xia, LIAO Zuhua, ZHANG Licheng, et al. Bipolar-value fuzzy soft subgroups and bipolar-value fuzzy normal soft subgroups. Computer Engineering and Applications, 2014, 50(17):74-79.
A
O153
10.3778/j.issn.1002-8331.1401-0055
國家自然科學(xué)基金(No.11301227);江蘇省自然科學(xué)基金青年基金項目(No.BK 20130119)。
殷霞(1975—),女,講師,主要研究領(lǐng)域為有限群理論、模糊與粗糙代數(shù);廖祖華(1957—),男,教授,主要研究領(lǐng)域為模糊與粗糙代數(shù)、廣義逆理論及應(yīng)用、人工智能等;章里程(1972—),男,副教授;朱曉英(1964—),女,副教授。E-mail:yin-xia1975@aliyun.com
2014-01-06
2014-03-20
1002-8331(2014)17-0074-06
CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版:2014-06-20,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1401-0055.htm l