孫 哲，胡于進(jìn)

（華中科技大學(xué)機械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢430074）

0 引言

在當(dāng)今的工業(yè)設(shè)計中，零部件結(jié)構(gòu)創(chuàng)新設(shè)計和輕量化設(shè)計成為當(dāng)前機械設(shè)計的一個重要的方向。拓?fù)鋬?yōu)化已成為實現(xiàn)零部件結(jié)構(gòu)創(chuàng)新設(shè)計和輕量化設(shè)計的重要工具，被廣泛運用于建筑、航空航天、汽車、海洋工程和船舶制造等領(lǐng)域［1－2］。

近些年來，拓?fù)鋬?yōu)化的應(yīng)用逐漸增多［3－5］。但是，參考文獻(xiàn)［3－5］都是通過選擇一個主要目標(biāo)進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，沒有考慮到在復(fù)雜多工況多目標(biāo)情況下的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。由于設(shè)計問題的復(fù)雜性，必須滿足的設(shè)計指標(biāo)往往是多方面的，因此，多目標(biāo)優(yōu)化是工程設(shè)計的一個基本問題。在多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化中，孫曉輝［6］，范文杰［7］等提出運用數(shù)學(xué)規(guī)劃法將多目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化，通過加權(quán)規(guī)劃法將多目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化轉(zhuǎn)變?yōu)閱文繕?biāo)優(yōu)化，但是如何選擇合適的權(quán)重仍是一個難點。

耿玉磊［8］等總結(jié)了求解多目標(biāo)優(yōu)化的幾種方法，提出將模糊理論和滿意度應(yīng)用于多目標(biāo)優(yōu)化中。基于這一思想的啟示，結(jié)合模糊理論，提出了一種基于模糊滿意度和加權(quán)平方和法的變權(quán)重多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化，利用子目標(biāo)函數(shù)的模糊滿意度構(gòu)造其權(quán)重，實現(xiàn)了各子目標(biāo)函數(shù)權(quán)重的動態(tài)調(diào)整，解決了權(quán)重難以選擇的問題。

1 基于模糊滿意度的變權(quán)重多目標(biāo)規(guī)劃方法

1．1 模糊滿意度

模糊理論是處理不確定問題的理論基礎(chǔ)，已成為解決多目標(biāo)優(yōu)化問題的一種有效工具，其基本思想是將目標(biāo)函數(shù)模糊化，引入隸屬度函數(shù)，將優(yōu)化目標(biāo)的最優(yōu)解轉(zhuǎn)換為尋找目標(biāo)模糊集中的滿意解。假設(shè)多目標(biāo)優(yōu)化問題表達(dá)為：

用各個約束條件對各個單目標(biāo)fi（x）進(jìn)行優(yōu)化（式（2）），求解得到該目標(biāo)的最優(yōu)解以及其他目標(biāo)函數(shù)的值，結(jié)果如表1所示。

表1 單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果

表1矩陣對角線的元素fii（x）即fi（x）目標(biāo)的理想點，定義表1各列中離理想點最遠(yuǎn)的點為，并為目標(biāo)fi（x）的悲觀點。和組成理想點和悲觀點向量，多目標(biāo)優(yōu)化的過程就是在理想點和悲觀點組成的n維長方體中尋找滿意解［9］。

將子目標(biāo)函數(shù)模糊化，對于每個目標(biāo)函數(shù)fi（x），i＝1，2，…，n，給出相應(yīng)的模糊伸縮指標(biāo)di（di＞0）。伸縮指標(biāo)的取值根據(jù)該目標(biāo)可以接受的最差解與理想解的差值來選擇，定義目標(biāo)函數(shù)隸屬函數(shù)格式為［10］：

隸屬函數(shù)值λi反映了目標(biāo)函數(shù)fi（x）的值在該目標(biāo)的模糊集中接近理想點的程度，定義λi為第i個目標(biāo)的模糊滿意度，表示該目標(biāo)在模糊目標(biāo)集的隸屬程度。

1．2 基于模糊滿意度的變權(quán)重多目標(biāo)規(guī)劃法

加權(quán)平方和方法是求解多目標(biāo)優(yōu)化的一種常用的方法，對于1．1節(jié)所給的多目標(biāo)優(yōu)化構(gòu)造出加權(quán)平方和法的評價函數(shù)為：

根據(jù)式（3）的模糊滿意度來確定各個子目標(biāo)的權(quán)重，權(quán)重會根據(jù)子目標(biāo)函數(shù)值確定，此時權(quán)系數(shù)wi是動態(tài)的。選擇權(quán)系數(shù)為：

使用模糊滿意度來確定加權(quán)系數(shù)，可以根據(jù)各個目標(biāo)在模糊集中的滿意度來動態(tài)地調(diào)整目標(biāo)的權(quán)重，滿意度較小的目標(biāo)權(quán)重加大，使該目標(biāo)可得到較好的優(yōu)化。此外，子目標(biāo)模糊化的伸縮指標(biāo)是通過每個目標(biāo)可接受最差解來確定的，這樣可以控制優(yōu)化后的各個目標(biāo)值盡量落在自己期望的范圍之內(nèi)。

1．3 多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化

在多工況下，每個工況都對應(yīng)著一個剛度最優(yōu)的拓?fù)湫螤?。因此，多工況剛度優(yōu)化問題屬于多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化。通常把剛度最大問題轉(zhuǎn)化為柔度最小問題來處理來定義，柔度則用應(yīng)變能來定義。

多工況的剛度最大化拓?fù)鋬?yōu)化問題描述為：

fj為最小的第j階模態(tài)；v為優(yōu)化后的體積比，用來控制優(yōu)化得到的最大體積。

每個工況的剛度最大化優(yōu)化模型為：

由于零件輕量化設(shè)計成為當(dāng)前設(shè)計工作的一個需要考慮的因素，所以體積最小化也要作為一個設(shè)計目標(biāo)。體積最小化問題一般描述為：

根據(jù)式（3）寫出各個目標(biāo)函數(shù)的隸屬函數(shù)為：

在Optistruct中求解單目標(biāo)優(yōu)化（8）和（9），得到如表1所示的矩陣表。確定理想點和V＊，悲觀點和Vmax，根據(jù)各個目標(biāo)函數(shù)允許的最差解，選擇合適的伸縮指標(biāo)di和dV。由式（10）和式（11）得到模糊滿意度的表達(dá)式，由式（4）和式（5）得到多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的評價函數(shù)為：

多工況和體積的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的表達(dá)式為：

2 汽車零件優(yōu)化設(shè)計

2．1 原零件分析

發(fā)動機右上中支架的原始模型如圖1所示。材料參數(shù)：彈性模量E＝74 GPa，泊松比u＝0．33，彈性極限Re＝160 MPa，要求零件的質(zhì)量小于680 g，第一階模態(tài)大于650 Hz。

圖1 發(fā)動機右上中支架原始設(shè)計模型

零件計算模型如圖2a所示，支架底端采用5個彈簧單元模擬與之接觸零件的剛度，彈簧底端固定，零件之間采用螺栓連接，螺栓使用梁單元和剛性單元進(jìn)行模擬。在X和Z方向，分別受到1 800 N和3 770 N的載荷。對部件進(jìn)行模態(tài)分析和2種工況下的靜力學(xué)分析。得到原始零件的一階模態(tài)為671．6 Hz，滿足設(shè)計要求。由于螺栓采用梁單元和剛性單元來模擬，所以在和剛性單元連接的部分會產(chǎn)生相對于其他單元較大的應(yīng)力，因此，在應(yīng)力顯示的時候，沒有考慮凸臺以及其他與簡化螺栓相連接單元的應(yīng)力，這樣比較真實地反應(yīng)了零件的應(yīng)力水平分布。X方向載荷作用下的應(yīng)力分布如圖2c所示，最大應(yīng)力為41．5 MPa。Z方向載荷作用下的應(yīng)力分布如圖2d所示，最大應(yīng)力為154 MPa。在試驗過程中，零件發(fā)生斷裂，如圖2b所示，可以看到斷裂的地方剛好發(fā)生在應(yīng)力過大的地方。由上述分析可知，零件在載荷作用下的應(yīng)力過大而導(dǎo)致使用過程中的疲勞斷裂。再設(shè)計過程中，需要考慮零件的剛度要足夠大，同時考慮到輕量化設(shè)計，零件的體積也要足夠小。即需要達(dá)到2個剛度最大化和體積最小化這3個目標(biāo)，所以要用到多目標(biāo)優(yōu)化。

圖2 原始設(shè)計應(yīng)力水平分布和斷裂圖片

2．2 多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化

零件的設(shè)計區(qū)域和非設(shè)計區(qū)域如圖3a所示?？紤]到發(fā)動機左上中支架的裝配要求，僅對下面的加強筋區(qū)域進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。首先將加強筋部分全部填滿作為設(shè)計區(qū)域，優(yōu)化約束為第一階模態(tài)和體積比。由于設(shè)計要求最小一階模態(tài)為650 Hz，零件最大質(zhì)量為680 g，考慮到誤差余量，取最小第一階模態(tài)為660 Hz，體積比最大為0．2。對2種工況分別進(jìn)行單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化得到各個工況柔度，優(yōu)化得到的值為這2個目標(biāo)的期望值。以體積最小化為目標(biāo)進(jìn)行單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化，得到體積的期望值和2種工況的柔度。計算得到表2所示的參數(shù)。

表2 計算各個工況得到的參數(shù)

根據(jù)表2選擇對角線值為各個目標(biāo)的理想點，各列最大值為悲觀點。根據(jù)實際情況中目標(biāo)允許的最差解，選擇伸縮指標(biāo)。理想點、悲觀點和伸縮指標(biāo)如表3所示。

根據(jù)表3數(shù)值和式（10）～式（13），使用 Hyper－Math編寫目標(biāo)函數(shù)和所需參數(shù)的表達(dá)式，將Hyper Math函數(shù)作為Optistruct進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化的外部響應(yīng)。在迭代過程中零件的材料分布變化如圖3所示，材料分布不斷得到優(yōu)化，最終得到如圖3c所示的拓?fù)湫螤睢?/p>

表3 選擇各個期望值和伸縮指標(biāo)

圖3 迭代過程中材料分布變化

優(yōu)化過程中規(guī)劃目標(biāo)和各個子目標(biāo)的迭代曲線如圖4所示。規(guī)劃目標(biāo)和各個子目標(biāo)都能很快達(dá)到收斂，各個子目標(biāo)都在模糊集內(nèi)，且有較好滿意度。

圖4 拓?fù)鋬?yōu)化過程中各個目標(biāo)的迭代曲線

根據(jù)最終優(yōu)化的拓?fù)湫螤睿▓D3c），在Pro／E中重新建模，得到如圖5所示的發(fā)動機右上支架新設(shè)計模型。

圖5 發(fā)動機右上中支架新模型

2．3 新零件的分析驗證

對新零件進(jìn)行分析，得到第一階模態(tài)為704 Hz，比優(yōu)化前的增加了32．4 Hz。

通過拓?fù)鋬?yōu)化使得零件的剛度和動態(tài)性能都得到了改善，并且減少了零件的質(zhì)量，拓?fù)鋬?yōu)化前后比較如表4所示。優(yōu)化后的新零件比原始零件的應(yīng)力減少了47．1%，質(zhì)量減少了7．9%

表4 優(yōu)化前后的比較

3 結(jié)束語

模糊理論與加權(quán)平方和法結(jié)合的基于模糊滿意度的變權(quán)重多目標(biāo)規(guī)劃方法，可以很好地求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，通過改變權(quán)重在計算中優(yōu)先優(yōu)化那些遠(yuǎn)離模糊集的目標(biāo)，并且使得優(yōu)化的各個目標(biāo)的模糊滿意度盡量大，使優(yōu)化后得到的目標(biāo)值更靠近理想點。另外，通過模糊滿意度可以控制優(yōu)化的各個目標(biāo)值都在自己期望的范圍之內(nèi)。最后，使用該方法對一個汽車零件結(jié)構(gòu)進(jìn)行多目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化，使得零件在各個工況下的應(yīng)力滿足要求，應(yīng)力分布更加均勻，同時提高了零件一階模態(tài)，使得零件具有了更好的動態(tài)性能。

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