張詩豪，劉 曉，史慶藩

(北京理工大學(xué)，北京 100081)

生活中我們常能在水盆、泳池及淺海底部看到不斷變化，形態(tài)各異的光影圖案，它們?nèi)绱嗣烂?，引人入勝，同時也使我們產(chǎn)生疑問:它們到底是怎么產(chǎn)生的?這些變化是否與不斷波動的水面對光的折射有關(guān)?教科書中對于光的折射現(xiàn)象的介紹僅限于在靜態(tài)介質(zhì)中，很少提到在動態(tài)介質(zhì)中的情況［1］。動態(tài)介質(zhì)中光的折射問題因涉及入射光、水面形狀、水深等多個因素而比較復(fù)雜，很難給出一個準(zhǔn)確的定量描述，已有的文獻(xiàn)或只是定性地解釋這一現(xiàn)象的成因［2］，或只給出形式復(fù)雜的一般表達(dá)式［3］，致使這一問題仍存在很大的探討空間。國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(IYPT)更是在2012年將此問題設(shè)計成一個開放性問題，供全世界優(yōu)秀學(xué)生進(jìn)行研究和辯論。本文在此背景下進(jìn)行研究并試圖給出直觀的定量描述。我們把一定區(qū)域內(nèi)的水作為動態(tài)介質(zhì)，對水面波浪和光線傳播進(jìn)行物理建模，再通過計算機(jī)編程模擬出不同水深處的光強(qiáng)分布圖樣，找出相鄰兩明(暗)紋中心間距、亮紋寬度和明紋平均亮度這3個物理量隨水深的變化規(guī)律。

1 物理模型

以水作為動態(tài)介質(zhì)，入射光為平行光并豎直向下射入水中，在照到水面波浪時會發(fā)生反射和折射，從而在水中形成一定光強(qiáng)分布。首先設(shè)立坐標(biāo)系如圖1所示。設(shè)x軸為波浪傳播方向，y軸為豎直向下的水深方向，z軸為垂直于紙面向內(nèi)的方向。同時假設(shè)水面波浪形狀沿z軸方向一致，故只考慮xy面的二維情況。為簡化起見，不考慮光在水中傳播時的能量損耗以及光在水面波浪表面發(fā)生的反射現(xiàn)象，同時取波浪形狀為理想正弦波y=sinx?？紤]圖1中x0處的入射光，根據(jù)折射定理:

式(1)-(4)中的θ為入射角，φ為折射角，n為水折射率，h0為波谷所對應(yīng)的水深。聯(lián)立求解可得出x0處入射光經(jīng)水波折射后照射到對應(yīng)深度h0的位置x1。按照幾何光學(xué)原理，可以畫出入射光經(jīng)過折射后的光強(qiáng)分布，如圖1所示。可以看出，不同水深處光強(qiáng)(明暗紋)分布的情況主要與深度h和水面波浪形狀這兩個因素有關(guān)。為了進(jìn)一步深入探究明暗紋分布的變化規(guī)律，我們進(jìn)行計算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)。

圖1

2 計算機(jī)模擬

我們先研究某一時刻t時不同水深h處的光影圖樣，然后討論某一深度h處不同時間t時的光影圖案。水面范圍取為0 m≤x≤100 m，入射光垂直入射，光強(qiáng)為I0。將水深h處沿x軸每隔0．01 m取一個點(diǎn)而均分成10 000個小區(qū)域，我們通過計算落到每一個小區(qū)域上的光強(qiáng)總合，得到不同x處每個小區(qū)域的光強(qiáng)I。

計算示例如圖2所示，圖中顯示了深度h分別為3 m、5 m、21 m和34 m處的光強(qiáng)分布，黑線表示相應(yīng)位置處水面波浪的形狀，空心正三角形表示相應(yīng)位置處I的大小，I值越大，對應(yīng)區(qū)域越亮。

圖2 同一時刻不同深度處的光強(qiáng)分布

從圖2中可以看出各水深h處圖樣均呈現(xiàn)明暗周期性分布，即:當(dāng)h=3 m時，最亮處為一個個尖銳高峰，如圖2(a);隨著h不斷增大，最亮處由單峰“分裂”為2個半高峰，隨著水深增加這2個半高峰的距離拉開，如圖2(b)所示;隨著h繼續(xù)增大，2個半高峰又“匯聚”為單高峰，如圖2(c)、2(d)所示;當(dāng)h再增大時，則光強(qiáng)最大的尖峰會呈現(xiàn)“分裂”與“匯聚”的周期性變化規(guī)律。

3 分析與討論

為了定量分析的目的，我們定義:最亮處為單峰形態(tài)時，單峰處為明紋，其它處為暗紋，如圖2(a)、2(d)所示;最亮處為半高峰形態(tài)時，則相鄰兩峰間平均亮度大的區(qū)域?yàn)槊鳁l紋，小的為暗條紋，如圖2(c)、2(b)所示。由于不同位置的光強(qiáng)分布不同，我們又引入Ia作為不同深度h處的平均亮度。

根據(jù)計算模擬，明紋寬度L和明紋平均亮度Ia隨水深h的變化圖像分別如圖3和圖4所示。另外，相鄰兩明(暗)紋中心間距為X=2π，與h無關(guān)。

圖3 明紋寬度隨水深的變化圖

圖4 明紋平均亮度隨水深的變化圖

由圖3和圖4可見，當(dāng)h≤h0時，隨著深度h的不斷增加，明條紋寬度L逐漸變窄并趨于0(見圖3)，明紋平均亮度Ia則不斷增加直至第一個亮度高峰(見圖4);當(dāng)h0＜h＜h1(①區(qū))時，L隨h的增大而線性增加(見圖3)，Ia隨h的增大而不斷減小(見圖4);當(dāng)h=h1=19．65時，L的數(shù)值由接近于2突變?yōu)闊o限趨近于0(見圖3)，Ia由小于1突變至第2個亮度高峰(見圖4);當(dāng)h1＜h＜h2(②區(qū))時，L隨h線性增加(見圖3)，Ia不斷減小(見圖4);當(dāng)h=h2=33．6時，L再次由接近2突變?yōu)闊o限趨近0(見圖3)，Ia由小于1突變至第3個亮度高峰(見圖4);當(dāng)h2＜h≤h3(③區(qū))時，L和Ia的變化規(guī)律與①區(qū)和②區(qū)情況相同，整體呈現(xiàn)規(guī)律性變化。

另外，當(dāng)水波以波速v沿x軸方向運(yùn)動時，即y=sin(x+vt)，則各水深h處的明暗圖樣隨水波以速度v整體沿x軸移動。此時，根據(jù)我們的模擬結(jié)果可以通過探測水中的光強(qiáng)信號來測出水波速度v，即:根據(jù)探測器所處水中深度h的不同，可以檢測到光強(qiáng)峰值的間隔Δt為一定值，對應(yīng)水波速度 v=X/Δt，X=2π;也可以檢測到峰值間隔為Δt1和 Δt2，則對應(yīng)水波速度 v=2π/(Δt1+ Δt2)。由此，我們得到了一種測量水波速度的方法。

4 小 結(jié)

本文通過探究水中光影圖案的成因研究了動態(tài)介質(zhì)中的光折射問題，給出了介質(zhì)深度不同時光強(qiáng)分布的模擬圖樣，發(fā)現(xiàn)了明(暗)紋中心間距、明紋寬度和明紋平均亮度等物理量隨介質(zhì)深度變化的規(guī)律，同時提出了一種測量水波速度的方法。本文只考慮了有限區(qū)域內(nèi)的動態(tài)介質(zhì)，無限區(qū)域內(nèi)的動態(tài)介質(zhì)的相關(guān)研究有待于進(jìn)一步的討論。本文結(jié)果不僅對大學(xué)物理光學(xué)類課程教學(xué)具有一定的意義，而且對實(shí)際應(yīng)用也具有一定的參考價值。

［1］ 趙凱華、鐘錫華．光學(xué)［M］．北京:北京大學(xué)出版社，2008．35-55．

［2］ Jearl Walker．Shadows cast on the bottom of a pool are not like other shadows［J］．Amateur Scientist，July 1988，Am．259，116-119．

［3］ Jenet Shields．Swimming pool optics［J］．Optics and Photonics News，1990，1(9):37．