□ 蘇進(jìn)展 □ 賀朝霞

長(zhǎng)安大學(xué) 道路施工技術(shù)與裝備教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710064

面齒輪傳動(dòng)是圓柱齒輪與平面齒輪嚙合的角度傳動(dòng)，可用于兩齒輪軸線正交、非正交或偏置等情況［1］。面齒輪副應(yīng)用在分流-匯流傳動(dòng)中，發(fā)揮了獨(dú)特的優(yōu)越性，在航空傳動(dòng)領(lǐng)域的應(yīng)用表現(xiàn)出了潛在的優(yōu)勢(shì)。但是國(guó)內(nèi)對(duì)于其嚙合效率的研究很少，而對(duì)圓柱齒輪嚙合效率做了大量的研究［2-4］，但摩擦因數(shù)大多采用平均值或由半經(jīng)驗(yàn)公式算得，趙寧等采用CFD（Computational FluidDynamics）計(jì)算面齒輪風(fēng)阻功率損失［5］。 本文在直齒面齒輪幾何接觸分析［6］和齒輪承載接觸分析［7］的基礎(chǔ)上，利用熱彈流理論得到接觸線上各點(diǎn)處的滑動(dòng)摩擦因數(shù)，進(jìn)而得到了直齒面齒輪傳動(dòng)的滑動(dòng)摩擦功率損失。

1 嚙合效率的計(jì)算流程

直齒面齒輪傳動(dòng)功率損失主要有滑動(dòng)摩擦功率損失、滾動(dòng)摩擦功率損失、風(fēng)阻損失等，其中滑動(dòng)摩擦功率損失所占比例很大，本文僅考慮滑動(dòng)摩擦功率損失對(duì)嚙合效率的影響。

直齒面齒輪傳動(dòng)嚙合效率的計(jì)算流程如圖1所示，主要由齒輪嚙合仿真、瞬時(shí)摩擦因數(shù)計(jì)算、嚙合效率的計(jì)算等組成。以△φ為步長(zhǎng)將一個(gè)嚙合周期分為m 個(gè)嚙合位置， 對(duì)應(yīng)小輪的轉(zhuǎn)角分別為 φi，i=1，2，3，…，m。在嚙合位置φi，由齒輪副的輪齒接觸分析（TCA）和輪齒承載接觸分析（LTCA）可以得到該位置下各嚙合線上各離散點(diǎn)處的法向載荷和載荷密度等；由各離散點(diǎn)的當(dāng)量曲率半徑、相對(duì)滑動(dòng)速度、法向載荷和載荷密度等以及潤(rùn)滑油的動(dòng)力黏度、齒輪的材料參數(shù)等可以得到彈流潤(rùn)滑狀態(tài)下各離散點(diǎn)的滑動(dòng)摩擦因數(shù)；由求得的法向載荷、相對(duì)滑動(dòng)速度和滑動(dòng)摩擦因數(shù)可以求得位置φi的直齒面齒輪瞬時(shí)滑動(dòng)摩擦功率損失，進(jìn)而求得瞬時(shí)嚙合效率。遍歷一個(gè)嚙合周期內(nèi)各嚙合位置的瞬時(shí)嚙合效率，進(jìn)而求出直齒面齒輪傳動(dòng)平均嚙合效率。

2 滑動(dòng)摩擦功率損失的計(jì)算

直齒面齒輪在承載情況下，由點(diǎn)接觸變?yōu)榻茩E圓的局部接觸區(qū)，又由于橢圓短軸對(duì)于長(zhǎng)軸來(lái)說(shuō)非常小，兩齒面在該點(diǎn)的接觸可以認(rèn)為是局部線接觸，所以該瞬時(shí)接觸點(diǎn)處的滑動(dòng)摩擦功率損失為沿橢圓長(zhǎng)軸上各點(diǎn)處的摩擦功率損失之和。將接觸線離散為有限線段，如圖2所示，以各段中點(diǎn)參數(shù)表示該段接觸線上各點(diǎn)的參數(shù)，由各段離散接觸線的滑動(dòng)摩擦功率損失之和近似表示該瞬時(shí)接觸線的滑動(dòng)摩擦功率損失。

▲圖1 嚙合效率計(jì)算流程

2．1 離散點(diǎn)處的相對(duì)滑動(dòng)速度

忽略齒面間隙和彈性變形量的影響，則兩齒面在離散點(diǎn) Mj處的切向速度和相對(duì)滑動(dòng)速度分別為：式中：分別為小輪和大輪在固定坐標(biāo)系Sf下，離散點(diǎn) Mj的速度；分別為向 n（Mj）f方向的投影。

2．2 滑動(dòng)摩擦因數(shù)的計(jì)算

齒輪在每段離散的嚙合線的潤(rùn)滑情況用兩個(gè)單位長(zhǎng)度當(dāng)量圓柱的接觸情況來(lái)模擬，如圖3所示，即兩個(gè)圓柱體沿其母線的接觸。圖中Wj為兩圓柱的法向載荷密度，為當(dāng)量圓柱的半徑，為兩當(dāng)量圓柱表面相對(duì)于接觸點(diǎn)Mj的運(yùn)動(dòng)速度。

如圖 4所示，eξ、eη分別為接觸橢圓在切平面∑t上的長(zhǎng)軸方向和短軸方向，則接觸線方向?yàn)閑ξ方向；es、eq為小輪齒面∑1在接觸線上任意離散點(diǎn)Mj處的兩個(gè)主方向；軸eξ與軸eq的夾角為σ［8-9］。等效圓柱的曲率為小輪齒面在離散點(diǎn)Mj處eη方向上的法曲率，由Euler方程可得：

式中：K1eηj為小輪齒面在離散點(diǎn)Mj處eη方向上的法曲率；為小輪齒面在離散點(diǎn)Mj處的兩個(gè)主曲率。

油膜壓力分布和膜厚分布可以通過(guò)聯(lián)立求解Reynolds方程、黏度方程、密度方程、能量平衡方程和載荷方程等求得，根據(jù)求得的油膜壓力分布、膜厚分布和Ree-Eyring流體的本構(gòu)方程可以得到油膜中剪應(yīng)力分布，根據(jù)求得的剪應(yīng)力分布可以求得兩接觸表面之間的摩擦力和摩擦因數(shù)。為了得到較好的收斂性能和較快的計(jì)算速度，本文僅僅考慮了熱效應(yīng)和非Newton流動(dòng)的影響，即建立穩(wěn)態(tài)熱彈流理論模型求解滑動(dòng)摩擦因數(shù)。圖5所示為接觸表面的摩擦力與潤(rùn)滑油的速度分布，圖中，x1和x2是油膜的起點(diǎn)和終點(diǎn)位置；F1和F2分別為兩表面上所受的摩擦力。滾動(dòng)摩擦力主要產(chǎn)生于入口區(qū)（x1，-b），滑動(dòng)摩擦力主要產(chǎn)生在接觸區(qū)（-b，b）內(nèi)，所以兩表面的滑動(dòng)摩擦力為：

▲圖2 接觸線離散

▲圖3 當(dāng)量圓柱接觸

▲圖4 切平面坐標(biāo)

▲圖5 速度分布與摩擦力

式中：τ為油膜內(nèi)剪應(yīng)力。

滑動(dòng)摩擦因數(shù)為：

將以上數(shù)學(xué)模型無(wú)量綱化，采用多重網(wǎng)格法求解壓力，采用逐列掃描技術(shù)求解溫度，通過(guò)壓力與溫度的反復(fù)迭代求得完全數(shù)值解，具體方法參見(jiàn)文獻(xiàn)［9］。在離散點(diǎn)Mj處，令：通過(guò)解以上各式，可得到離散點(diǎn)Mj處瞬時(shí)滑動(dòng)摩擦因數(shù)，采用同樣的辦法，可以依次求得各嚙合位置各離散點(diǎn)處的瞬時(shí)滑動(dòng)摩擦因數(shù)。

3 嚙合效率的計(jì)算

嚙合位置φi處離散點(diǎn)Mj處的瞬時(shí)滑動(dòng)摩擦因數(shù)μj（φi）確定后，該離散點(diǎn)處的滑動(dòng)摩擦力為：

式中：Fnj（φi）為嚙合位置 φi處離散點(diǎn) Mj處法向載荷。

由一般動(dòng)力學(xué)功率計(jì)算方法得到嚙合位置φi處齒面滑動(dòng)摩擦功率損失為：

式中：u（Mj）12（φi）為嚙合位置 φi處離散點(diǎn) Mj處兩齒面相對(duì)滑動(dòng)速度;n（i）為嚙合位置φi處離散點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

僅考慮滑動(dòng)摩擦功率損失情況下，直齒面齒輪在嚙合位置φi處瞬時(shí)嚙合效率為：

式中：Pin為齒輪的輸入功率。

由上述計(jì)算可以得到一個(gè)嚙合周期內(nèi)各嚙合位置φ1、φ2、．．、φm對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)嚙合效率 η（φ1）、η（φ2）、．．、η（φm），由最小二乘法擬合得到小輪轉(zhuǎn)角與瞬時(shí)嚙合效率的關(guān)系式：

沿嚙合周期內(nèi)對(duì)小輪轉(zhuǎn)角積分求平均值，得到直齒面齒輪的平均嚙合效率:

4 算例分析

以一對(duì)直齒面齒輪為例計(jì)算其嚙合效率，齒輪的參數(shù)如表1所示。圖6分別為嚙合線上離散點(diǎn)的法向載荷、相對(duì)滑動(dòng)速度和滑動(dòng)摩擦因子，高度為h的離散點(diǎn)的值表示為hc/h0，h為離散點(diǎn)的高度（如圖所示），h0為標(biāo)度的高度，c 為標(biāo)度（即 c=1m/s、500N、0．1）。 圖 7為齒輪嚙合效率隨小輪轉(zhuǎn)角的變化曲線，其中小輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度為一個(gè)周期。齒輪的輸入功率為73．3kW， 輸入轉(zhuǎn)速為1000r/min。

由圖6可以看出節(jié)線附近的相對(duì)滑動(dòng)速度很小，離節(jié)線越遠(yuǎn)的嚙合線上點(diǎn)的相對(duì)滑動(dòng)速度越大；不同嚙合線上離散點(diǎn)的滑動(dòng)摩擦因數(shù)不同，同一嚙合線上不同離散點(diǎn)的滑動(dòng)摩擦因數(shù)也不同。由圖7可以看出，齒輪在不同位置的嚙合效率不同，積分得到齒輪的平均嚙合效率為 0．98808。

表1 齒輪參數(shù)

圖8所示為一單位長(zhǎng)度圓柱與平面接觸時(shí)不同滑滾比、不同載荷密度下的滑動(dòng)摩擦因數(shù)，此時(shí)吸油速度為3．0m/s。在載荷密度是1000N/mm的條件下，圖9所示為不同滑滾比、不同卷吸速度下的滑動(dòng)摩擦因數(shù)。其中，圓柱半徑為 0．08m，滑滾比 Sr=2（u1-u2）/（u1+u2）。

▲圖6 旋轉(zhuǎn)投影面上相對(duì)滑動(dòng)速度、法向載荷和滑動(dòng)摩擦因數(shù)

▲圖7 嚙合效率曲線

▲圖8 滑動(dòng)摩擦因數(shù)

▲圖9 滑動(dòng)摩擦因數(shù)（W=1000N/mm）

▲圖10 齒輪平均嚙合效率

▲圖11 齒輪平均嚙合效率（本文所述算法）

由圖8、9可以看出，滑動(dòng)摩擦因數(shù)隨滑滾比的減小先增大后減小，在純滾動(dòng)處，滑動(dòng)摩擦因數(shù)為零。相對(duì)滑動(dòng)摩擦因數(shù)隨齒輪所承受法向載荷密度的增大而增大，隨齒輪卷吸速度的增大而減小。

圖10所示為假設(shè)齒輪摩擦因數(shù)為一固定值0．1、不同輸入扭矩下直齒面齒輪嚙合效率隨轉(zhuǎn)速的變化曲線，圖11所示為本文所述算法求得的不同輸入扭矩下直齒面齒輪嚙合效率隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。

圖10中假定齒面摩擦因數(shù)為一固定值，則齒輪的嚙合效率隨轉(zhuǎn)速和扭矩的變化都不大；圖11是由本文計(jì)算模型得到的嚙合效率，隨轉(zhuǎn)速增大而增大，隨扭矩增大而減小。說(shuō)明轉(zhuǎn)速和扭矩對(duì)嚙合效率的影響主要是通過(guò)摩擦因數(shù)實(shí)現(xiàn)的。

5 結(jié)論

通過(guò)以上分析可以得到以下結(jié)論。

（1）熱彈流理論及其數(shù)值解法的發(fā)展使熱彈流理論可以用于求解齒輪的傳動(dòng)效率，提高齒輪傳動(dòng)效率的計(jì)算精度。

（2）齒面上不同位置的滑動(dòng)摩擦因數(shù)也不相同，且不同工況下齒面上同一位置的滑動(dòng)摩擦因數(shù)也不相同，因此采用平均摩擦因數(shù)來(lái)計(jì)算嚙合效率有一定的偏差。

（3）齒面滑動(dòng)摩擦因數(shù)是影響齒輪嚙合效率的重要因素，扭矩、轉(zhuǎn)速對(duì)嚙合效率的影響是通過(guò)影響摩擦因數(shù)實(shí)現(xiàn)的。僅考慮滑動(dòng)摩擦功率損失情況下，齒輪嚙合效率隨滑動(dòng)摩擦因數(shù)的減小而增加。

（4）扭矩、轉(zhuǎn)速是影響滑動(dòng)摩擦因數(shù)的重要因素，齒面滑動(dòng)摩擦因數(shù)隨扭矩的增大而增大，隨轉(zhuǎn)速的增大而減小。

［1］ 朱如鵬，高德平．面齒輪傳動(dòng)的研究現(xiàn)狀與發(fā)展 ［J］．南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，1997，29（3）:357-362．

［2］ 王成，方宗德，賈海濤．斜齒輪滑動(dòng)摩擦功率損失的計(jì)算［J］．燕山大學(xué)學(xué)報(bào)， 2009， 33（2）:99-102．

［3］ 王成，高常青，賈海濤．基于人字齒輪嚙合特性的滑動(dòng)摩擦功率損失［J］．中南大學(xué)學(xué)報(bào) （自然科學(xué)版），2012，43（6）:2174．

［4］ Seetharaman S．An Investigation of Load-independent Power Losses of Gear Systems ［D］． Columbus：Ohio State University， 2009．

［5］ 趙寧，賈清?。?CFD的面齒輪風(fēng)阻功率損失研究［J］．機(jī)械傳動(dòng)， 2012， 36（9）:4-7．

［6］ 沈云波，方宗德，趙寧，等．考慮邊緣接觸直齒面齒輪傳動(dòng)輪齒接觸分析［J］．機(jī)械傳動(dòng)， 2009， 33（1）:9-13．

［7］ 沈云波，方宗德，趙寧，等．考慮邊緣接觸直齒面齒輪傳動(dòng)承載接觸分析 ［J］．機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2009（8）:1096-1100．

［8］ Litvin F L， Fuentes A．Gear Geometry and Applied Theory［M］．Cambridge University Press， 2004．

［9］ 魯文龍，朱如鵬，曾英．正交面齒輪傳動(dòng)中齒面曲率研究［J］．南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)， 2000， 32（4）:400-404．

［10］ 楊沛然．流體潤(rùn)滑數(shù)值分析［M］．北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1998．