周波陽(yáng),羅志才,寧津生,鐘 波

1.廣東工業(yè)大學(xué)測(cè)繪工程系,廣東廣州 510006;2.武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院,湖北武漢 430079;3.武漢大學(xué)地球空間環(huán)境與大地測(cè)量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北武漢 430079

航空矢量重力測(cè)量水平分量的帶限直接地形影響

周波陽(yáng)1,2,羅志才2,3,寧津生2,3,鐘 波2,3

1.廣東工業(yè)大學(xué)測(cè)繪工程系,廣東廣州 510006;2.武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院,湖北武漢 430079;3.武漢大學(xué)地球空間環(huán)境與大地測(cè)量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北武漢 430079

基于第二類(lèi)Helmert凝聚法的級(jí)數(shù)展開(kāi)式,獨(dú)立推導(dǎo)了航空矢量重力測(cè)量水平分量帶限直接地形影響的計(jì)算公式。在中國(guó)西部山區(qū)選取了兩條沿緯圈方向4000 m航線高度上的航線,采用3″×3″的數(shù)字高程模型基于解析核計(jì)算了水平分量的直接地形影響,經(jīng)低通濾波后與基于帶限公式計(jì)算的地形影響進(jìn)行比較。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,二者吻合較好,本文給出的帶限地形影響公式可用于航空矢量重力測(cè)量水平分量的地形歸算。

航空矢量重力測(cè)量;水平分量;帶限直接地形影響;第二類(lèi)Helmert凝集法

1 引 言

地形起伏反映了地球重力場(chǎng)的不規(guī)則變化,精確確定地形對(duì)地球重力場(chǎng)的影響具有十分重要的意義[1-3]。第二類(lèi)Helmert凝集法是目前應(yīng)用最為廣泛的地形歸算方法,其基本思想是將大地水準(zhǔn)面外部地形質(zhì)量引力位與凝集層地形質(zhì)量引力位作差得到地形對(duì)引力位的直接影響,再轉(zhuǎn)化為地形對(duì)重力的直接影響,從而將重力觀測(cè)值轉(zhuǎn)化至Helmert調(diào)和空間,求解大地測(cè)量邊值問(wèn)題得到調(diào)整大地水準(zhǔn)面(co-geoid)后再恢復(fù)地形位和凝集層位產(chǎn)生的間接影響即可計(jì)算出真實(shí)的大地水準(zhǔn)面[4-5]。第二類(lèi)Helmert凝集法分為解析形式和級(jí)數(shù)展開(kāi)形式,前者提供全波段的地形質(zhì)量改正,后者則是將牛頓積分核函數(shù)展開(kāi)成Legendre多項(xiàng)式的收斂級(jí)數(shù),可用來(lái)計(jì)算帶限地形影響。

航空重力測(cè)量是在動(dòng)態(tài)環(huán)境中進(jìn)行的,各類(lèi)觀測(cè)數(shù)據(jù)中包含了大量的高頻觀測(cè)噪聲,消除這些噪聲的主要手段是使用低通濾波器,濾波后得到的重力信號(hào)為帶限重力信號(hào)[6-9]。因此,采用解析公式計(jì)算的全頻譜地形直接影響和間接影響對(duì)航空矢量重力觀測(cè)值進(jìn)行改正是不合理的,解決這一問(wèn)題的方法有兩類(lèi):①將地形改正值也作相應(yīng)的低通濾波處理,使得地形效應(yīng)的頻譜范圍與航空重力觀測(cè)值一致[10],這種解決方案需要輸入飛行高度上密集采樣點(diǎn)處的地形質(zhì)量影響值,采用高分辨率的DEM來(lái)進(jìn)行計(jì)算時(shí)工作量相當(dāng)龐大;②基于第二類(lèi)Helmert凝集法的級(jí)數(shù)形式,采用帶限公式來(lái)計(jì)算地形質(zhì)量對(duì)引力位和重力擾動(dòng)的直接影響公式和大地水準(zhǔn)面的間接影響[11-13],這種解決方法的優(yōu)點(diǎn)是可依據(jù)重力觀測(cè)值的頻譜范圍來(lái)調(diào)整積分核函數(shù)的起始階數(shù)和最高階數(shù),從而避免對(duì)地形質(zhì)量影響作低通濾波處理,原理簡(jiǎn)單而且計(jì)算方便。文獻(xiàn)[11]基于第二類(lèi)Helmert凝集法的級(jí)數(shù)形式推導(dǎo)出地形質(zhì)量對(duì)引力位和重力擾動(dòng)的帶限直接影響改正公式以及對(duì)大地水準(zhǔn)面的帶限間接影響改正公式,將基于級(jí)數(shù)核計(jì)算的帶限直接地形影響和間接地形影響與基于解析核計(jì)算并經(jīng)低通濾波處理后得到的帶限直接地形影響和間接地形影響進(jìn)行了比較,驗(yàn)證了算法的有效性,這一套帶限地形影響改正公式可對(duì)重力擾動(dòng)或重力異常進(jìn)行地形歸算,針對(duì)的是航空標(biāo)量重力測(cè)量觀測(cè)值。航空重力矢量測(cè)量獲取的是擾動(dòng)重力的3個(gè)分量,而針對(duì)水平分量帶限地形影響改正的研究尚未有公開(kāi)的文獻(xiàn)發(fā)表。本文在文獻(xiàn)[11]的研究基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出重力水平分量的帶限直接地形影響改正公式,并通過(guò)數(shù)值計(jì)算與分析來(lái)驗(yàn)證該算法的有效性。

2 第二類(lèi)Helmert凝集法

Helmert調(diào)和空間內(nèi)某點(diǎn)的擾動(dòng)位Th(r, Ω)與真實(shí)地球擾動(dòng)位T r(,Ω)具有以下關(guān)系

式中,r為計(jì)算點(diǎn)到地心的距離;δThr(,Ω)為地形對(duì)引力位的直接影響,是大地水準(zhǔn)面外地形的引力位與凝集層地形引力位之差

式中,Vt為大地水準(zhǔn)面外的地形引力位;Vct為凝集層地形引力位,分別可表示為

式中,G為萬(wàn)有引力常數(shù);R為地球平均半徑,取為6 371 000 m;ρ為地殼平均密度,取為2.67 g/cm3; r′為流動(dòng)點(diǎn)到地心的距離;ΩS表示積分區(qū)域; HT(Ω′)為流動(dòng)點(diǎn)的地形高度;dΩ′＝cos?′d?′dλ′為積分元;σ(Ω′)為凝集層面密度,因大地水準(zhǔn)面外地形質(zhì)量與凝集層質(zhì)量相等,σ(Ω′)可寫(xiě)為[14]

L－1為牛頓積分核函數(shù),其解析形式如下

當(dāng)r＞r′時(shí),式(6)還可展開(kāi)為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式的收斂級(jí)數(shù)

式中,ψ為計(jì)算點(diǎn)Ω＝(?,λ)和流動(dòng)點(diǎn)Ω′＝(?′, λ′)之間的球面距離。

3 重力水平分量的全頻譜地形影響

文獻(xiàn)[15]給出了平面逼近下大地水準(zhǔn)面外地形對(duì)重力水平分量的影響

式中,s＝x,y;P為計(jì)算點(diǎn);Q為流動(dòng)點(diǎn);x軸正方向?yàn)闁|向;y軸正方向?yàn)楸毕?。?8)可以化為卷積形式,并通過(guò)快速傅里葉FFT來(lái)計(jì)算[16]。

平面逼近下凝集層地形對(duì)引力位的影響為[15]

4 引力位的帶限直接地形影響

文獻(xiàn)[11]給出了引力位的帶限直接地形影響的計(jì)算公式

式中,Pn(cosψ)為第n階Legendre多項(xiàng)式;Nmin為起始階數(shù),Nmax為最大階數(shù),這意味著可以通過(guò)改變Nmin和Nmax的大小來(lái)使地形影響的頻譜范圍與重力觀測(cè)值保持一致。若求解邊值問(wèn)題時(shí)采用移去-恢復(fù)法,則Nmin－1應(yīng)為所選取參考位模型的最大階數(shù)。

5 重力矢量水平分量的帶限直接地形影響

依據(jù)重力矢量各分量與擾動(dòng)位的關(guān)系[17],對(duì)式(11)作如下變換即可得重力北向分量和東向分量的帶限地形影響

6 數(shù)值計(jì)算與分析

為驗(yàn)證在第二類(lèi)Helmert凝集法框架下導(dǎo)出的重力水平分量帶限直接地形影響的計(jì)算模型,本文采用SRTM(shuttle radar topography mission)[19]地形高程數(shù)據(jù)分別計(jì)算了重力水平分量的帶限直接地形影響和全頻譜直接地形影響,并進(jìn)行比較檢校。所選數(shù)據(jù)點(diǎn)區(qū)域由緯線[28°N,35°N]和經(jīng)線[105°E,112°E]圍成,位于中國(guó)西部,圖1為該區(qū)域的實(shí)際地形。

圖1 SRTM地形Fig.1 SRTM topography

選取兩條沿緯圈方向的航線,緯度分別為31.5°N和32.5°N,經(jīng)度范圍為[107°E,110°E] (圖1),圖2給出了這兩條緯線的地形高程剖面。分別依據(jù)式(14)計(jì)算了兩條緯線上重力矢量水平分量的帶限直接地形影響(飛行高度為4 km),積分核式(15)、式(16)的起止階數(shù)分別取為Nmin＝0和Nmax＝2160,對(duì)應(yīng)重力觀測(cè)值的分辨率為5′×5′,同時(shí)基于解析牛頓積分核計(jì)算了相應(yīng)點(diǎn)位處重力水平分量的全頻譜直接地形影響。圖3—圖6分別給出了在4 km飛行高度處沿上述兩條緯線的重力北向水平面分量和東向水平分量的直接地形影響,其中左圖是基于0～2160階級(jí)數(shù)展開(kāi)核的帶限直接地形影響與基于解析核的全頻譜直接地形影響的比較,右圖為基于級(jí)數(shù)展開(kāi)核計(jì)算的帶限直接地形影響與基于解析核并經(jīng)低通濾波處理后所得直接地形影響的比較,低通濾波器采用文獻(xiàn)[20]中介紹的迭代高斯濾波,濾波窗口選為5′。

圖2 沿緯線31.5°和32.5°的地形高度剖面Fig.2 Topography height profiles along the parallels of 31.5°N and 32.5°N

圖3 沿31.5°N緯線4 km飛行高度處北向分量的直接地形影響Fig.3 DTE for northern component at 4 km flight height along the parallel of 31.5°N

圖4 沿32.5°N緯線4 km飛行高度處北向分量的直接地形影響Fig.4 DTE for northern component at 4 km flight height along the parallel of 32.5°N

圖5 沿31.5°N緯線4 km飛行高度處東向分量的直接地形影響Fig.5 DTE for eastern component at 4 km flight height along the parallel of 31.5°N

圖6 沿32.5°N緯線4 km飛行高度處東向分量的直接地形影響Fig.6 DTE for eastern component at 4 km flight height along the parallel of 32.5°N

從圖3—圖6中可以看出,按照式(14)計(jì)算的重力水平分量的帶限直接地形影響與基于解析牛頓核計(jì)算的全頻譜直接地形影響在整體趨勢(shì)上比較吻合,區(qū)別在于前者更為平滑,而后者則表現(xiàn)出更多的高頻特性,這是由二者的頻譜范圍決定的,前者最大頻譜對(duì)應(yīng)的是2160階,而后者代表的是全頻譜的地形質(zhì)量影響。對(duì)全頻譜地形影響進(jìn)行低通濾波處理使其與帶限地形影響頻譜范圍一致之后,兩者的吻合程度大幅提高,但二者之間仍存在一定的差異,這是因?yàn)榈屯V波技術(shù)并不能濾掉截止頻率之外的所有的高頻信號(hào)。表1列出了低通濾波前后基于級(jí)數(shù)展開(kāi)牛頓核的地形影響與基于牛頓解析核的地形影響的差值統(tǒng)計(jì)信息,濾波后二者之差的最大值、最小值大幅減小, RMS也降至實(shí)測(cè)航空重力數(shù)據(jù)的精度范圍之內(nèi),說(shuō)明由基于級(jí)數(shù)展開(kāi)核計(jì)算的帶限直接地形影響可用于航空矢量重力測(cè)量水平分量觀測(cè)值的地形歸算。

表1 基于級(jí)數(shù)展開(kāi)核的地形影響與基于解析核的地形影響的差值統(tǒng)計(jì)Tab.1 Statistics of the differences between topographical effects based on series-expanded kernel and analytical Newton kernel

值得注意的是,重力水平分量的帶限地形影響計(jì)算公式也有一定的局限性,當(dāng)航空矢量重力測(cè)量的分辨率提高,如由本文中的5′×5′提升至1′×1′時(shí),Nmax的值由2160增加至10 800,計(jì)算量將會(huì)大幅增加。

7 結(jié) 論

航空矢量重力測(cè)量的水平分量觀測(cè)值是帶限重力信號(hào),本文從第二類(lèi)Helmert凝集法的基本原理出發(fā),推導(dǎo)出適用于航空重力矢量測(cè)量水平分量帶限地形影響的改正公式,該公式可通過(guò)調(diào)節(jié)核函數(shù)的起始階數(shù)和最大階數(shù)來(lái)使水平分量的地形影響具有與水平分量一致的頻譜范圍。

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(責(zé)任編輯:宋啟凡)

Band-limited Direct Topographical Effects of Horizontal Components in Airborne Vector Gravimetry

ZHOU Boyang1,2,LUO Zhicai2,3,NING Jinsheng2,3,ZHONG Bo2,3
1.Department of Surveying and Mapping,Guangdong University of Technology,Guangzhou 510006,China; 2.School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,Wuhan 430079,China;3.Key Laboratory of Geospace Environment and Geodesy,Ministry of Education,Wuhan University,Wuhan 430079,China

Based on the series-expanded expression of Helmert’s 2nd condensation method,formulae of band-limited direct topographical effect of horizontal components in airborne vector gravimetry are deduced independently.Using a 3″×3″digital elevation model,direct topographical effects of the horizontal components are computed based on the analytical kernel along selected flight lines in western area of China with flight height of 4000 m,these values are processed by low-pass filter and compared to values computed by the band-limited formulae.It turns out that both topographical effects have a good consistence,and the band-limted formulae can be used for topography reduction for horizontal components of airborne vector gravimetry.

airborne vector gravimetry;horizontal components;band-limited direct topographical effect; Helmert’s 2nd condensation method

ZHOU Boyang(1983—),male,PhD, majors in data processing of airborne gravimetry.

P223

A

1001-1595(2014)10-1019-06

國(guó)家自然科學(xué)基金(41174062);國(guó)家973計(jì)劃(2013CB733302);地球空間環(huán)境和大地測(cè)量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金(12-02-05)

2013-12-05

周波陽(yáng)(1983—),男,博士,研究方向?yàn)楹娇罩亓y(cè)量數(shù)據(jù)處理。

E-mail:byzhou＠whu.edu.cn

ZHOU Boyang,LUO Zhicai,NING Jinsheng,et al.Band-limited Direct Topographical Effects of Horizontal Components in Airborne Vector Gravimetry[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(10):1019-1024.(周波陽(yáng),羅志才,寧津生,等.航空矢量重力測(cè)量水平分量的帶限直接地形影響[J].測(cè)繪學(xué)報(bào),2014,43(10):1019-1024.)

10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0144

修回日期:2014-07-20