陶 霞, 萬正蘇, 徐邦啟, 章 敏

(湖南理工學院 數(shù)學學院, 湖南 岳陽 414006)

有限元方法(FEM)求解奇異攝動Volterra積分微分方程

陶 霞, 萬正蘇, 徐邦啟, 章 敏

(湖南理工學院 數(shù)學學院, 湖南 岳陽 414006)

運用有限元方法(FEM)求解奇異攝動Volterra積分微分方程. 數(shù)值算例表明, 在局部加密網格下, FEM解具有高精度性質.

奇異攝動Volterra積分微分方程; 局部加密網格; 有限元方法

引言

考慮如下奇異攝動Volterra積分微分方程:

其中0<ε?1為小參數(shù), 0<α≤a(t),f(t)和k(t,s)充分光滑.

奇異攝動積分微分方程廣泛存在于實際工程計算中, 如流體力學、天體力學、量子力學、光學、化學、生物學以及控制論等領域中. 本文討論的奇異攝動Volterra積分微分方程來源于許多物理和生物問題, 如擴散耗散過程、流行病動力學、同期控制系統(tǒng)、更新過程和拉伸纖維等[3～9]. 奇異攝動Volterra積分微分方程理論綜述見文[1]. 由于小參數(shù)的存在, 解在很薄的邊界層中變化非常劇烈, 數(shù)值模擬解的急劇變化異常困難. 另一方面, 為準確描述這類問題, 必須考慮系統(tǒng)對于過去經歷的記憶效應. 因此, 尋找求解奇異攝動Volterra積分微分方程的高精度數(shù)值方法尤其困難.

關于數(shù)值求解奇異攝動Volterra積分微分方程已有一些研究工作, 如指數(shù)型有限差分方法、差分方法、隱Runge-Kutta方法以及張力樣條配置方法等[2]. 采用LDG-CFEM耦合方法求解奇異攝動Volterra積分微分方程, 在Shishkin網格下, 耦合解具有高精度性質. 本文運用有限元方法(FEM)求解這類方程, 算例結果表明: FEM解同樣具有高精度性質. 而且在局部加密網格下, 在節(jié)點處FEM解具有2p階的超收斂性.

1 有限元方法(FEM)

首先將區(qū)間[0,T]剖分, 剖分節(jié)點為0=t0

其中p≥1,q≥1.

在區(qū)間[0,T]上, 運用有限元方法(FEM), 即尋找使得

2 數(shù)值算例

考慮奇異攝動Volterra積分微分方程(1), 其中a=1,k(t,s)=exp(s), 初值為u(0)=1+exp(?1),對應的真解為u(t)=exp(t?1)+exp(?(1+ε)t/ε).并且其真解在t=0附近出現(xiàn)邊界層現(xiàn)象, 邊界層厚度為O(ε).

這里取τ=min(0.5,?ε(p+1)logε). 當小參數(shù)ε分別取10?4、10?6和10?8時, 表1給出了相應的最大模誤差和收斂階. 表1中數(shù)據結果表明: 將區(qū)間[0,τ]和[τ,1]分別均勻剖分后, FEM解不僅穩(wěn)定, 而且精度高.可以觀察到: 在節(jié)點處的FEM解具有2p階的超收斂性. 圖1和圖2分別顯示了在線性元和二次元情形下的有限元解在節(jié)點處的誤差圖. 為了研究FEM解的超收斂性, 圖3～圖6給出了區(qū)間[0,τ]和[τ,1]上FEM解的誤差圖. 當ε=10?8時, 將[0,1]進行512剖分后, 圖3和圖4分別顯示了邊界層[0,τ]的前三個單元上運用FEM方法在線性元和二次元情形下的誤差圖; 圖5和圖6分別顯示了[τ,1]最后三個單元上運用FEM方法在線性元和二次元情形下的誤差圖.

表1 FEM方法([0, 1])

圖1 FEM方法,P= 1

圖2 FEM方法,P= 2

圖3 FEM方法,ε= 10-8,P= 1

圖4 FEM方法,ε=10-8,P= 2

圖5 FEM方法,ε= 10-8,P= 1

圖6 FEM方法,ε= 10-8,P= 2

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[2] 陶 霞, 章 敏, 徐邦啟. 求解奇異攝動Volterra積分微分方程的LDG-CFEM耦合方法[J]. 湖南理工學報(自然科學版), 2014, 27: 12～15

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Finite Element Method (FEM)for Solving Singularly Perturbed Volterra Integrodifferential Equations

TAO Xia, WAN Zheng-su, XU Bang-qi, ZHANG Min
(College of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

This paper implements finite element method (FEM) for solving singularly perturbed Volterra integrodifferential equations. Numerical results show that FEM solution has high accuracy property under layer-adapted mesh.

singulary perturbed Volterra integrodifferential equations; layer-adapted mesh; finite element method (FEM)

O241.82

A

1672-5298(2014)03-0023-03

2014-07-18

國家自然科學基金項目(11371074); 湖南省教育廳一般項目(13C366); 湖南理工學院校級科研項目(2013Y11)

陶 霞(1982 ? ), 女, 湖南湘陰人, 博士, 湖南理工學院數(shù)學學院講師. 主要研究方向: 微分方程數(shù)值解