張持良，王吉有，郭子豪，張 兵

(北京工業(yè)大學，北京 100124)

三線擺作為測量物體轉(zhuǎn)動慣量的有效工具常被應用于實驗測量［1-3］，目前多數(shù)大學開設此類實驗［4-6］。在小角度(一般小于5度)擺動情況下，擺動近似于簡諧振動，利用三線擺相關儀器測出參數(shù)及周期，可計算出轉(zhuǎn)動慣量的大小。實驗時學生控制擺動角度范圍不準、擺動圓盤偏心和空氣阻力等均會導致實驗誤差。本文利用自己設計可以測量擺動角度的三線擺儀器，測量了10度到60度擺角擺動周期，對實驗測量周期與理論周期進行了對比分析。

1 實驗原理

在無阻尼情況下，在擺盤啟動轉(zhuǎn)動一定角度θ(t)后，可以推導出擺動周期的理論公式［2］:

其中:T0為小角度下(近似簡諧振動時)的擺動周期，θ0是擺動角。T0=4π2H/(Im0gRr)，H 是上下盤之間的垂直距離，r是上盤圓心到懸點半徑，R為底盤圓心到懸點半徑，g是重力加速度，m0是底盤的質(zhì)量，I是底盤沿中心軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量。

圖1 三線擺幾何分析圖

2 實驗數(shù)據(jù)和分析

2．1 擺動周期的理論值與實驗值的對比研究

我們對上海天欣科教儀器有限公司生產(chǎn)的FD-IM-II型新型轉(zhuǎn)動慣量測定儀進行了改進，制作增加了有機玻璃角度儀，以測量不同擺動角度下的周期，使用matlab軟件計算了公式(1)在不同角度下的理論擺動周期值，利用計算和測量數(shù)據(jù)繪制了圖2。其中T為理論周期，T1為實驗測量周期。實驗中三線擺的參數(shù)為:底盤的直徑D=16．84 cm，上下盤之間的垂直距離H=49．9 cm，上盤圓心到懸點半徑r=3．03 cm，底盤圓心到懸點半徑R=8．03 cm，底盤的質(zhì)量m0=601．78 g 。帶入計算得到T0=4π2H/(Im0gRr)，理論值T0=1．693 s。

圖2 三線擺擺動理論周期T、實測周期T1與角度的關系

從圖2可以看出，隨著擺動角度的增加，擺動周期變大，這主要是擺動運動已經(jīng)不是周期不變的簡諧振動。隨著擺動角度的增大，擺動的理論周期與實測周期誤差也不斷增加，當擺動角度在35°以內(nèi)時，擺動的理論周期與實測周期的相對誤差小于千分之五，見圖3。

圖3 實驗周期對理論周期的相對誤差與擺角的關系

2．2 擺動過程中的平動分析

采用上文相同裝置，先把擺盤扭到某個固定角度，然后釋放，并開始計時。由于計時器顯示的是整周期完成時的時間，而不是連續(xù)變化的時間，所以我們采用對計時器錄像的方式進行數(shù)據(jù)記錄，通過分析計時器的計時錄像，記錄出31個相鄰而且連續(xù)增加的完整擺動周期。我們測出擺盤轉(zhuǎn)動角度分別為 10°，15°，20°，25°，30°，35°，40°，45°，50°，55°，60°擺盤擺動2n次時對應的Tn(第n次擺盤的擺動周期)，通過畫圖分析，都發(fā)現(xiàn)隨著擺動時間的變化，三線擺的擺動周期在縮小，擺動角在減小。此外，還發(fā)現(xiàn)擺動周期并不是連續(xù)的變小，而是呈周期性的變化并減小。

圖4是擺盤釋放起始角為60°時的周期數(shù)據(jù)，觀察圖像可以看出單個擺動周期值與周期序數(shù)關系圖呈衰減波形，從實驗上可以觀察到這是由擺盤的平動引起的，由于擺盤平動，使得觸發(fā)時間計數(shù)的擺線也平動，導致測量周期的變化。平動周期可用相鄰波峰間的橫軸距離表示。用同樣的方法，我們 又 記 錄 了 10°，15°，20°，25°，30°，35°，40°，45°，50°，55°(由于周期的衰減，9°以下的數(shù)據(jù)將不能完整精確測出，故最小測量角度定為10°)的周期值與周期序數(shù)關系。

圖4 60度擺角起始時擺動周期與周期數(shù)的關系

為減小阻尼對實驗的影響，在平動周期的數(shù)據(jù)分析中我們均取第一個完整平動周期(統(tǒng)一設定“波峰—波谷—波峰”為一周期)數(shù)據(jù)進行計算。由圖4可以看出，三線擺一個平動周期由若干個擺動周期組成，平動周期值即為第一個完整平動周期曲線對周期序數(shù)n的積分，用這種算法，我們可以近似計算出不同角度下的擺盤平動周期。保持實驗裝置其他參數(shù)不變，由實驗得不同角度下平動周期值，見表1(用Tp表示平動周期值)。

我們發(fā)現(xiàn)三線擺的擺動周期和平動周期都與擺盤的擺動起始角有關，所以我們假設一個平動周期與擺動周期的比值參數(shù)，用ρ表示ρ=Tp/T，從表1看到，不同擺動起始角的時ρ值比較相近，計算得ρ的平均值為5．011，故可得在我們實驗條件下，三線擺近似平動周期公式Tp=5．011×T(T為三線擺轉(zhuǎn)動周期)。

表1 三線擺平動周期與角度的關系

由于實驗中的平動不可避免，所以學生在進行三線擺測轉(zhuǎn)動慣量時，擺動周期的測量次數(shù)至少要包括一個平動周期，最好是2個平動周期，即測量10個擺動周期的平均值。

2．3 有阻尼情況下轉(zhuǎn)動周期修改近似公式

利用上述三線擺阻尼分析實驗數(shù)據(jù)進行處理，容易看出圖4中的波形遞減是由阻尼引起的。為方便觀察阻尼大小，我們列出了不同擺動起始角的每條阻尼曲線在完整平動周期內(nèi)的擺動周期平均值(T1表示第一個平動周期內(nèi)的轉(zhuǎn)動周期平均值，T2、T3、T4、T5、T6類推)，見表 2。

表2 因阻尼影響不同角度下擺動周期

將每一角度下的擺動周期TN進行直線擬合，從線性相關系數(shù)分析得出:大角度下，線性度很好，擺動周期隨著擺動次數(shù)而線性減小，擺動起始角越小，阻尼現(xiàn)象越弱。

3 結 論

通過拉格朗日方程得出了大角度下三線擺周期與擺動角度的關系公式，并進行實驗測量分析，發(fā)現(xiàn)擺角越大，相對誤差越大。在實驗中發(fā)現(xiàn)了無法避免的擺盤的平動，計算得平動周期約為擺動周期的5倍。研究了阻尼對擺動周期的影響，發(fā)現(xiàn)擺動周期隨著擺動次數(shù)而線性減小，擺動起始角越小，阻尼現(xiàn)象越弱。由于實驗中的平動不可避免，所以建議:學生在利用三線擺測轉(zhuǎn)動慣量時，擺動周期的測量次數(shù)至少要包括一個平動周期，最好是2個平動周期，即測量10個擺動周期的平均值。

［1］ 李剛常，陳玉坤，余征躍．用三線擺測定物體對非質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量［J］．力學與實踐，2007，29(5):54-57．

［2］ 葛宇宏．長擺線三線擺大擺角擺動測定剛體轉(zhuǎn)動慣量［J］．機械科學與技術，2010，29(6):792-796．

［3］ 董英偉．三線擺測剛體的轉(zhuǎn)動慣量問題討論［J］．天津職業(yè)技術師范學院學報，2001，11(3):35-37，61．

［4］ 鄧金祥，劉國慶，等．大學物理實驗［M］．北京:北京工業(yè)大學出版社，2011:79-83．

［5］ 陳群宇，姚列明，霍中生，等．大學物理實驗［M］．北京:電子工業(yè)出版社，2003:93-96．

［6］ 吳波，朱瑜，左安友．三線擺轉(zhuǎn)動角度控制裝置的設計［J］．大學物理實驗，2013(2):31-32．