程 強，魏敬超，李立峰

（1.中國石化江蘇油田試采一廠，江蘇 揚州 225265；2.中國石化江蘇油田鉆井處，江蘇 揚州 225261）

利用水平井開采底水油藏，井筒內(nèi)壓力損失影響不可忽視[1-2]。由于油藏與井筒內(nèi)流體流動規(guī)律不同，因此，在考慮井筒壓降研究中，需要建立油藏滲流與井筒管流的耦合模型[3]。一些學(xué)者基于耦合模型研究了井筒內(nèi)壓力損失對水平井產(chǎn)能[4]、見水時間等的影響[5]，還有學(xué)者研究了基于耦合模型的底水油藏水平井的數(shù)值模擬方法[6]。由于井筒與油藏的控制方程不同，耦合模型的求解難度較大，這對于大尺度的油藏數(shù)值模擬是非常不利的[7]。有學(xué)者在水利學(xué)研究中提出了水平井等效滲透率的概念[8]，本文借鑒這種思路，推導(dǎo)了兩相流動條件下等效滲透率數(shù)學(xué)表達式，統(tǒng)一了井筒與油藏中的控制方程，研究了等效滲透率在底水油藏水平井?dāng)?shù)值模擬中的應(yīng)用。

1 物理模型與假設(shè)

底水油藏水平井開采物理模型如圖1所示，油藏頂部為不滲透邊界，底部為底水，保持定壓，水平井定流量生產(chǎn)，本文研究考慮油水的界面張力與重力，忽略巖心與流體的壓縮性。研究中的參數(shù)有：油層厚度h，m；儲層滲透率K，m2；儲層孔隙度Φ，無量綱；水平井長度L，m；水平井距底水高度Zw，m；原油密度ρo，kg/m3;地層水密度ρw，kg/m3；重力加速度g，m/s2；原油滲流速度vo，m/s；地層水滲流速度vw，m/s；油相黏度μo，Pa·s；水相黏度μw，Pa·s；油相飽和度So，無量綱；水相飽和度Sw，無量綱；油相壓力po，Pa；水相壓力pw，Pa；水平井產(chǎn)量Q，m3/s；含水率fw，無量綱。

圖1 底水油藏水平井開采示意圖Fig.1 Horizontal well exploitation diagram of bottom water reservoir

1.1 水平井筒的等效滲透率

水平井筒內(nèi)壓力損失有摩擦壓降、加速壓降與混合壓降等。根據(jù)質(zhì)量守恒與動量守恒，可以推導(dǎo)出水平井任意微元段壓降數(shù)學(xué)表達式，如公式（1）所示：

式中：Δph,i為任意微元段上壓力損失；vh,i為井筒內(nèi)流動速度；vi為油藏流體向水平井筒流入速度；A為水平井筒截面積，m2；rw水平井筒半徑，m；f水平井筒摩擦系數(shù)，無量綱。公式（1）右側(cè)第一項為摩擦壓力損失，第二項與第三項為加速壓力損失。有實驗研究指出[9]，摩擦壓降約占全部壓降的80%，因此公式（1）可以改寫為：

由公式（2）可以得到井筒內(nèi)流速與壓力損失的關(guān)系：

將井筒內(nèi)等效滲透率定義為∶

兩相流動中，等效滲透率中參數(shù)隨油水飽和度變化。根據(jù)質(zhì)量平均，混合密度定義為∶

Sw為含水飽和度，So為含油飽和度，混合黏度定義[11]為∶

摩擦系數(shù)f計算方法受流態(tài)控制影響，流態(tài)與流動雷諾數(shù)Re有關(guān)，Re=ρvd/μ，當(dāng)流動為層流，摩擦系數(shù)的計算公式為f=64/Re。當(dāng)流動為紊流，摩擦系數(shù)的計算隨雷諾數(shù)變化分為四個階段，文獻[10]中有詳細的計算公式。

混合流速的計算公式為：

混合流速既是需要求解的未知量，同時又是計算等效滲透率所需的參數(shù)。因此，在數(shù)值模擬中需要對混合流速進行處理。在初始時刻，假設(shè)井筒內(nèi)流態(tài)為層流，這種情況下，等效滲透率數(shù)學(xué)表達式中流速被約去，利用其他參數(shù)可以計算出一個初始的等效滲透率，并利用這個等效滲透率求解方程組，可以得到速度與壓力分布，然后將新計算出的流速傳遞到下一時間步長中，用以計算下一時間步長內(nèi)的等效滲透率，在之后時間步長中，采用相同的方法處理井筒內(nèi)流速與等效滲透率。

將等效滲透率代入公式（3）后，可以得到井筒內(nèi)流速與壓力梯度關(guān)系，改寫成微分形式后為∶

1.2 油藏與井筒的控制方程

可以看出公式（8）與達西定律形式相同，因此，基于等效滲透率，井筒中可以建立與油藏形式相同的運動方程。所以在數(shù)值模擬中，將水平井筒處理為油藏的一部分。油藏與井筒中油水相控制方程為：

式中：?為梯度算子，krw為水相相對滲透率，kro為油相相對滲透率，D為海拔標(biāo)高，m。補充方程為：

式中：pc為毛管力，po為油相壓力，pw為水相壓力。邊界條件為：

根據(jù)補充方程，方程（9）可以變?yōu)椋?/p>

公式（10）與公式（11）相加得到：

已知毛管力是含水飽和度的函數(shù)，在水驅(qū)油過程中含水飽和度隨距離變化：

帶入公式（12）可以得到：

公式（14）為兩相流動的壓力微分方程，公式（10）為飽和度微分方程，加上邊界條件就組成油藏與井筒內(nèi)兩相流動的數(shù)學(xué)模型。

在本文的模型中，水平井被當(dāng)做油藏處理，所以需要賦予孔隙度、相對滲透率等參數(shù)。水平井孔隙度設(shè)置為100%，相滲關(guān)系設(shè)置為：

在水平井筒中不考慮毛管力，因此，油相壓力與水相壓力相同。

2 應(yīng)用與討論

在商業(yè)數(shù)值計算軟件中建立物理模型，其中將水平井處理為油藏的一部分，分別賦予油藏和水平井不同的物性參數(shù)，輸入文中推導(dǎo)的數(shù)學(xué)方程，通過編程處理等效滲透率，求解后就可以實現(xiàn)考慮井筒壓降的底水油藏水平井?dāng)?shù)值模擬。

為驗證本文方法的可靠性，利用該方法模擬了某底水油藏水平井開采實驗過程。物理模型中模擬油藏的巖心的尺寸為80 cm（長）×10 cm（高）×10 cm（寬）。水平井模型長為70 cm，井徑為2 mm，置于油藏模型頂部。在水平井布置4個壓力傳感器，以測量井筒里壓力損失，物理模型的基本參數(shù)如表1所示。物理模型中巖心的相滲關(guān)系如表2所示。

表1 物理模型的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)Table 1 Basic data of physical model

表2 油藏模型中油水相滲關(guān)系Table 2 Oil and water relative permeability of reservoir model

將數(shù)值模擬得到的水平井井筒內(nèi)壓力分布與實驗結(jié)果對比，如圖2所示?？梢钥闯?，數(shù)值模擬與實驗結(jié)果符合較好，從水平井指端到跟端，井筒內(nèi)壓力逐漸降低，而且越靠近跟端，壓力下降速度越快，這使得大部分井筒壓降發(fā)生在靠近跟端的井筒中。數(shù)值模擬結(jié)果很好地反映了井筒壓力損失特征。

圖2 水平井筒內(nèi)壓力分布Fig.2 Pressure distribution of horizontal wellbore

數(shù)值模擬與實驗得到的水平井開采動態(tài)對比如圖3所示。實驗中底水突破進入井筒時間早、含水上升時間快，含水率至90%時，采出程度尚不足25%。數(shù)值模擬與實驗結(jié)果符合較好。這表明本文方法能夠較好地模擬底水油藏水平井開采特征，可以用于此類情況的數(shù)值模擬。與耦合模型相比，本文方法模擬精度差距不大，但求解難度降低。

3 結(jié)論

1）利用等效滲透率，可以在水平井筒建立與油藏相同的運動方程，從而不必建立耦合模型，降低底水油藏水平井開采數(shù)值模擬的難度。

圖3 水平井開采動態(tài)物理與數(shù)值模擬結(jié)果對比Fig.3 Result comparison of horizontal well exploitation and numerical simulation

2）基于等效滲透率的模擬與實驗結(jié)果符合較好，能夠用于考慮井筒壓降的底水油藏水平井?dāng)?shù)值模擬。

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