段鵬碩,劉根友,龔有亮,郝曉光,王娜子

1.中國科學(xué)院測量與地球物理研究所大地測量與地球動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北武漢 430077; 2.中國科學(xué)院大學(xué),北京 100049;3.信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院,河南鄭州 450052

空間坐標(biāo)系變換的函數(shù)梯度描述方法

段鵬碩1,2,劉根友1,龔有亮3,郝曉光1,王娜子1,2

1.中國科學(xué)院測量與地球物理研究所大地測量與地球動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北武漢 430077; 2.中國科學(xué)院大學(xué),北京 100049;3.信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院,河南鄭州 450052

為了將空間坐標(biāo)系變換由靜態(tài)的、不隨時(shí)間發(fā)生變換的情況推廣到動態(tài)的、隨時(shí)間發(fā)生變換以及任意角度發(fā)生變換的情況,基于單位四元數(shù)構(gòu)造的旋轉(zhuǎn)矩陣和羅德里格矩陣的完全等價(jià)性,揭示出空間坐標(biāo)系(空間直角坐標(biāo)系)變換與函數(shù)梯度的數(shù)學(xué)關(guān)系,推導(dǎo)出由函數(shù)梯度表示的空間坐標(biāo)系變換的數(shù)學(xué)公式,在理論上說明了用函數(shù)梯度描述空間坐標(biāo)系變換的方法。研究表明,在數(shù)學(xué)意義上,空間坐標(biāo)系變換的本質(zhì)是“場”,可以用“場”的概念統(tǒng)一以任意角度發(fā)生旋轉(zhuǎn)變換的空間坐標(biāo)系變換特例,為進(jìn)一步研究空間坐標(biāo)系隨時(shí)間發(fā)生連續(xù)變換的情況或以新的思路為運(yùn)動載體定姿奠定了理論基礎(chǔ)。

空間坐標(biāo)系變換;函數(shù)梯度場;完全等價(jià)性;場

1 引 言

在測量工作中,空間直角坐標(biāo)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換工作的地位極其重要,如在大地測量中,經(jīng)常遇到WGS-84坐標(biāo)系到1954北京坐標(biāo)系或是1980西安坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換,以及國家坐標(biāo)系到地方坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換等[1-4]。在以往的工作中,一般采用小角度模型進(jìn)行空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,如眾所周知的布爾沙-沃爾夫(Bursa-Wolf)轉(zhuǎn)換模型、莫洛金斯基轉(zhuǎn)換模型和范士轉(zhuǎn)換模型等[5-9]。文獻(xiàn)[6]將眾多的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換數(shù)字模型統(tǒng)一為線性回歸模型,提出了模型的檢驗(yàn)方法,并將其統(tǒng)一于線性約束的回歸模型。在處理大角度轉(zhuǎn)換問題時(shí),可對作業(yè)方法進(jìn)行改進(jìn),使大旋轉(zhuǎn)角變成小旋轉(zhuǎn)角;或先將大旋轉(zhuǎn)角近似地改正后轉(zhuǎn)換成小旋轉(zhuǎn)角,再采用小旋轉(zhuǎn)角的空間直角轉(zhuǎn)換模型,上述方法的目的都是為了簡化計(jì)算過程,避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型,因?yàn)樵诖笮D(zhuǎn)角的空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中,需要處理極為復(fù)雜的非線性問題且過程非常復(fù)雜,計(jì)算誤差也較大,不能保證其精度及合理性[1]。文獻(xiàn)[8]討論了三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的線性模型的應(yīng)用范圍,提出了三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的非線性模型,解決了模型對旋轉(zhuǎn)角大小的限制。文獻(xiàn)[9]針對我國平面控制網(wǎng)與高程控制網(wǎng)分開布設(shè)的特點(diǎn),借助過渡坐標(biāo)系,改進(jìn)了計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的常用模型。

在實(shí)際工作中,很多領(lǐng)域不可避免地會遇到大旋轉(zhuǎn)角的空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題,而且在許多情況下不能對模型進(jìn)行線性處理[1]。對此,許多學(xué)者進(jìn)行了深入研究,提出了一些能夠適用于大旋轉(zhuǎn)角的空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型[10-14],如利用羅德里格矩陣代替方向余弦矩陣的方法和利用四元數(shù)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣等。文獻(xiàn)[10]利用反對稱矩陣和羅德里格矩陣的性質(zhì),把傳統(tǒng)的3個(gè)旋轉(zhuǎn)角參數(shù)用反對稱矩陣的3個(gè)獨(dú)立元素代替,解決了任意角度的坐標(biāo)系變換問題。文獻(xiàn)[14]提出一種基于四元數(shù)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣來解算三維空間相似變換模型的方法,結(jié)果表明該方法可適用于大旋轉(zhuǎn)角度的坐標(biāo)變換。

以上關(guān)于空間坐標(biāo)系變換的文章研究的都是固定的、靜態(tài)的空間坐標(biāo)系之間的變換問題(如1954北京坐標(biāo)系到1980西安坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換等)。對于大角度的空間坐標(biāo)系變換雖有理論研究,但主要還是固定的、靜態(tài)(旋轉(zhuǎn)角不隨時(shí)間發(fā)生變化)的空間坐標(biāo)系之間的變換問題。如何在理論上將空間坐標(biāo)系變換由小角度推廣到任意角度、由靜態(tài)推廣到動態(tài),即研究空間坐標(biāo)系隨時(shí)間發(fā)生連續(xù)變換、任意角度連續(xù)變換的情況(能夠?yàn)榇_定運(yùn)動載體的姿態(tài)提供一種新思路、新方法),需要研究和深入探討空間坐標(biāo)系變換的本質(zhì)問題。

基于單位四元數(shù)構(gòu)造的旋轉(zhuǎn)矩陣與羅德里格矩陣兩者的內(nèi)在一致性,本文從更深層次上探討空間坐標(biāo)系變換的本質(zhì),提出用函數(shù)梯度描述空間坐標(biāo)系變換的方法。理論研究表明,空間坐標(biāo)系變換對應(yīng)函數(shù)梯度場,即空間坐標(biāo)系變換的本質(zhì)是“場”,可以用“場”的概念統(tǒng)一以任意角度發(fā)生旋轉(zhuǎn)變換的空間坐標(biāo)系變換特例。從而在理論上為進(jìn)一步研究任意角度的空間坐標(biāo)系變換,尤其是空間坐標(biāo)系隨時(shí)間發(fā)生連續(xù)變換的情況奠定理論基礎(chǔ)。

2 基于單位四元數(shù)的旋轉(zhuǎn)矩陣與羅德里格矩陣

文獻(xiàn)[15—18]提出四元數(shù)的概念,認(rèn)為四元數(shù)是一個(gè)有著4個(gè)元素的列向量,用矢量表示見式(1)

式中,w為實(shí)部;i、j、k為虛部。

單位四元數(shù)需要滿足下式

設(shè)單位四元數(shù)q＝ [x y z w],則構(gòu)造的代數(shù)旋轉(zhuǎn)矩陣RI為

其詳細(xì)的推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[14—18]。

對于羅德里格矩陣,設(shè)反對稱矩陣為

式中,a、b、c 3個(gè)變量是獨(dú)立的,由S可構(gòu)成羅德里格矩陣RII。根據(jù)反對稱矩陣S構(gòu)造的羅德里格矩陣RII,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為[1,10,19-20]

式中,I是三階單位矩陣。

將反對稱矩陣S代入式(3),經(jīng)過有關(guān)矩陣運(yùn)算可得

式(4)即為羅德里格矩陣的完整形式。

基于單位四元數(shù)構(gòu)造的旋轉(zhuǎn)矩陣式(2),經(jīng)常應(yīng)用在攝影測量與遙感領(lǐng)域,用四元數(shù)描述三維旋轉(zhuǎn)以及運(yùn)動載體的姿態(tài)具有優(yōu)越性[14-18]。文獻(xiàn)[16]指出采用單位四元數(shù)描述相機(jī)姿態(tài),可較好地克服歐拉角在空間方位的描述和插值中的局限性;文獻(xiàn)[17]介紹了四元數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì),提出利用單位四元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)的方法,給出了基于單位四元數(shù)的空間后方交會解算方法及其計(jì)算公式,并證明了該方法對角元素不加任何限制,適用于大傾角攝影的航片;文獻(xiàn)[14]研究表明,基于單位四元數(shù)的旋轉(zhuǎn)矩陣可以適用于小角度、大角度以及任意角度的空間坐標(biāo)系變換。羅德里格矩陣經(jīng)常應(yīng)用于大地測量領(lǐng)域,特別是在研究大角度的空間坐標(biāo)系的變換時(shí),在計(jì)算的簡易程度方面相對于空間歐拉角具有明顯的優(yōu)越性,且適用于任意角度的空間坐標(biāo)系變換[1,10]。

以上分析說明,基于單位四元數(shù)構(gòu)造的旋轉(zhuǎn)矩陣RI和羅德里格矩陣RII均能夠表示空間任意角度的坐標(biāo)系變換。那么,RI和RII在數(shù)學(xué)上存在統(tǒng)一性或完全等價(jià)性條件嗎?如果此完全等價(jià)性條件存在,則空間坐標(biāo)系變換就對應(yīng)此完全等價(jià)性條件。

3 基于單位四元數(shù)的旋轉(zhuǎn)矩陣和羅德里格矩陣的完全等價(jià)條件

由單位四元數(shù)的歸一化條件

令羅德里格矩陣中的3個(gè)獨(dú)立元素a、b、c分別為

將其代入式(4),可得

上式右邊便是單位四元數(shù)構(gòu)造的旋轉(zhuǎn)矩陣RI。

綜上分析,如果羅德里格矩陣要轉(zhuǎn)化為單位四元數(shù)構(gòu)造的旋轉(zhuǎn)矩陣,需要滿足如下條件(僅考慮w＞0時(shí)的情況,對于w＜0,與此類似,不再贅述)

然而,當(dāng)w→0時(shí),a、b、c同時(shí)趨近于無窮大。因此在羅德里格矩陣向基于單位四元數(shù)構(gòu)造的旋轉(zhuǎn)矩陣轉(zhuǎn)化的過程中,會出現(xiàn)“奇點(diǎn)”現(xiàn)象。

如果假設(shè)空間向量

u為函數(shù)f(x,y,z)的梯度。由以上證明過程可知,羅德里格矩陣與基于單位四元數(shù)構(gòu)造的旋轉(zhuǎn)矩陣完全等價(jià),針對的不是函數(shù)f(x,y,z)在某點(diǎn)處的具體的梯度向量,而是它的所有點(diǎn)的梯度向量,是所有點(diǎn)處的梯度向量所組成的區(qū)域或者空間。因此,羅德里格矩陣與基于單位四元數(shù)的旋轉(zhuǎn)矩陣完全等價(jià)所要求的條件是,函數(shù)f(x,y,z)在其定義域內(nèi)的所有點(diǎn)處的梯度向量所組成的向量空間。

在高等數(shù)學(xué)中,對于“場”的概念有明確的定義,即如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任意一點(diǎn)M,都有一個(gè)確定的數(shù)量f(M),則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)數(shù)量場。一個(gè)數(shù)量場可以用一個(gè)數(shù)量函數(shù)f(M)來確定。如果與點(diǎn)M相對應(yīng)的是一個(gè)向量F(M),則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)向量場。一個(gè)向量場可以用一個(gè)向量值函數(shù)F(M)來確定,而

F(M)＝P(M)i＋Q(M)j＋R(M)k

式中,P(M)、Q(M)、R(M)是點(diǎn)M的數(shù)量函數(shù)。按照“場”的定義可知

將式(7)代入式(3)就可得到羅德里格矩陣RII,這時(shí)的RII將對應(yīng)一個(gè)確定的空間坐標(biāo)系變換特例,或者說此時(shí)RII表示一個(gè)已經(jīng)確定的空間坐標(biāo)系變換情況。

按照上述觀點(diǎn)可得一個(gè)奇特的結(jié)論,三維空間兩個(gè)確定的坐標(biāo)系之間的變換(如1954北京坐標(biāo)系到1980西安坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換)對應(yīng)一條確定的(三維)梯度向量,即可以用一條梯度向量來描述。如果上述觀點(diǎn)成立,則描述兩個(gè)確定的空間坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換僅用一條(三維)向量就足夠了。下面將證明上述結(jié)論。

4 空間坐標(biāo)系變換與函數(shù)梯度場

4.1 空間坐標(biāo)系變換的梯度場描述

其中

考慮單位四元數(shù)的歸一化條件

可得

即

以上兩種情況表明,由于單位四元數(shù)的歸一化條件使得用一條三維向量來描述坐標(biāo)系變換變得困難起來。因此在三維空間內(nèi),單獨(dú)用單位四元數(shù)向量無法描述空間坐標(biāo)系變換,必須將單位四元數(shù)與羅德里格矩陣中的3個(gè)獨(dú)立元素結(jié)合起來考慮問題。

考慮單位四元數(shù)的4個(gè)元素的定義式(8)、式(9),可得

結(jié)合式(5)、式(6)進(jìn)一步得到

因此

綜上,空間中的任一旋轉(zhuǎn)軸指向向量可表示為

由式(5)、式(6)、式(13),可得

式(14)即為旋轉(zhuǎn)角度θ的計(jì)算公式。

綜上,可得含有系數(shù)的公式為

在式(15)中,由于n表示的是空間坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)軸指向向量,與自身系數(shù)無關(guān),可將式(15)中的μ去掉,并令空間坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)軸指向向量為單位矢量ne,可進(jìn)一步得到由函數(shù)梯度表示的空間坐標(biāo)系變換的數(shù)學(xué)公式

對于一般情況或者廣義的空間坐標(biāo)系變換,即為空間坐標(biāo)系變換對應(yīng)函數(shù)梯度場。因此根據(jù)式(16)以及在數(shù)學(xué)上對于“場”的定義可以得出結(jié)論,空間坐標(biāo)系變換在本質(zhì)上是一種“場”。

4.2 布爾莎(Bursa)模型的梯度場描述

將其代入式(16),并經(jīng)化簡可得

其含義是坐標(biāo)系繞x軸旋轉(zhuǎn)εx。

式(21)即為繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣。繞y、z軸情況類似,不再贅述。不難看出,以上證明過程在理論上驗(yàn)證了式(16)的正確性。

將式(22)代入羅德里格矩陣,可得

一般情況下,可視x0、y0、z0數(shù)值在同一數(shù)量級,故約去二次項(xiàng)可得到

此旋轉(zhuǎn)矩陣為布爾莎模型中的旋轉(zhuǎn)矩陣。

因此,綜合以上兩類情況的證明過程可進(jìn)一步驗(yàn)證式(16)的正確性以及在理論上可對布爾莎模型作出梯度場的描述。

5 結(jié) 論

在大地測量學(xué)中,εx、εy、εz稱為空間歐勒角,用它描述空間坐標(biāo)系變換比較形象直觀。對于大角度的變換情況,會涉及非線性問題線性化的問題,往往會造成較大的模型誤差或使模型解算過程煩瑣等缺點(diǎn)[6-7]。由于在三維空間中,點(diǎn)位和向量是一一對應(yīng)的,式(16)已經(jīng)表明,空間坐標(biāo)系變換與向量一一對應(yīng),因此,空間坐標(biāo)系變換亦與三維空間中的點(diǎn)位產(chǎn)生一一對應(yīng)的關(guān)系。按照這樣的思路,可將以任意角度發(fā)生旋轉(zhuǎn)變換的空間坐標(biāo)系變換的特例轉(zhuǎn)化成為三維空間之中的點(diǎn)位,按照點(diǎn)位去研究空間坐標(biāo)系變換問題,可使要研究的問題變得更加方便和直觀,筆者將在后續(xù)工作中作進(jìn)一步研究。

空間小角度的坐標(biāo)系變換對應(yīng)的是函數(shù)f(x,y,z)在其定義域內(nèi)離原點(diǎn)較近處點(diǎn)的梯度所形成的勢場;較大角度的空間坐標(biāo)系變換對應(yīng)的是函數(shù)f(x,y,z)在其定義域內(nèi)離原點(diǎn)較遠(yuǎn)處點(diǎn)的梯度所形成的勢場;將空間坐標(biāo)系變換視為“場”的觀點(diǎn)很容易理解:坐標(biāo)系變換可看成矢量,即它是一個(gè)既有大小又有方向的量,方向就是旋轉(zhuǎn)軸指向,大小就是旋轉(zhuǎn)角大小的弧度值。通過空間坐標(biāo)系變換的數(shù)學(xué)公式——式(16)可知,空間坐標(biāo)系變換的方向?yàn)樘荻确较?大小由該梯度的模決定。其實(shí),上述觀點(diǎn)已經(jīng)蘊(yùn)含了一種空間坐標(biāo)系變換的“統(tǒng)一”思想。值得說明的是,本文著力探討空間坐標(biāo)系變換的本質(zhì)問題,由于空間坐標(biāo)系變換中的平移和伸縮不能改變空間坐標(biāo)系變化的本質(zhì),即“場”的特性,考慮到在空間坐標(biāo)系變換中,平移因子和尺度因子相對于旋轉(zhuǎn)矩陣的確定要容易得多,因此本文不涉及平移和伸縮問題。

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(責(zé)任編輯:陳品馨)

The Functional Gradient Description Method of Space Coordinate Transformation

DUAN Pengshuo1,2,LIU Genyou1,GONG Youliang3,HAO Xiaoguang1,WANG Nazi1,2
1.State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics,Institute of Geodesy and Geophysics,Chinese Academy of Sciences,Wuhan 430077,China;2.University of Chinese Academy of Sciences,Beijing 100049,China;3.Institute of Geospatial Information,Information Engineering University,Zhengzhou 450052,China

The conception of coordinate transformation gradient field is proposed in this study,which can realize the space coordinate transformation from small angle to arbitrary angle and from static to dynamical.Based on the equivalent of the unit quaternion rotation matrix and the Rodrigues matrix,the mathematical relationship between the spatial coordinate transformation and the functional gradient is revealed and an arbitrary coordinate transformation formula expressed by functional gradient in space is derived.The results indicate that the essence of spatial coordinate transformation is potential field in mathematic means and we can unify all the space coordinate transformations by using the conception of field,which is the theoretical foundation for the further study of time continuous space coordinate transformation and this study also gives a new solution for the attitude determination of motion carriers.

spatial coordinate transformation;functional gradient field;complete equivalence;field

DUAN Pengshuo(1986—),male,PhD candidate,majors in space geodesy and timeseries analysis.

P226.3

A

1001-1595(2014)10-1005-08

國家自然科學(xué)基金(41021003);大地測量與地球動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金(SKLGED2013-4-1-Z)

2012-09-20

段鵬碩(1986—),男,博士生,研究方向?yàn)榭臻g大地測量及時(shí)序分析與應(yīng)用。

E-mail:duanpengshuo12＠163.com

DUAN Pengshuo,LIU Genyou,GONG Youliang,et al.The Functional Gradient Description Method of Space Coordinate Transformation[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(10):1005-1012.(段鵬碩,劉根友,龔有亮,等.空間坐標(biāo)系變換的函數(shù)梯度描述方法[J].測繪學(xué)報(bào),2014,43(10):1005-1012.)

10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0145

修回日期:2014-07-10