曹登慶，楊 洋，王德友，陳華濤，姜廣義

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱150001；2.中航工業(yè)沈陽(yáng)發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所，沈陽(yáng)110015）

基于滯回碰摩力模型的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩響應(yīng)研究

曹登慶1，楊 洋1，王德友2，陳華濤1，姜廣義2

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱150001；2.中航工業(yè)沈陽(yáng)發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所，沈陽(yáng)110015）

轉(zhuǎn)/靜子碰摩是影響旋轉(zhuǎn)機(jī)械的穩(wěn)定性與安全性的重要因素之一，而碰摩力的表征則是預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的關(guān)鍵問(wèn)題。討論了已有轉(zhuǎn)/靜子碰摩力模型的適用范圍，重點(diǎn)闡述滯回碰摩力模型的物理意義，并與幾種經(jīng)典的碰摩力模型進(jìn)行比較；以Jeffcott轉(zhuǎn)子作為典型例子，基于滯回碰摩力模型給出系統(tǒng)的碰摩響應(yīng)，并與采用線性碰摩力模型所得到的碰摩響應(yīng)進(jìn)行比較；利用數(shù)值仿真的結(jié)果分析靜子剛度、轉(zhuǎn)子偏心距等因素對(duì)采用滯回碰摩力模型的轉(zhuǎn)子碰摩響應(yīng)的影響。數(shù)值仿真的結(jié)果表明：采用滯回碰摩力模型得出的失穩(wěn)速度(1226 rad/s)低于采用線性碰摩力模型得出的失穩(wěn)速度(1476 rad/s)，且系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性更為復(fù)雜，因此，可以更真實(shí)地反應(yīng)碰摩的物理實(shí)質(zhì)。

Jeffcott轉(zhuǎn)子；碰摩；線性模型；赫茲模型；滯回模型

0 引言

旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)/靜子碰摩是由于轉(zhuǎn)子的變形量與其振動(dòng)位移相加大于預(yù)留的動(dòng)靜件間隙而引發(fā)的次生故障[1]，對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械的設(shè)計(jì)和安全運(yùn)行至關(guān)重要，國(guó)內(nèi)外學(xué)者為此進(jìn)行了廣泛研究。

轉(zhuǎn)/靜子碰摩可分為剛性碰摩和彈性碰摩2種。剛性碰摩是指在轉(zhuǎn)/靜子發(fā)生碰摩時(shí)，只會(huì)相互接觸但不會(huì)發(fā)生嵌入變形，同時(shí)所激發(fā)出的切向庫(kù)倫摩擦力會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子發(fā)生摩擦失穩(wěn)現(xiàn)象，分為全周碰摩和局部碰摩。與剛性碰摩相比，彈性碰摩故障的發(fā)生更為普遍，其研究模型通常分為：瞬時(shí)沖擊碰撞力模型和連續(xù)接觸碰撞力模型2種。瞬時(shí)沖擊碰撞力模型是指在碰撞過(guò)程中僅考慮碰撞前后的能量交換，碰撞前與碰撞后速度的瞬時(shí)跳躍通過(guò)動(dòng)量守恒定律和恢復(fù)系數(shù)來(lái)判定[2-3]。該模型的計(jì)算效率較高，因此在大型多剛體系統(tǒng)碰撞動(dòng)力學(xué)仿真中得到了廣泛應(yīng)用[4-6]，但其用于轉(zhuǎn)子碰摩時(shí)存在明顯的缺陷，不能有效地反映轉(zhuǎn)/靜子的結(jié)構(gòu)特性對(duì)碰摩過(guò)程的影響，而且忽略了碰撞過(guò)程，僅考慮碰撞前后的瞬時(shí)也會(huì)給系統(tǒng)響應(yīng)計(jì)算帶來(lái)較大誤差。

連續(xù)接觸碰摩力模型可以描述彈性體在接觸過(guò)程中的擠壓和彈開(kāi)過(guò)程，需要通過(guò)接觸物之間的嵌入速度和嵌入位移來(lái)確定，因此更能反映不同轉(zhuǎn)/靜子碰摩過(guò)程的差異，包括碰撞剛度，切入速度、切入角度和材料常數(shù)等。該模型可分為線性模型和非線性模型。線性彈簧阻尼接觸力模型以Kelvin-Voigt模型[7-8]為代表，由線性彈簧和阻尼器并聯(lián)而成，在分析接觸碰撞問(wèn)題時(shí)比較簡(jiǎn)便，但無(wú)法計(jì)算碰撞開(kāi)始時(shí)的不連續(xù)問(wèn)題。1881年，Hertz提出了1種非線性接觸力模型[9-10]，在此基礎(chǔ)上，國(guó)內(nèi)外學(xué)者相繼建立了一系列非線性接觸力模型；Hunt[11]和Herbert[12]等認(rèn)為含間隙運(yùn)動(dòng)副中接觸碰撞力應(yīng)與相對(duì)位移的n次方成正比；此外，部分學(xué)者將2種接觸碰摩力模型相結(jié)合，如Dubowsky等[13-14]，基于Hertz的理論；有關(guān)連接結(jié)構(gòu)接觸碰撞的接觸力模型的評(píng)述可參見(jiàn)曹登慶等的綜述[15]。

雖然轉(zhuǎn)/靜子結(jié)構(gòu)及研究的側(cè)重點(diǎn)不同，但線性碰摩力模型和非線性碰摩力模型均被廣泛應(yīng)用。如陳果[16-17]建立的航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，其碰撞力用線性彈簧模型描述，摩擦力采用庫(kù)倫摩擦力；楊樹(shù)華[18]基于Hertz接觸理論的研究——轉(zhuǎn)子非線性碰摩模型，通過(guò)計(jì)算指出，相比于線性碰摩力模型，非線性碰摩模型能更深刻地反映出轉(zhuǎn)/靜子碰摩過(guò)程的本質(zhì)特征，但缺乏相應(yīng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)支撐。

在對(duì)轉(zhuǎn)/靜子進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模時(shí)，正如文獻(xiàn)[1]所述：一方面應(yīng)建立充分考慮碰摩局部動(dòng)/靜件材料特性和相互作用力學(xué)特征的局部碰摩模型，其中包含準(zhǔn)確給出各種碰摩力的正確形式以及選擇或識(shí)別符合實(shí)際的物理參數(shù)等；另一方面，要建立充分考慮轉(zhuǎn)子和靜子主要?jiǎng)恿W(xué)特征的碰摩模型，其中包含合理的計(jì)算及轉(zhuǎn)子和定子參與響應(yīng)的主要模態(tài)，能夠正確反映系統(tǒng)局部點(diǎn)的碰摩對(duì)系統(tǒng)整體動(dòng)力學(xué)特性影響的特征；此外，還要考慮在碰摩過(guò)程中具有實(shí)質(zhì)影響的、典型的周圍接觸介質(zhì)的變化（油膜力和氣尖力等），以及由摩擦和熱效應(yīng)造成的結(jié)構(gòu)形式的變化和帶負(fù)荷轉(zhuǎn)子受到氣流的附加扭矩及其變化等。

為了方便闡述轉(zhuǎn)/靜子碰摩問(wèn)題，本文僅以單盤(pán)Jeffcott轉(zhuǎn)子為例，分別采用哈爾濱工業(yè)大學(xué)曹登慶課題組近期提出的反映碰摩力滯回特性的碰摩模型[19]和最為常用的線性碰摩模型對(duì)轉(zhuǎn)/靜子碰摩的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特征進(jìn)行對(duì)比分析。

1 轉(zhuǎn)/靜子碰摩力模型

轉(zhuǎn)/靜子碰摩成為轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的難題原因是在于當(dāng)轉(zhuǎn)子與靜子發(fā)生碰摩時(shí)，系統(tǒng)是1種非光滑的、高維強(qiáng)非線性系統(tǒng)，并且包含了相互影響的眾多控制參數(shù)[20-23]。解決這類復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的前提是如何建立非光滑系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。下面主要介紹幾種經(jīng)典的轉(zhuǎn)/靜子碰摩力模型，分析其適用范圍，并重點(diǎn)闡述滯回碰摩力模型的物理意義，并與幾種經(jīng)典碰摩力模型進(jìn)行比較。

1.1 瞬時(shí)沖擊模型

基于經(jīng)典的碰撞定律[24]，碰撞前、后的恢復(fù)系數(shù)可以寫(xiě)成

式中ν-、ν+分別為碰撞前、后的切向速度；為恢復(fù)系數(shù)。

轉(zhuǎn)/靜子碰摩開(kāi)始與結(jié)束瞬時(shí)的法向和切向速度之間的關(guān)系為

當(dāng)碰撞速度較大時(shí)，其碰撞過(guò)程十分短暫，因此忽略碰撞過(guò)程是合理的。在此情況下，利用該模型進(jìn)行分析，具有計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)。但是利用該模型進(jìn)行轉(zhuǎn)/靜子碰摩分析，存在以下不足：

（1）該模型不能有效反映轉(zhuǎn)/靜子的結(jié)構(gòu)特征對(duì)碰摩的影響；

（2）僅考慮碰撞前、后的瞬時(shí)，即忽略碰撞過(guò)程，這會(huì)給系統(tǒng)響應(yīng)求解帶來(lái)較大誤差；

（3）不能反映碰撞過(guò)程中結(jié)構(gòu)的阻尼效應(yīng)。

1.2 連續(xù)接觸碰撞力模型

1.2.1 線性碰摩力模型

1.2.1.1 無(wú)阻尼碰撞力模型

線性無(wú)阻尼碰撞力模型是將轉(zhuǎn)子與靜子的碰撞過(guò)程用線性彈簧描述，并將彈簧剛度定義為碰撞剛度，同時(shí)摩擦模型采用庫(kù)倫摩擦，如圖1所示。當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)的徑向位移r大于轉(zhuǎn)/靜子間隙r0時(shí)，轉(zhuǎn)子與靜子發(fā)生碰撞并產(chǎn)生摩擦，相應(yīng)的碰撞正壓力和庫(kù)倫摩擦力可表示為

圖1 線性碰撞正壓力模型

式中：k為轉(zhuǎn)軸剛度；ks為靜子剛度即碰撞剛度；μ為庫(kù)倫摩擦系數(shù)。

1.2.1.2 線性阻尼碰撞力模型

Hunt和Crossley[11]于1975年提出了同時(shí)考慮線性彈性力和線性阻尼力的碰撞力模型，即

式中：常數(shù)c為接觸碰撞的法向黏性阻尼系數(shù)。

線性碰摩力模型是1個(gè)分段線性的非線性模型，以靜子的結(jié)構(gòu)剛度作為碰撞剛度，這實(shí)質(zhì)上是采用了準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)，用靜態(tài)剛度近似地表示碰撞剛度。采用線性碰摩力模型需滿足以下條件：

（1）靜子結(jié)構(gòu)剛度相對(duì)較?。?/p>

（2）碰撞速度相對(duì)較低，即滿足準(zhǔn)靜態(tài)條件；

（3）碰撞嵌入位移相對(duì)較小，即結(jié)構(gòu)變形仍然在線性范圍內(nèi)，忽略幾何非線性的影響。

根據(jù)條件（1），由于機(jī)匣的結(jié)構(gòu)剛度僅為轉(zhuǎn)子剛度的若干倍，該模型可用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)/靜子碰摩，而對(duì)于結(jié)構(gòu)剛度很大的汽輪機(jī)靜子（接近剛性）則不適用。由于該模型采用準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)，與碰撞速度無(wú)關(guān)，所以無(wú)法計(jì)及碰撞動(dòng)剛度的影響。

1.2.2 非線性碰摩力模型

1.2.2.1 Hertz碰摩力模型

Hertz碰摩力模型是基于Hertz接觸理論建立的非線性碰摩力模型，其碰撞正壓力曲線如圖2所示。使用該碰摩力模型時(shí)需要做如下假設(shè)：

圖2 Hertz碰摩正壓力模型

（1）理論上將2彈性體在曲面處的接觸視為點(diǎn)接觸，接觸壓力垂直于二者的公切面；

（2）將接觸表面視為理想的光滑表面，不考慮摩擦效應(yīng)；

（3）轉(zhuǎn)/靜子碰摩過(guò)程中僅在擠壓接觸區(qū)域有局部彈性變形，靜子結(jié)構(gòu)不會(huì)變形；

（4）在碰撞過(guò)程中的摩擦力按庫(kù)倫摩擦定律計(jì)算。

式中：δr為徑向嵌入深度；ν1、E1、R1分別為轉(zhuǎn)子的泊松比、楊氏模量和撞擊局部表面的曲率半徑；ν2、E2、R2則分別表示靜子的泊松比、楊氏模量和撞擊局部表面的曲率半徑。

Hertz碰摩力模型由2個(gè)碰撞體的材料常數(shù)以及撞擊局部表面的曲率半徑來(lái)確定。因?yàn)闄C(jī)匣剛度僅為轉(zhuǎn)子剛度的若干倍，碰撞力會(huì)使機(jī)匣產(chǎn)生彈性變形，根據(jù)條件（3），該模型可用于結(jié)構(gòu)剛度很大的汽輪機(jī)靜子，而對(duì)于航空發(fā)動(dòng)機(jī)機(jī)匣則不適用。

1.2.2.2 L-N碰摩力模型

基于Hertz接觸理論，Hunt和Crossley[11]提出了非線性彈簧阻尼模型。在接觸碰撞初始時(shí)，Hunt-Crossley模型的碰撞力是連續(xù)的，并且考慮了接觸過(guò)程中的能量損失，其碰撞力與變形的非線性關(guān)系為

式中：k為接觸碰撞剛度；η為接觸阻尼因子，與恢復(fù)系數(shù)有關(guān)；n為變形量指數(shù)，根據(jù)幾何形狀的差異，可選取不同的值。

在Hunt-Crossley模型的基礎(chǔ)上，Lankarani等[25]提出了通過(guò)碰撞前、后的能量損失來(lái)確定阻尼因子的具體方法，建立了Lankarani-Nikra-vesh（L-N）碰摩力模型。

假設(shè)碰撞物體的質(zhì)量為m，碰撞時(shí)的初始速度為

式中：常數(shù)α由轉(zhuǎn)/靜子的材料常數(shù)及結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)來(lái)確定，即

因此轉(zhuǎn)/靜子法向碰撞力可表示為ν0，碰撞恢復(fù)系數(shù)為，則碰撞前、后動(dòng)能損失ΔT為

物體因碰撞發(fā)生嵌入時(shí)，系統(tǒng)的能量損失應(yīng)等于接觸力滯回環(huán)內(nèi)所作的功，即

根據(jù)式（8）、（9）可以求得接觸阻尼因子

與線性模型和Hertz模型相比，L-N模型全面反映了碰撞物體的材料屬性、局部變形、碰撞速度等信息，且能夠反映接觸碰撞過(guò)程中的能量損失行為。但該模型也存在一定的不足，即只適用于恢復(fù)系數(shù)較大的情況，無(wú)法反映恢復(fù)系數(shù)較小時(shí)的情況。

無(wú)論是線性碰摩力模型，還是Hertz碰摩力模型或是在Hertz理論基礎(chǔ)上改進(jìn)的碰摩力模型，共同特點(diǎn)是采用了準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)，無(wú)法描述在碰撞過(guò)程中碰撞力隨時(shí)間變化的規(guī)律。雖然L-N模型計(jì)及了碰撞前物體速度的影響，但仍然無(wú)法描述碰撞瞬時(shí)動(dòng)剛度的影響。

1.3 滯回碰摩力模型

根據(jù)文獻(xiàn)[19]采用擺式碰撞裝置得到的相關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以擬合出如圖3所示的“滯回”型碰摩力曲線。根據(jù)試驗(yàn)分析，碰摩問(wèn)題應(yīng)具有如下特點(diǎn)：

（1）碰撞正壓力應(yīng)與結(jié)構(gòu)彈性變形相關(guān)，因此應(yīng)包含與結(jié)構(gòu)剛度相關(guān)的信息；

（2）碰撞后嵌入量的大小應(yīng)與碰撞前接觸面法線方向的速度相關(guān)；

（3）碰撞問(wèn)題涉及到瞬態(tài)沖擊，在發(fā)生碰撞的初始段其沖量較大，隨著位移的增大，其動(dòng)態(tài)正壓力部分會(huì)迅速降低；

（4）碰撞正壓力應(yīng)與接觸阻尼相關(guān)，即與速度相關(guān)，且應(yīng)是某種非線性關(guān)系；

（5）接觸阻尼系數(shù)應(yīng)與速度指數(shù)及與2個(gè)碰撞物體的材料相關(guān)。

根據(jù)上述特點(diǎn)，將碰摩試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，文獻(xiàn)[19]提出采用下述表達(dá)式來(lái)表征碰撞力

圖3 “滯回”碰摩力模型

式中：H（δ）是Heaveside函數(shù)；ks為靜子的結(jié)構(gòu)剛度（靜剛度）；kd為碰撞初段的動(dòng)剛度，通常取靜剛度的5～8倍；C、α分別為阻尼系數(shù)和速度指數(shù)，取值均應(yīng)大于零，與實(shí)際轉(zhuǎn)/靜子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，可由試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到；δmax為碰撞發(fā)生后的最大嵌入量，在計(jì)算轉(zhuǎn)/靜子碰撞后的最大嵌入量時(shí)，不計(jì)碰撞過(guò)程中的能量損失，利用能量守恒原理，最大嵌入量可以表示為

式中：v0為碰撞前瞬時(shí)轉(zhuǎn)子的徑向速度。

碰撞時(shí)的摩擦力仍采用庫(kù)倫定律，即

由于碰撞力具有滯回特性，用式（11）和式（13）表征的碰摩力稱為滯回碰摩力模型，可用于研究航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子與機(jī)匣間發(fā)生的轉(zhuǎn)/靜子碰摩。

2 轉(zhuǎn)/靜子碰摩響應(yīng)分析

現(xiàn)代航空發(fā)動(dòng)機(jī)通過(guò)減小轉(zhuǎn)靜子間隙來(lái)追求高推重比，因此轉(zhuǎn)子葉片與靜子機(jī)匣間碰摩故障的發(fā)生率大幅增加。由于機(jī)匣壁較薄，當(dāng)轉(zhuǎn)子與機(jī)匣發(fā)生碰摩時(shí)，會(huì)造成機(jī)匣發(fā)生明顯的彈性變形而不再是局部變形，加之接觸表面是非光滑的，基于以上考慮，使用Hertz碰摩力模型是不合適的。這里采用滯回碰摩力模型進(jìn)行碰摩響應(yīng)計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與采用線性碰摩力模型得到的響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比分析。

為了便于闡述問(wèn)題，以單盤(pán)的Jeffcott轉(zhuǎn)子為例，考慮穩(wěn)態(tài)運(yùn)行（在恒定轉(zhuǎn)速下）的碰摩為主，相應(yīng)的轉(zhuǎn)/靜子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為

式中：m、c、k分別為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量、阻尼和剛度；e為轉(zhuǎn)子偏心；x、y分別為橫向和豎向振動(dòng)；Fxf、Fyf分別為碰摩力在橫向和豎向的投影。

對(duì)Jeffcott轉(zhuǎn)子進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)采用的參數(shù)見(jiàn)表1。

2.1 2種碰摩力對(duì)轉(zhuǎn)/靜子系統(tǒng)響應(yīng)的影響

表1 轉(zhuǎn)子主要計(jì)算參數(shù)

為了分析線性碰摩力模型和滯回碰摩力模型對(duì)轉(zhuǎn)/靜子系統(tǒng)振動(dòng)特性造成的差異，將轉(zhuǎn)速取為系統(tǒng)的分岔參數(shù)，針對(duì)每一給定的轉(zhuǎn)速，采用4階Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值積分，繪制出轉(zhuǎn)子的響應(yīng)分岔圖。常用的數(shù)值算法在一定程度上無(wú)法真實(shí)模擬碰撞過(guò)程，因此本文利用線性插值法分析系統(tǒng)碰摩過(guò)程中出現(xiàn)的跨越現(xiàn)象，在碰撞界面上采用線性差值法修正積分步長(zhǎng)，以提高計(jì)算結(jié)果的精確度。

2.1.1 線性碰摩力模型

采用線性碰摩力模型時(shí)，得到的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)分岔圖如圖4所示，其中橫軸是轉(zhuǎn)速ω，縱軸是轉(zhuǎn)子的橫向振動(dòng)x。當(dāng)轉(zhuǎn)速較慢時(shí)，系統(tǒng)作周期1運(yùn)動(dòng)；隨著轉(zhuǎn)速的加快，在一定速度范圍內(nèi)，分岔圖中出現(xiàn)了大量密集的點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)作擬周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速繼續(xù)加快時(shí)，系統(tǒng)再次恢復(fù)到周期1運(yùn)動(dòng)。

圖4 轉(zhuǎn)子響應(yīng)分岔圖（線性碰摩力模型）

圖5 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)（線性碰摩力模型，ω=1800 rad/s）

圖6 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)（線性碰摩力模型，ω=2500 rad/s）

為了進(jìn)一步分析不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的響應(yīng)，選取ω=1800、2500 rad/s繪制時(shí)間歷程曲線圖、軸心軌跡圖、相圖和Poincare映射圖，分別如圖5、6所示。

從圖5、6可見(jiàn)，在這2個(gè)轉(zhuǎn)速下，系統(tǒng)的時(shí)間歷程曲線是規(guī)則的周期運(yùn)動(dòng)，軸心軌跡為規(guī)則的單一閉環(huán)，相圖中僅含有1個(gè)周期運(yùn)動(dòng)，因此Poincare映射圖對(duì)應(yīng)為1個(gè)點(diǎn)。系統(tǒng)響應(yīng)是周期的。

2.1.2 滯回碰摩力模型

當(dāng)采用滯回碰摩力模型時(shí)，仍以轉(zhuǎn)速為分岔參數(shù)，繪制分岔圖（如圖7所示）。對(duì)比圖7和圖4可見(jiàn)：首先，在滯回碰摩力作用下，系統(tǒng)的失穩(wěn)速度(1226 rad/s)低于采用線性碰摩力模型得出的失穩(wěn)速度(1476 rad/s)；其次，隨著轉(zhuǎn)速提高，系統(tǒng)始終作復(fù)雜的非線性運(yùn)動(dòng)，主要是擬周期運(yùn)動(dòng)，而未出現(xiàn)如圖4所示的當(dāng)轉(zhuǎn)速加快到一定范圍時(shí)恢復(fù)到周期1運(yùn)動(dòng)的情況。

圖7 轉(zhuǎn)子響應(yīng)分岔圖（滯回碰摩力模型,ks=0.5×108N/m）

圖8 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)（滯回碰摩力模型,ω=1800 rad/s）

圖9 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)（滯回碰摩力模型,ω=2500 rad/s）

在ω=1800、2500 rad/s時(shí)，轉(zhuǎn)子作擬周期運(yùn)動(dòng)，繪制時(shí)間歷程曲線、軸心軌跡、相圖和Poincare映射圖，分別如圖8、9所示。從圖8、9中可見(jiàn)，時(shí)間歷程曲線不是規(guī)則的周期運(yùn)動(dòng)，軸心軌跡和相圖較為復(fù)雜，Poincare映射圖呈現(xiàn)出1條閉環(huán)曲線。

2.1.3 2種模型的對(duì)比

與采用線性碰摩力模型相比，采用滯回碰摩力模型會(huì)使轉(zhuǎn)/靜子系統(tǒng)的振動(dòng)特性變得更為復(fù)雜，也能夠更真實(shí)地反映轉(zhuǎn)/靜子碰摩運(yùn)動(dòng)。

2.2 靜子剛度對(duì)轉(zhuǎn)子碰摩響應(yīng)的影響

由于本文使用的滯回碰摩力模型是從微觀的角度出發(fā)，詮釋了轉(zhuǎn)子與靜子的碰撞嵌入過(guò)程。從碰摩力的表達(dá)形式可見(jiàn)，不同的靜子剛度會(huì)直接影響轉(zhuǎn)/靜子的碰摩情況，有必要詳細(xì)分析靜子剛度對(duì)碰摩響應(yīng)的影響。

圖10 轉(zhuǎn)子響應(yīng)分岔圖（滯回碰摩力模型,ks=1.0×108N/m）

圖11 轉(zhuǎn)子響應(yīng)分岔圖（滯回碰摩力模型,ks=1.5×108N/m）

圖12 轉(zhuǎn)子響應(yīng)分岔圖（滯回碰摩力模型,ks=2.0×108N/m）

給定其他參數(shù)，取靜子剛度ks=0.5×108、1.0× 108、1.5×108、2.0×108N/m，求出轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速?gòu)?500 ～2500 rad/s的響應(yīng)，得到的分岔圖分別如圖 7、10～12所示。

對(duì)比圖7、10～12給出的結(jié)果可知，隨著靜子剛度的增大，系統(tǒng)出現(xiàn)不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的起始旋轉(zhuǎn)速度也隨之加快，雖然系統(tǒng)的振動(dòng)幅值沒(méi)有明顯改善，但出現(xiàn)規(guī)則周期運(yùn)動(dòng)的區(qū)間卻在不斷加大。

圖13 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)（滯回碰摩力模型,ω=1800 rad/s、ks=0.5×108N/m）

圖14 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)（滯回碰摩力模型,ω=1800 rad/s、ks=1.0×108N/m）

圖15 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)（滯回碰摩力模型,ω=1800 rad/s、ks=1.5×108N/m）

圖16 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)（滯回碰摩力模型,ω=1800 rad/s、ks=2.0×108N/m）

為了進(jìn)一步分析靜子剛度對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響，選取ω=1500、2000、2400 rad/s時(shí)，繪制4種剛度下的時(shí)間歷程曲線、軸心軌跡、相圖和Poinare映射圖，如圖13～16所示。

從圖13中可見(jiàn)，在ks=0.5×108N/m時(shí)，系統(tǒng)作擬周期運(yùn)動(dòng)，這一點(diǎn)可以從Poincare映射圖上清楚地看出，時(shí)間歷程曲線出現(xiàn)了拍振現(xiàn)象；而在其他3種靜子剛度下，系統(tǒng)作周期1運(yùn)動(dòng)。

給定轉(zhuǎn)速ω=2000 rad/s，則在ks=0.5×108N/m（圖17）和ks=1.0×108N/m（圖18）時(shí)，轉(zhuǎn)子作擬周期運(yùn)動(dòng)，其中如圖17所示的時(shí)間歷程曲線紊亂，而如圖18的時(shí)間歷程曲線為拍振；圖19、20表明，隨著轉(zhuǎn)子剛度的增大，轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)變?yōu)榉€(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)。

圖17 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)（滯回碰摩力模型,ω=2000 rad/s、ks=0.5×108N/m）

圖18 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)（滯回碰摩力模型,ω=2000 rad/s、ks=1×108N/m）

圖19 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)（滯回碰摩力模型,ω=2000 rad/s、ks=1.5×108N/m）

圖21 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)（滯回碰摩力模型,ω=2400 rad/s、ks=0.5×108N/m）

圖22 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)（滯回碰摩力模型,ω=2400 rad/s、ks=1.0×108N/m）

圖23 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)（滯回碰摩力模型,ω=2400 rad/s、ks=1.5×108N/m）

圖24 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)（滯回碰摩力模型,ω=2400 rad/s、ks=2.0×108N/m）

當(dāng)轉(zhuǎn)速進(jìn)一步加快到ω=2400 rad/s，則在ks=0. 5×108、1.0×108、1.5×108N/m（圖23）時(shí)，轉(zhuǎn)子作擬周期運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)分別如圖21～23所示；當(dāng)轉(zhuǎn)子剛度增大到ks=2.0×108N/m時(shí)，轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)變?yōu)榉€(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)子系統(tǒng)影響如圖24所示。

2.3 轉(zhuǎn)子偏心量對(duì)轉(zhuǎn)子響應(yīng)的影響

轉(zhuǎn)子的偏心量會(huì)直接影響轉(zhuǎn)子的偏心力，改變轉(zhuǎn)子的振動(dòng)幅值。同時(shí)，由于轉(zhuǎn)/靜子碰撞的嵌入位移與碰摩力相互影響，因此轉(zhuǎn)子的偏心量與碰摩力間存在一定的耦合關(guān)系。

圖25 轉(zhuǎn)子響應(yīng)分岔圖（滯回碰摩力模型,e=2.0×10-5m）

圖26 轉(zhuǎn)子響應(yīng)分岔圖（滯回碰摩力模型,e=2.5×10-5m）

圖27 轉(zhuǎn)子響應(yīng)分岔圖（滯回碰摩力模型,e=3.0×10-5m）

圖28 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)（滯回碰摩力模型,ω=1600 rad/s、e=1.0×10-5m）

圖30 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)（滯回碰摩力模型,ω=1600 rad/s、e=3.0×10-5m）

保持其他參數(shù)不變，令ks=0.5×108N/m時(shí)，以轉(zhuǎn)速為分岔變量，在 e=1.0×10-5m、e=2.0×10-5m、e=2.5×10-5m、e=3.0×10-5m時(shí)，數(shù)值仿真得到的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)分岔圖如圖7、25～27所示。

對(duì)比圖7、25～27可見(jiàn)，在不同偏心量下，轉(zhuǎn)子的橫向振幅x發(fā)生了改變，但分岔圖中的振動(dòng)特性沒(méi)有明顯變化。以ω=1600 rad/s為例，分析轉(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)，如圖28～30所示。

從圖28～30中可見(jiàn)，在3種偏心量下，轉(zhuǎn)子均作擬周期運(yùn)動(dòng)，時(shí)間歷程曲線均呈現(xiàn)出拍振特點(diǎn)；隨著偏心距的增大，拍振的現(xiàn)象變得不明顯；對(duì)比各偏心量下的軸心軌跡圖可知軸心軌跡的多重閉環(huán)半徑隨著偏心量的增加而增大；相圖中閉環(huán)曲線的半徑也逐漸增大，說(shuō)明偏心量的增加會(huì)使橫向振動(dòng)位移增大。

3 結(jié)論

轉(zhuǎn)/靜子碰摩力模型的建立是包括航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子在內(nèi)的旋轉(zhuǎn)機(jī)械研究中亟待解決的重要基礎(chǔ)問(wèn)題。本文重點(diǎn)比較了滯回碰摩力模型和幾種經(jīng)典的碰摩力模型，并以Jeffcott轉(zhuǎn)子為典型例子，比較了基于滯回碰摩力模型和線性碰摩力模型得到的系統(tǒng)碰摩響應(yīng)，得到如下結(jié)論：

（1）滯回碰摩力模型摒棄了以往碰摩力模型的準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)，包含了靜子結(jié)構(gòu)剛度、碰撞前速度等物理因素，體現(xiàn)了碰撞動(dòng)剛度、接觸阻尼等因素的影響。其動(dòng)剛度、速度指數(shù)等是根據(jù)試驗(yàn)擬合而得的，能夠準(zhǔn)確地反映其物理實(shí)質(zhì)；

（2）與采用線性碰摩力模型所得的結(jié)果相比，采用滯回碰摩力模型會(huì)使轉(zhuǎn)/靜子系統(tǒng)的振動(dòng)特性變得更為復(fù)雜，也能夠更真實(shí)地反映轉(zhuǎn)/靜子碰摩運(yùn)動(dòng)；

（3）靜子剛度會(huì)直接影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩響應(yīng)，從通過(guò)數(shù)值計(jì)算所繪的不同靜子剛度下的分岔圖可知，增大靜子剛度會(huì)抑制轉(zhuǎn)/靜子碰摩過(guò)程中出現(xiàn)復(fù)雜非線性現(xiàn)象，使轉(zhuǎn)子在較寬的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)作周期1運(yùn)動(dòng)；轉(zhuǎn)子的偏心量會(huì)影響振動(dòng)幅值，但對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài)影響較小。

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Study on Rub-impact Responses of Rotor Systems Based on Hysteretic Rub-impact Force Model

CAO Deng-qing1，YANG Yang1，WANG De-you2,CHEN Hua-tao1,JIANG Guang-yi2
（1.School of Astronautics,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China;2.AVIC Shenyang Engine Design and Research Institute,Shenyang 110015,China）

The rub-impact of rotor/stator is one of the major factors for the stability and safety of rotating machine,while the characterization of the rub-impact force is a key problem in the prediction of dynamical responses of the rotor system.The applicable scope of the existing rotor/stator rub-impact force models was discussed,the physical significances of the hysteretic rub-impact force model was described clearly,and the comparison between the hysteretic rub-impact force model and classical ones was conducted.Taking the Jeffcott rotor as a typical example,the rub-impact responses of system based on the hysteretic rub-impact force model are given and used to compare with the result form the system with linear rub-impact force model.The effects of stator stiffness and the rotor eccentricity on rubimpact responses of the rotor system with the hysteretic rub-impact force model were given to analyze by the numerical results.The numerical simulation results show that the stability threshold speed (1226 rad/s)of the system in terms of the hysteretic rub-impact force model is less than that(1476 rad/s)of the system with linear rub-impact force model,and the dynamic characteristics are more complicated, therefore,the essential physical property of rub-impact can be reflected more veritably.

Jeffcott rotor;rub-impact;linear model;Hertz model;hysteretic model

V 23.9

A

10.13477/j.cnki.aeroengine.2014.01.001

2013-09-04 基金項(xiàng)目：國(guó)家重大基礎(chǔ)研究項(xiàng)目資助

曹登慶（1958），男，教授，主要研究方向?yàn)檗D(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)、復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與振動(dòng)控制；E-mail:dqcao@hit.edu.cn。

曹登慶，楊洋，王德友，等.基于滯回碰摩力模型的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩響應(yīng)研究 [J].航空發(fā)動(dòng)機(jī)，2014，40（1）：1-9.CAO Dengqing，YANG Yang，Wang Deyou，et al.Study on the Rub-Impact Responses of Rotor Systems Based on the Hysteretic Rub-Impact Force Model[J]. Aeroengine，2014，40（1）：1-9.