黃穎姝，陳永強，俞博，劉春樂

（西華大學電氣信息學院，四川成都610039）

基于非線性PI控制器的三相鎖相環(huán)實現(xiàn)

黃穎姝，陳永強，俞博，劉春樂

（西華大學電氣信息學院，四川成都610039）

三相鎖相環(huán)作為電力系統(tǒng)中相位跟蹤的一個重要元件，為提高常規(guī)PI控制方式鎖相環(huán)的相位跟蹤精度及速度，提出了一種可變增益非線性PI控制方式的三相鎖相環(huán)實現(xiàn)方法。分析了非線性PI控制方式的三相鎖相環(huán)工作原理和非線性控制器的設計方法?；贛atlab/Simulink的仿真結果顯示，在對稱三相、不對稱三相和對稱三相頻率突變時，非線性PI控制器的比例增益及積分增益能夠按照偏差信號的變化進行自動調整，比常規(guī)PI控制方式的鎖相環(huán)跟蹤速度更快、跟蹤精度更高，能夠很好地滿足有源電力濾波器對諧波檢測的高精度和實時性的要求。

三相鎖相環(huán)；相位跟蹤；非線性PI控制；比例增益；積分增益

1 引言

有源電力濾波器作為一種新型的諧波和無功補償裝置，在諧波補償中最具有發(fā)展?jié)摿Γ?］。而準確實時的相位跟蹤系統(tǒng)則是有源電力濾波器的重要組成部分。

常用的相位跟蹤系統(tǒng)采用過零比較鎖相環(huán)，通過檢測過零點來計算相位，其動靜態(tài)特性差［2-3］。同步參考系鎖相環(huán)（SRF-PLL）主要測量三相正序信號的頻率和相位角［4］，其相位跟蹤速度和精度不高。文獻［5-7］中分析了利用d-q坐標變換檢測相位信息的三相鎖相環(huán)，其算法比較復雜。采用重復控制PLL算法可以改善常規(guī)PLL系統(tǒng)在非平衡條件下的系統(tǒng)性能［8］。

本文通過對文獻提出的三相鎖相環(huán)實現(xiàn)方法進行了研究?；诔Ｒ?guī)PI控制器的鎖相環(huán)，結構簡單、參數(shù)易于調整，但是PI控制器是基于誤差反饋來實現(xiàn)調節(jié)作用的，當誤差剛出現(xiàn)時，數(shù)值往往很小，由于不能很快地增加調節(jié)量，而使抑制干擾的能力較弱。由于常規(guī)PI控制是誤差信號的比例、積分的簡單線性組合，使得控制性能的快速性和魯棒性存在矛盾，這嚴重影響鎖相環(huán)相位跟蹤速度和精度［9］。為了解決這一問題，本文提出了一種基于可變增益非線性PI控制器的三相PLL實現(xiàn)方法，通過引入非線性函數(shù)，根據(jù)系統(tǒng)偏差的大小對PI參數(shù)進行調整，仿真結果表明，非線性PI控制方式比常規(guī)PI控制方式的鎖相環(huán)相位跟蹤速度更快、跟蹤精度更高。

2 三相鎖相環(huán)的工作原理

圖1所示為非線性PI控制三相PLL結構圖。

圖1 三相PLL結構圖Fig.1 The structure of three phase PLL

系統(tǒng)中，實際電源電壓信號經(jīng)歸一化后為

式中：Uam，Ubm，Ucm分別為三相電壓幅值；θ′為理想相位。

通過靜止坐標變換，三相電壓矢量投影到固定坐標系有：

式中：Uαβ=[UαUβ]T；Tα-β為靜止坐標變換矩陣。

通過同步旋轉坐標變換，Uα，Uβ投影到同步旋轉坐標系上，有：

式中：Udq=[UdUq]T；Ts為同步旋轉坐標變換矩陣；θ為PLL的輸出。

求出式（4）中的q軸分量：

三相鎖相環(huán)通過控制q軸分量為零，從而實現(xiàn)相位鎖定。相位鎖定后，輸出相角θ與輸入相角θ′之差趨于零。式（6）可線性為

靜止坐標變換及同步旋轉坐標變換完成了普通PLL結構中鑒相器的功能，輸出是輸入電壓的θ′（相位給定）與θ（相位跟蹤輸出）之差，即完成反饋系統(tǒng)的誤差計算，所以圖1中Uq與輸入電壓Uq0比較時，Uq無需反號。相位差信號Δ經(jīng)過非線性PI調節(jié)器鎖定到輸入信號的角頻率ω，對ω積分得到θ圖1中VCO為壓控振蕩器，采用向后歐拉積分器。

3 非線性PI控制器設計

基于如圖2所示的一般系統(tǒng)階躍響應曲線系統(tǒng)設計的原則是保證有快的響應速度，且有小的超調量。文獻［10］給出了非線性PID控制器的設計原則。據(jù)此，對非線性PI控制器的比例增益參數(shù)及積分增益參數(shù)進行設計。

圖2 階躍響應曲線Fig.2 The step response curve

3.1 比例增益參數(shù)kp的設計

在響應時間0≤t≤t1段，為保證系統(tǒng)響應的快速性要求，比例增益參數(shù)kp在初始時應較大，同時為了減小超調量，希望誤差ep逐漸減小時，比例增益也隨之減小；在t1≤t≤t2段，為了增大反向控制作用，減小超調量，希望kp逐漸增大；在t2≤t≤t3段，為了使系統(tǒng)盡快回到穩(wěn)定點，并不再產(chǎn)生大的慣性，希望kp逐漸減??；在t3≤t≤t4段，希望kp逐漸增大，作用與t1≤t≤t2段相同。按此要求，kp隨誤差ep變化的大致規(guī)律如圖3a所示。

圖3 非線性比例增益及積分增益變化曲線Fig.3 Nonlinear proportional gain and integral gain variation curves

根據(jù)上述要求，利用三角函數(shù)cos的倒數(shù)，即sec函數(shù)的性質可構造如下的非線性函數(shù)：

式中：ap，bp，cp為正實常數(shù)；sech()為非線性函數(shù)。

當誤差ep→±∞時，kp取最大值ap+bp；當ep=0時，kp取最小值ap；bp為kp的變化區(qū)間，調整cp的大小可調整kp變化的速率。

3.2 積分增益參數(shù)ki的設計

當誤差信號較大時，希望積分增益不要太大，以防止響應產(chǎn)生震蕩，有利于減小超調量；當誤差信號較小時，希望積分增益增大，以消除系統(tǒng)的誤差。根據(jù)積分增益希望變化的特性，積分增益參數(shù)ki隨誤差ep變化的大致規(guī)律如圖3b所示。

根據(jù)上述要求，同樣利用三角函數(shù)cos的倒數(shù)，即sec函數(shù)的性質可構造如下的非線性函數(shù)：

式中：ai，ci為正實常數(shù)；sech()為非線性函數(shù)。

ki的取值范圍為(0，ai)，當ep=0時，ki取最大值為ai；調整ci的大小可調整ki變化速率。

非線性PI控制器的控制輸入為

可見，只要適當選擇非線性函數(shù)中的各參數(shù)，則可以控制系統(tǒng)達到響應快且無超調的效果。此外，由于非線性PI控制器中的增益參數(shù)能夠隨控制誤差而變化，因而其抗干擾能力也較常規(guī)線性PI控制器強。

4 系統(tǒng)仿真分析

采用Matlab/Simulink軟件分別建立了常規(guī)線性PI控制及非線性PI控制下的三相PLL模型，并在標準正弦電壓、不平衡正弦電壓及電壓頻率突變的3種不同條件下進行了仿真。

仿真主要參數(shù)為：三相正弦交流電壓信號，峰峰值380 V，頻率50Hz，常規(guī)線性PI控制器比例增益及積分增益分別為kp=1.08，ki=132，非線性PI控制器比例增益參數(shù)及積分增益參數(shù)分別為ap=26，bp=8，cp=0.8，ai=132，ci=1?；诜蔷€性PI控制器的三相鎖相環(huán)仿真結構圖如圖4所示，其中圖4a為三相鎖相環(huán)仿真結構圖，圖4b為非線性PI控制器仿真結構圖。

4.1 標準正弦信號相位跟蹤

被跟蹤信號采用三相對稱正弦電壓，兩種不同控制器的正弦跟蹤及相位跟蹤仿真結果如圖5所示。

圖4 非線性PI控制器的三相鎖相環(huán)仿真結構Fig.4 Nonlinear PI controller of three-phase phase-locked loop simulation structure

圖5 對稱三相正弦波下的仿真波形Fig.5 Waveforms under three-phase balanced voltage

圖5中，圖5a為對稱三相電壓歸一化后的波形，圖5b圖和圖5d分別為采用常規(guī)PI控制下的標準A相電壓波形與PLL跟蹤電壓波形以及相位跟蹤波形，從仿真結果看，在這種控制方式下需要經(jīng)過大約一個周期的時間后，才能達到較好的正弦跟蹤效果和相位跟蹤效果。在時間為0.029 s時，正弦跟蹤誤差及相位跟蹤誤差分別為0.001 3和0.061。而圖5c和圖5e分別為采用非線性PI控制下的標準A相電壓波形與PLL跟蹤電壓波形以及相位跟蹤波形，在第一個周期很短時間內就能達到很好的正弦跟蹤效果和相位跟蹤，當時間為0.23ms時，正弦跟蹤誤差及相位跟蹤誤差分別為0.000 4和0.000 3。可見，在標準三相正弦信號條件下，采用非線性PI控制器的PLL具有更快的相位跟蹤速度及更高的相位跟蹤精度。

4.2 不對稱三相正弦信號相位跟蹤

被跟蹤信號采用不對稱三相正弦電壓，B相為A相幅值的110%，C相為A相幅值的90%。兩種不同控制器的正弦跟蹤及相位跟蹤仿真結果如圖6所示。

圖6 不對稱三相正弦波下的仿真波形Fig.6 Waveforms under three-phase unbalanced voltage

圖6中，圖6a為對稱三相電壓波形，圖6b和圖6d分別為采用常規(guī)PI控制下的標準A相電壓波形與PLL跟蹤電壓波形以及相位跟蹤波形，從仿真結果看，需要經(jīng)過大約1個周期的時間后，才能達到較好的正弦跟蹤效果和相位跟蹤效果。在時間為0.023 s時，正弦跟蹤及相位跟蹤誤差分別為0.042和0.043 8。而圖6c和圖6e分別為采用非線性PI控制下的標準A相電壓波形與PLL跟蹤電壓波形以及相位跟蹤波形，在第1個周期內的很短時間內就能達到很好的正弦跟蹤效果和相位跟蹤效果。在時間為2.368ms時，正弦跟蹤及相位跟蹤誤差分別為0.0001和0.00012。但進入穩(wěn)態(tài)后，平均跟蹤誤差略高于常規(guī)PI控制的效果?？梢?，在不對稱三相正弦信號條件下，采用非線性PI控制器的PLL具有更快的相位跟蹤速度及更高的相位跟蹤精度。

4.3 正弦信號頻率突變時的相位跟蹤

為檢驗PLL在信號頻率突變時的動態(tài)相位跟蹤能力，被跟蹤信號采用了50Hz和100Hz的兩種不同頻率正弦信號，兩種不同控制器的正弦跟蹤及相位跟蹤仿真結果如圖7所示。

圖7 對稱三相正弦下頻率突變時的仿真波形Fig.7 Waveforms under the saltation frequencyof three-phase balanced

圖7中，圖7a為頻率突變時的對稱三相電壓波形，圖7b和圖7d分別為采用常規(guī)PI控制下的標準A相電壓波形與PLL跟蹤電壓波形以及相位跟蹤波形，從仿真結果看，當出現(xiàn)頻率突變時，需要經(jīng)過大約2個周期的時間后，才能達到較好的正弦跟蹤效果和相位跟蹤效果。在時間為0.08s時（頻率突變時間為0.06 s，經(jīng)過2個周期后），正弦跟蹤及相位跟蹤誤差分別為0.053 2和0.077 9而圖7c和圖7e分別為采用非線性PI控制下的標準A相電壓波形與PLL跟蹤電壓波形以及相位跟蹤波形，這種控制方式下，在第1個周期內就能達到很好的正弦跟蹤效果和相位跟蹤效果。在時間為0.061 2 s時（突變后的瞬間），正弦跟蹤及相位跟蹤誤差分別為0.0012和0.010 4?？梢?，非線性PI控制方式比常規(guī)PI控制方式具有更好的動態(tài)特性及跟蹤精度。

4.4 比例參數(shù)kp及積分參數(shù)ki的變化

標準正弦相位跟蹤過程中的比例參數(shù)kp及積分參數(shù)ki的變化曲線如圖3所示。由圖3可知，在整個相位跟蹤過程中，參數(shù)會根據(jù)相位偏差的不同而自動地進行調整。

5 結論

本文提出了一種新的基于可變增益非線性PI控制器的三相鎖相環(huán)實現(xiàn)方法，仿真結果表明：相位跟蹤時間由原來普通三相PLL的20ms左右減少到1ms以內，最大相位跟蹤精度偏差由原來的0.582 6下降為0.048 59以下，最小相位跟蹤偏差由原來的0.093下降為0.000294，提高了鎖相環(huán)系統(tǒng)相位跟蹤的速度和精度，改變了常規(guī)PI控制方式難以實現(xiàn)最優(yōu)控制效果的缺陷。能夠很好地滿足有源電力濾波器諧波檢測的高精度和實時性的要求。尤其在電源電壓畸變或不對稱的情況下的諧波檢測具有很好的實用性，本方法還可以推廣到需要相位測量的運用場合。

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Implementation of Nonlinear PI Controller Based on Three Phase Phase-locked Loop System

HUANG Ying-shu，CHEN Yong-qiang，YU Bo，LIU Chun-le
（Electrical and Information Institute，Xihua University，Chengdu 610039，Sichuan，China）

Three-phase phase-locked loop is an important element in power system phase tracking.In order to improve the phase tracking precision and speed of the conventional PI control method of PLL，a novel control method of nonlinear PI controller based three phase PLL system was proposed.The working principle of the nonlinear PI control method of three-phase phase-locked loop and design method of nonlinear controller was analyzed.The results of Matlab/ Simulink simulation show that in symmetrical and asymmetric three-phase and symmetric three-phase frequency mutation system，the proportional gain and integral gain of the nonlinear PI controller can adapt variety of the phase error.It is faster than conventional PI control method of phase-locked loop tracking speed and has higher tracking precision.It can well satisfy the real time and high precision of active power filter for harmonic detection requirements.

three phase phase locked loop（PLL）；phase tracking；nonlinear PI control；proportional gain；integral gain

TM761

A

2013-12-27

修改稿日期：2014-06-24

黃穎姝（1988-），女，碩士，Email：huangyingshuqq@163.com