何靈娜，王運(yùn)紅

(浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，浙江 杭州 310023)

0 引 言

礦用電池作為緊急避險(xiǎn)設(shè)施、檢測(cè)通信系統(tǒng)和井下運(yùn)輸車輛等煤礦工業(yè)設(shè)備的動(dòng)力源，其荷電狀態(tài)(SOC)估計(jì)的準(zhǔn)確性與避難人員的安危密切相關(guān)[1]。目前，常用的電池SOC估計(jì)方法有開(kāi)路電壓法、Ah計(jì)量法、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和卡爾曼濾波法等[2-5]。由于礦用電池的初始SOC值難以確定，且電池SOC在電池工作過(guò)程中易受多種因素干擾[6]。而擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter，EKF)算法計(jì)算量適中，且具有克服初值誤差和累計(jì)誤差的能力，因此被廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)[7]。由于EKF算法是利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并截?cái)喔唠A項(xiàng)來(lái)實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的線性化，該算法只適用于低動(dòng)態(tài)弱非線性系統(tǒng)。當(dāng)算法的估計(jì)誤差較大時(shí)，算法的濾波精度就會(huì)降低、不穩(wěn)定，甚至發(fā)散[8]。

礦用電池是一個(gè)強(qiáng)非線性系統(tǒng)，針對(duì)EKF只適用于連續(xù)可微的弱非線性系統(tǒng)且必須計(jì)算復(fù)雜的Jacobian矩陣[9]，基于采樣點(diǎn)卡爾曼濾波算法(sampling point kalman Filter，SPKF)，本研究通過(guò)采用加權(quán)統(tǒng)計(jì)線性回歸法實(shí)現(xiàn)模型函數(shù)統(tǒng)計(jì)線性化，從而在克服EKF缺陷的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)電池SOC估計(jì)。本研究針對(duì)有限的電池管理系統(tǒng)資源，基于電池模型狀態(tài)方程線性的特征，通過(guò)將標(biāo)準(zhǔn)KF和SPKF組合使用，從而實(shí)現(xiàn)算法運(yùn)算量的降低。由于SPKF需要進(jìn)行狀態(tài)誤差協(xié)方差開(kāi)方，易于引起病態(tài)矩陣問(wèn)題，本研究在SPKF算法中引入奇異值分解，并用特征協(xié)方差陣代替均方估計(jì)誤差協(xié)方差陣。此外，本研究針對(duì)礦用電池外特性呈高動(dòng)態(tài)非線性且電池模型誤差不可避免，基于強(qiáng)跟蹤原理，引入次優(yōu)漸消因子。

1 礦用電池狀態(tài)觀測(cè)復(fù)合模型

狀態(tài)觀測(cè)復(fù)合模型將電池SOC作為非線性系統(tǒng)的唯一狀態(tài)變量，因此計(jì)算復(fù)雜度低。該模型之所以被稱為復(fù)合模型，是由于該模型由3種簡(jiǎn)單電化學(xué)模型復(fù)合得到[10]。

Sherpherd模型:

Unnewehr universal模型:

Nernst模型:

式中:xk—電池在k時(shí)刻的SOC值;E0—礦用電池的開(kāi)路電壓;R—示電池內(nèi)阻;ik—k時(shí)刻電池的瞬時(shí)電流(電池放電時(shí)，ik—正;充電時(shí)，ik—負(fù));yk—電池工作電壓;K1，K2，K3—系統(tǒng)模型的匹配系數(shù)，其所在項(xiàng)表示電池極化內(nèi)阻。

針對(duì)礦用電池SOC受環(huán)境溫度和充、放電倍率影響較大的問(wèn)題，本研究在復(fù)合模型中引入環(huán)境溫度比例因子和充、放電倍率比例因子，并將其作為該算法的輸入uk，而將易于直接測(cè)量的電池端電壓作為電池模型的輸出yk。由此得到，電池狀態(tài)觀測(cè)復(fù)合模型的表達(dá)式如下所示:

狀態(tài)方程:

觀測(cè)方程:

式中:K0—電池開(kāi)路電壓;ηi—額定溫度下，放電電流為ik時(shí)的充放電倍率比例因子(在額定放電倍率下，ηi=1);ηT—額定放電倍率下，溫度為T(mén)時(shí)的環(huán)境溫度比例因子(在額定溫度下，ηT=1);Qn—電池的額定容量。

電池狀態(tài)觀測(cè)復(fù)合模型作為Shepherd模型、Unnewehr universal模型、Nernst模型以及Ah模型的復(fù)合體，在性能上要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其中任意一個(gè)電池模型。

2 基于改進(jìn)型采樣點(diǎn)卡爾曼濾波的電池SOC估計(jì)

礦用電池是一個(gè)高動(dòng)態(tài)強(qiáng)非線性系統(tǒng)，為了獲取實(shí)時(shí)、有效、精確的礦用電池SOC值，本研究基于最優(yōu)高斯近似卡爾曼濾波框架中的SPKF算法，通過(guò)采用加權(quán)統(tǒng)計(jì)線性回歸法實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)函數(shù)統(tǒng)計(jì)線性化，克服了EKF算法只適用于弱非線性系統(tǒng)以及必須計(jì)算Jacobian矩陣的缺陷，且使濾波精度逼近三階以上[11]。

2.1 運(yùn)算量的改進(jìn)

由于礦用設(shè)備資源有限，針對(duì)“礦用電池狀態(tài)觀測(cè)復(fù)合模型的狀態(tài)方程為線性方程，而只有觀測(cè)方程為非線性方程”的特性，本研究通過(guò)在SPKF算法的時(shí)間更新階段引入標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波算法來(lái)進(jìn)行狀態(tài)變量、狀態(tài)誤差協(xié)方差以及觀測(cè)變量的一步預(yù)測(cè)，而后續(xù)測(cè)量更新與SPKF算法一致[12]。為了方便，該算法簡(jiǎn)寫(xiě)為KSPKF。

在算法的時(shí)間更新階段，KSPKF算法只需要進(jìn)行3步就可以完成，簡(jiǎn)單方便。筆者比較SPKF算法與KSPKF算法在時(shí)間更新階段的運(yùn)算量(乘法次數(shù))，有關(guān)情況如表1所示。

觀察表1可知，SPKF算法在時(shí)間更新階段的運(yùn)算量(乘法運(yùn)算)為22n+7次，而KSPKF算法在時(shí)間更新階段的運(yùn)算量為10n+6次?？梢?jiàn)，KSPKF算法在運(yùn)算效率上得到了大大的提升。

表1 SPKF和標(biāo)準(zhǔn)KF在時(shí)間更新階段每步的運(yùn)算量(乘法次數(shù))

2.2 數(shù)值穩(wěn)定性的改進(jìn)

當(dāng)KSPKF算法在進(jìn)行采樣點(diǎn)確定的過(guò)程中需要對(duì)誤差協(xié)方差陣進(jìn)行cholesky分解，而cholesky分解要求被分解矩陣必須滿足正定性。

然而，礦用電池在工作過(guò)程中，由于物理因素以及環(huán)境因素引起的干擾的存在而使得采集誤差不可避免。此外，對(duì)于含有誤差的采集數(shù)據(jù)進(jìn)行復(fù)雜的算法推導(dǎo)時(shí)，得到的結(jié)果又往往含有舍入誤差，由此可知，誤差協(xié)方差矩陣的正定性難以保證。

在SVD分解中，如果假定A∈Rm*n，m≥n，則SVD分解可以表示為:

式中:U，V—A的左、右奇異向量;S—A的奇異值，S=diag{s1，s2，Λ，sn}，s1≥s2≥…≥sr≥0。

根據(jù)SVD分解的定義可知，SVD分解不僅不限制被分解矩陣的正定性，并且保證分解得到的奇異值都是正值[13]。因此，本研究針對(duì)KSPKF算法的數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題，對(duì)算法的采樣點(diǎn)確定進(jìn)行了改進(jìn)，試圖采用穩(wěn)定性和精度較好的SVD分解來(lái)代替cholesky分解，用特征協(xié)方差矩陣來(lái)代替協(xié)方差矩陣，其中采樣點(diǎn)確定部分的方程式將被修改為:

式中:λ=?2(n+κ)－n;κ—比例因子，用于控制采樣點(diǎn)與系統(tǒng)狀態(tài)變量預(yù)測(cè)值xk+1|k點(diǎn)間的距離;n—系統(tǒng)狀態(tài)維數(shù);?—采樣點(diǎn)的擴(kuò)散程度，通常滿足:1e－4≤?≤1。

為了方便，基于奇異值分解的SPKF算法在下面簡(jiǎn)寫(xiě)為SVD-KSPKF算法。

2.3 強(qiáng)跟蹤原理的引入

對(duì)于礦用電池而言，噪聲、部件磨損、老化等因素不可避免，因此要建立一個(gè)能夠完全反映動(dòng)力電池狀態(tài)統(tǒng)計(jì)特性的精確模型十分困難。此外，礦用電池在工作過(guò)程中由于工作環(huán)境復(fù)雜，使得電池外特征參數(shù)變化較大，可見(jiàn)，本研究所設(shè)計(jì)的SOC估計(jì)算法不僅要有應(yīng)對(duì)模型不準(zhǔn)確的魯棒性，還要能快速跟蹤劇烈波動(dòng)的電池端電流。然而，SVD-KSPKF算法對(duì)電池模型的依賴性很強(qiáng)，且當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)，SVDKSPKF算法增益陣Kk將趨于極小值;反之，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生突變時(shí)，雖然預(yù)報(bào)殘差有所增大，但增益陣Kk并沒(méi)有隨之迅速增大，而仍保持極小值?？梢?jiàn)，該算法不具備快速跟蹤突變狀態(tài)的能力。對(duì)此，本研究在SVD-KSPKF算法中引入了強(qiáng)跟蹤濾波器，并記為SSKSPKF算法。

強(qiáng)跟蹤濾波器基于正交性原理，其基本思想是:在線選擇適當(dāng)?shù)臅r(shí)變?cè)鲆骊嘖k，使得:

其中，式(8)是經(jīng)典EKF的性能指標(biāo)，式(9)要求不同時(shí)刻的殘差序列處處保持相互正交。

本研究基于信息序列的正交性原理，在SVD-KSPKF算法中引入了次優(yōu)漸消因子，其基本步驟如下:

首先，計(jì)算輸出殘差:

2.4 電池SOC估計(jì)算法設(shè)計(jì)

基于SPKF算法，本研究通過(guò)在時(shí)間更新階段引入標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波原理實(shí)現(xiàn)算法運(yùn)算量改進(jìn)，并在此基礎(chǔ)上引入奇異值分解和強(qiáng)跟蹤原理，加強(qiáng)了算法的數(shù)值穩(wěn)定性和跟蹤突變狀態(tài)的能力，且使其具有了抗模型誤差的能力。其中，算法的遞推過(guò)程如下:

(1)模型選擇。

礦用電池內(nèi)部化學(xué)反應(yīng)復(fù)雜，汽車運(yùn)行過(guò)程中易受物理振動(dòng)、環(huán)境溫度、測(cè)量誤差等各種因素的影響。因此，本研究在上述觀測(cè)方程和狀態(tài)方程中引入了狀態(tài)噪聲和測(cè)量噪聲，并將其表示為:

狀態(tài)方程:

觀測(cè)方程:

式中:wk—系統(tǒng)的狀態(tài)噪聲;vk—系統(tǒng)的測(cè)量噪聲。

滿足:

其中:Qk—系統(tǒng)狀態(tài)噪聲協(xié)方差陣，Rk—系統(tǒng)測(cè)量噪聲協(xié)方差陣，E(.)—期望函數(shù)。

(2)初始化

(3)狀態(tài)變量和狀態(tài)誤差協(xié)方差的一步預(yù)測(cè)。

式中:Ak—系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的方程匹配系數(shù)，其取值為:Ak=1。

(4)觀測(cè)變量yk+1|k的一步預(yù)測(cè)。

(5)次優(yōu)漸消因子的引入。

其推導(dǎo)過(guò)程如公式(10～16)。

(6)奇異值分解及采樣點(diǎn)確定。

其推導(dǎo)過(guò)程如公式(6～7)。

此外，與采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)值定義為:

式中:β—狀態(tài)分布參數(shù)。

(7)濾波增益陣的計(jì)算。

至此，若算法達(dá)到設(shè)定結(jié)束步數(shù)，則終止;否則，k=k+1，轉(zhuǎn)向第(3)步，繼續(xù)迭代循環(huán)。

3 實(shí)驗(yàn)分析

該實(shí)驗(yàn)選用的單體電池是型號(hào)為WX11U3215的磷酸鐵鋰聚合物動(dòng)力電池，該電池的額定電壓為3.2 V，額定容量≥15 Ah，額定放電電流為15 A，放電時(shí)的額定工作溫度范圍為－10℃ ～45℃[14]。其中，本研究所采用數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)對(duì)象為四節(jié)單體磷酸鐵鋰聚合物動(dòng)力電池串聯(lián)組成的電池組，由此可知，電池組的額定電壓為12.8 V，額定容量為15 Ah。

為了更好驗(yàn)證所提出的改進(jìn)算法應(yīng)對(duì)模型誤差的魯棒性，本研究在算法模型輸入?yún)?shù)K0中引入了隨機(jī)噪聲，其中，電池模型輸入?yún)?shù)K0在引入隨機(jī)噪聲后的曲線圖如圖1所示。

圖1 電池模型參數(shù)K0加噪后的曲線圖

此外，為了驗(yàn)證算法跟蹤突變狀態(tài)的能力，本研究通過(guò)在UDDS工況下對(duì)電池進(jìn)行放電操作以模擬突變狀態(tài)，并對(duì)電池端電流加入隨機(jī)噪聲以加大算法的模型誤差。其中，加噪后的電池端電流波形圖如圖2所示。

圖2 加噪后放電電流波形圖

為了更全面地驗(yàn)證所提出的算法的有效性，除了對(duì)SS-KSPKF算法進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)外，本研究還對(duì)改進(jìn)型EKF(在EKF中考慮了環(huán)境溫度影響因子和充放電倍率影響因子)和SVD-KSPKF算法進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，以更全面地對(duì)算法估計(jì)結(jié)果進(jìn)行比較分析。其中，電池SOC估計(jì)結(jié)果局部仿真放大圖如圖3所示。

圖3 電池SOC估計(jì)結(jié)果局部仿真放大圖

觀察圖3可以發(fā)現(xiàn)，3種算法在大約80 s后均能較好地實(shí)現(xiàn)SOC值的準(zhǔn)確估計(jì)。而在起初的0～80 s內(nèi)，SS-KSPKF算法具有比SVD-KSPKF算法和改進(jìn)型EKF算法更快的收斂速度和更好的收斂精度。可見(jiàn)，本研究提出的算法具有應(yīng)對(duì)模型不準(zhǔn)確以及跟蹤突變狀態(tài)的能力，很適合于礦用電池SOC估計(jì)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本研究詳細(xì)介紹了礦用電池狀態(tài)觀測(cè)復(fù)合模型，通過(guò)采用加權(quán)統(tǒng)計(jì)線性回歸法，實(shí)現(xiàn)了非線性函數(shù)的統(tǒng)計(jì)線性化過(guò)程。針對(duì)電池復(fù)合模型的特殊性，將標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波算法與SPKF算法組合使用，減少了計(jì)算量。通過(guò)奇異值分解和強(qiáng)跟蹤原理的引入，提出了改進(jìn)型SPKF算法，并將其應(yīng)用于礦用電池SOC估計(jì)。此外，本研究分析了改進(jìn)型SPKF算法的遞推過(guò)程，并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明:對(duì)于含有模型誤差和狀態(tài)突變的系統(tǒng)中，該算法依然具有較快的收斂速度以及較好的收斂精度。

綜上所述，本研究提出的基于改進(jìn)型的SPKF算法在保證了濾波精度和收斂速度的同時(shí)，還兼顧了計(jì)算量?？梢?jiàn)，該算法可應(yīng)用于礦用電池SOC估計(jì)。

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