萬正蘇, 李 英, 沈紅玉, 謝 磊, 潘婷婷

(1. 湖南理工學院 數學學院, 湖南 岳陽 414006；2. 臨湘市第五中學, 湖南 臨湘 414300)

一元八次方程的矩陣解法及其推廣

萬正蘇1, 李 英1, 沈紅玉2, 謝 磊2, 潘婷婷1

(1. 湖南理工學院 數學學院, 湖南 岳陽 414006；2. 臨湘市第五中學, 湖南 臨湘 414300)

利用矩陣的特征值和特征向量以及實對稱矩陣的相似和合同理論, 給出了幾類特殊一元八次方程的矩陣解法,并將其推廣到一般的一元高次方程.

實對稱矩陣; 相似; 合同; 八次方程

引言

自然科學和社會科學中的很多問題都可用代數方程或微分積分方程來進行描述, 而且微分積分方程的數值解以及部分微分積分方程的精確解最后都歸結為代數方程(組)的求解, 因此研究代數方程的求解對數學理論的發(fā)展以及在科學工程的實際計算方程中都是有重要意義和價值的. 代數方程的求解問題也一直是數學界的一個熱點問題, 這方面的研究成果數不勝數. 二、三、四次方程根的表達式以及根與系數之間的關系都已經很成熟, 但求五次及更高次方程的根式解法, 數學家們經歷了一個非常艱難的過程. 第一個證明“高于四次方程不能用根號求解”的是挪威數學家阿貝爾. 也就是說, 對于一般的高于五次的方程沒有一般的根式解法.

文[1]提出了求解一元實系數四次方程的矩陣解法, 文[2]研究了三類特殊實系數一元六次方程的矩陣解法. 受文[1]的思想的啟發(fā), 本文利用矩陣的特征值和特征向量以及實對稱矩陣的相似和合同理論, 給出幾類特殊一元八次方程的矩陣解法, 并將其推廣到一般的一元高次方程.

1 實系數八次方程的矩陣解法

一元實系數八次方程的一般形式為

若記

注意det(A8(b))=0是一個關于b的五次實系數方程, 由代數基本定理知一元n次實系數方程在復數域內有n個根, 且虛數根是成對出現, 因此至少存在一個實數b*, 使得det(A8(b*))=0. 若存在det(A8(b))=0的一個實根b*使得A8(b*)的慣性指數小于等于2 (或A8(b*)的秩R(A8(b*))≤2), 而A8(b*)是實對稱矩陣, 則一定存在可逆矩陣或正交矩陣Q8使得其中

記

則有

(ⅰ) 當λ1, λ2同號時, 不妨設λ1>0,λ2>0, 則有

于是八次方程f8(x)=0的求解等價于求如下兩個四次方程的根

(ⅱ) 當λ1, λ2異號時, 不妨設λ1>0,λ2<0, 則有

于是八次方程f8(x)=0的求解等價于求如下兩個四次方程的根:

(ⅲ) 當λ1, λ2中有一個為零時, 不妨設λ2=0, 則有

于是八次方程f8(x)=0的求解等價于求如下四次方程的根:

注當a8=0,a7≠0時, 上面的方法就是實系數一元七次方程的矩陣解法.

例1 解方程1+2x+3x2+4x3+5x4+4x5+3x6+2x7+x8=0.

解按上述方法求解可得

取det(A8(b))=0的實數根b*=1, 對Q8(1)進行合同變換可得其中

易得

2 實系數2n次方程的矩陣解法

一元實系數2n次方程的一般形式如下

若記

則有

det(A2n(b))=0是一個關于b的2n次實系數方程. 若存在det(A8(b))=0的一個實根b*, 使得A2n(b*)的慣性指數小于等于2 (或A2n(b*)的秩r(A2n(b*))≤2), 而A2n(b*)是實對稱矩陣, 則一定存在可逆矩陣或正交矩陣Q2n使得其中

記

則有

(ⅰ) 當λ1, λ2同號時, 不妨設λ1>0,λ2>0, 則有

于是原2n次方程2()0

n fx=的求解等價于求如下兩個四次方程的根

(ⅱ) 當1,2λ λ異號時, 不妨設10,20 λ>λ<, 則有

于是原2n次方程的求解等價于求如下兩個四次方程的根

(ⅲ) 當1,2λ λ中有一個為零時, 不妨設λ2=0, 則有

于是原八次方程f8(x)=0的求解等價于求如下四次方程的根

3 結束語

本文所提出的高次方程的矩陣解法的第一步是將方程所對應的多項式轉化為二次型, 在該二次型的矩陣中引入了一個自由參數, 實際上我們可以引入多個自由參數. 比如第1小節(jié)所討論的八次方程可記為

其中

b,c,d為任意實數. 隨著自由參數的增加, 本文所討論的方法的適用范圍將擴大, 但這還有待進一步的研究.

[1] 盛興平. 實系數一元四次方程的矩陣解法[J]. 數學通報, 2002, 12: 37～37

[2] 范 軍, 孔志宏. 三類特殊的實系數一元六次方程的矩陣解法[J]. 高等數學研究, 2009, 12(4): 66～69

Matrix Methods for Solving Unitary Equation of The Eighth Degree and It's Generalization

WAN Zheng-su1, LI Ying1, SHEN Hong-yu2, XIE Lei2, PAN Ting-ting1
(1.College of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China; 2. Linxiang No.5 Middle School, Linxiang 414300, China)

In this paper, eigenvalues and eigenvectors of matrix and the theories of similarity and congruence of symmetric matrix are used, and the matrix method for solving unitary equations of eighth degree is presented.

symmetric matrix; similarity; congruence; algebraic equation of eight degree

O151.1

A

1672-5298(2014)03-0018-05

2014-06-21

國家自然科學基金項目(11371074); 湖南省教育廳科研項目(13C366); 2014年湖南理工學院大學生研究性學習和創(chuàng)新性實驗計劃項目

萬正蘇(1976? ), 男, 湖南桃江人, 博士, 湖南理工學院數學學院副教授. 主要研究方向: 微分方程數值解