朱 峰，楊 抗

(西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川成都610031)

0 引言

在工程電磁場(chǎng)教學(xué)中，單元輻射子是研究天線輻射的基礎(chǔ)，因此推導(dǎo)出單元輻射子的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度具有重要意義。單元輻射子的磁場(chǎng)強(qiáng)度一般是從矢量磁位求旋度計(jì)算而來，而電場(chǎng)強(qiáng)度可由三種途徑推導(dǎo)出來。

由于有

1 問題的提出

單元輻射子為一既細(xì)又短的導(dǎo)線，它的長度Δl和橫截面尺寸都比電磁波的波長以及到觀察點(diǎn)距離小得多。因此，在單元輻射子上，可以忽略推遲效應(yīng)，認(rèn)為通過單元輻射子的電流是均勻和同相的，另外任一觀察點(diǎn)到細(xì)導(dǎo)線上各點(diǎn)的距離近似相同[3]。由電荷守恒dq/dt=i，用向量形式表示得到因此可以得到

標(biāo)量位的散度為

計(jì)算出來的電場(chǎng)強(qiáng)度與用另外兩種方法計(jì)算出的電場(chǎng)強(qiáng)度的結(jié)果不同[1-6]，因此用點(diǎn)電荷計(jì)算標(biāo)量位存在問題。

2 嚴(yán)格的理論推導(dǎo)

本文認(rèn)為對(duì)電流密度散度的理解是解決上述問題的關(guān)鍵。即便是在微觀世界，也不能夠簡單理解為只有一維方向。如圖1所示，S表示面積。電流元中間部分電流密度都連續(xù)，其散度都為零，但是在邊界處電流密度發(fā)生突變，此時(shí)電流密度的散度不為零。筆者認(rèn)為正是由于電流密度在其邊界處發(fā)生突變，是不能把電流元當(dāng)成一個(gè)點(diǎn)源計(jì)算的原因。

圖1 電流元

2.1 推導(dǎo)標(biāo)量位與電流密度散度的關(guān)系

2.2 標(biāo)量位由正負(fù)時(shí)變電荷產(chǎn)生的證明

如圖1所示，電流密度在電流源內(nèi)部連續(xù)，只有在其邊界處發(fā)生突變，因此在電流源的內(nèi)部時(shí)有在電流源的兩截面S1和S2處有于是有

如圖1所示，可以推導(dǎo)出

如圖2所示，可以推導(dǎo)出

圖2 電振子

將 r1，r2，1/r1，1/r2泰勒展開，忽略高階無窮小[7]，得到

2.3 由時(shí)變電荷計(jì)算輻射子的電磁場(chǎng)強(qiáng)度

利用球坐標(biāo)系中求梯度的公式

由電荷守恒以及公式(4)可得

可以推導(dǎo)出洛倫茲規(guī)范:

利用時(shí)變電荷源計(jì)算出來的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度與用另外兩種方法計(jì)算出的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度相同，說明空間電荷也可以當(dāng)做是計(jì)算場(chǎng)的基本源。文獻(xiàn)[7]也提出了利用一對(duì)正負(fù)時(shí)變電荷計(jì)算單元輻射子電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算過程，但是其未對(duì)用該方法計(jì)算電源輻射子電場(chǎng)強(qiáng)度的合理性進(jìn)行證明。而且文中的磁場(chǎng)強(qiáng)度仍然是從時(shí)變電流源也就是利用動(dòng)態(tài)磁位的方法求得，而本文則是先計(jì)算單元輻射子的電場(chǎng)強(qiáng)度，再計(jì)算其磁場(chǎng)強(qiáng)度。同時(shí)對(duì)該文獻(xiàn)中公式(27)的結(jié)果進(jìn)行指正，由該文的計(jì)算方法，得到的結(jié)果應(yīng)為

此式與式(3)比較可以發(fā)現(xiàn)，計(jì)算的結(jié)果存在明顯不同。

3 結(jié)語

本文深入分析了利用時(shí)變電荷源計(jì)算單元輻射子電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的合理性和求解路徑，得出以下結(jié)論:

(1)直接用標(biāo)量位計(jì)算單元輻射子的電場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)應(yīng)該用電振子的標(biāo)量位，而不是單電荷的標(biāo)量位。

(2)用電振子的標(biāo)量位代替單電荷的標(biāo)量位，原因在于電流元的電流密度在其邊界處發(fā)生突變，此時(shí)電流密度的散度不為零。

(3)電流不一定是時(shí)變場(chǎng)的根本源。計(jì)算電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)時(shí)，可以從時(shí)變電荷源入手，利用電荷守恒從而計(jì)算出電流分布的變化，空間電荷也可以是計(jì)算場(chǎng)的基本源。

[1]William H.Hay，Jr.John A.Buck.Engineering Electromagnetics.[M](Seventh Edition).Mcgraw-Hill Compannies，Inc.2006

[2]Nannapaneni Narayana Rao.Elements of Engineering Electromagnetics.[M].(Sixth Edition).Person Education，Inc.200

[3]馮慈璋.電磁場(chǎng).(第二版).[M].北京:高等教育出版社.1980.

[4]楊儒貴.電磁場(chǎng)與電磁波.(第二版).[M].北京:高等教育出版社.2007

[5]陳抗生編著.電磁場(chǎng)理論與微波工程基礎(chǔ).[M].浙江:浙江大學(xué)出版社2009

[6]陳重.崔正勤.胡冰編著.電磁場(chǎng)理論基礎(chǔ).[M].北京:北京理工大學(xué)出版社.2010

[7]王澤忠.單元輻射子電場(chǎng)強(qiáng)度的三種推導(dǎo).[J].南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)2008(8)