石擎天，黃心中

（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021）

雙調(diào)和型映照的Landau定理

石擎天，黃心中

（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021）

利用單位圓盤上有界調(diào)和映照的系數(shù)估計(jì)及Schwarz引理，對(duì)雙調(diào)和映照F（z）及其在微分算子L作用下LF（z）的Landau定理中的單葉半徑進(jìn)行估計(jì).所得結(jié)果改進(jìn)了劉名生等和Chen等的研究結(jié)果.

雙調(diào)和型映照；Landau定理；微分算子；Schwarz引理

1 預(yù)備知識(shí)

關(guān)于平面單連通區(qū)域上有界調(diào)和映照，有如下估計(jì)不等式.

其中，n＝2，3，….應(yīng)用上述結(jié)果，文獻(xiàn)［5］證明了

定理C［5］設(shè)F（z）＝｜z｜2G（z）＋K（z）是單位圓盤D上雙調(diào)和映照，G（z）和K（z）在D上調(diào)和，滿足F（0）＝K（0）＝0且JF（0）＝1，｜G（z）｜≤M，｜K（z）｜≤M，z∈D則存在常數(shù)ρ1∈（0，1），使得F（z）在圓盤Dρ1上單葉且F（Dρ1）包含單葉圓盤Dσ1.ρ1是方程

事實(shí)上，定理C要求滿足G（0）＝0，否則得到的σ1將會(huì)得到變化.文獻(xiàn)［8－9］對(duì)算子L作用于雙調(diào)和映照的Landau定理進(jìn)行估計(jì)，得到如下結(jié)論.

定理D［9］假設(shè)F（z）＝｜z｜2G（z）＋K（z）是單位圓盤D上的雙調(diào)和映照，G（z）和K（z）在D上調(diào)和，滿足F（0）＝K（0）＝JF（0）－1＝0，且｜G（z）｜≤M，｜K（z）｜≤M，M≥1.則存在常數(shù)ρ∈（0，1），使得LF（z）在圓盤Dρ上單葉且LF（Dρ）包含單葉圓盤Dσ.其中ρ是方程

最近，Chen等在文獻(xiàn)［10］中改進(jìn)了上述定理，當(dāng)p＝2時(shí)有如下結(jié)論.

定理E設(shè)F（z）＝｜z｜2G（z）＋K（z）是D上雙調(diào)和映照，其中G（z）和K（z）是D上調(diào)和映照，滿足F（0）＝K（0）＝JF（0）－1＝0且｜G（z）｜≤M，｜K（z）｜≤M，M≥1.則存在常數(shù)ρ2∈（0，1），使得LF（z）在圓盤Dρ2上單葉且LF（Dρ2）包含單葉圓盤Dσ2.這里ρ2是方程

定理F設(shè)F（z）＝｜z｜2G（z）是D上雙調(diào)和映照，G（z）是D上調(diào)和映照，滿足G（0）＝JG（0）－1＝0且｜G（z）｜≤M，z∈D.則LF（z）在Dρ3上單葉且LF（Dρ3）包含單葉圓盤Dσ3.其中ρ3是方程

2 主要結(jié)果及其證明

針對(duì)定理C，證明如下.

定理1設(shè)F（z）＝｜z｜2G（z）＋K（z）是單位圓盤D上的雙調(diào)和映照，G（z）和K（z）在D上調(diào)和，滿足F（0）＝G（0）＝K（0）＝JF（0）－1＝0且｜G（z）｜≤M，｜K（z）｜≤M，M≥1.則存在常數(shù)r1∈（0，1），使得F（z）在圓盤Dr1上單葉且F（Dr1）包含單葉圓盤DR1.這里r1是方程

K0

給定r∈（0，1），任取z1，z2∈D，且z1≠z2，［z1，z2］表示連接z1，z2的直線段.

通過Matlab軟件計(jì)算，比較定理1與定理C，如表1所示.

表1 定理1與定理C的比較Tab.1 Compare theorem 1with theorem C

下面研究微分算子L作用于雙調(diào)和映照的Landau定理問題.

定理2設(shè)F（z）＝｜z｜2G（z）＋K（z）是單位圓盤D上雙調(diào)和映照，G（z）和K（z）是D上調(diào)和映照，滿足F（0）＝K（0）＝JF（0）－1＝0且｜G（z）｜≤M，｜K（z）｜≤M，M≥1.則LF（z）在Dr2上單葉且LF（Dr2）包含單葉圓盤DR2.其中r2是方程

給定r∈（0，1），任取z1，z2∈D且z1≠z2，［z1，z2］表示連接z1，z2的直線段，則有

故定理得證.

通過Matlab軟件計(jì)算，比較定理2和定理E，如表2所示.

表2 定理2與定理E的比較Tab.2 Compare theorem 2with theorem E

作為應(yīng)用，考慮定理2中K≡0的情形，得到了如下結(jié)論.

定理3設(shè)F（z）＝｜z｜2G（z）是單位圓盤D上的雙調(diào)和映照，G（z）是D上調(diào)和映照，滿足G（0）＝JG（0）－1＝0，且｜G（z）｜≤M，M≥1.則LF（z）在Dr3上單葉，且LF（Dr3）包含單葉圓盤DR3.其中，r3是方程

通過Matlab軟件計(jì)算，比較定理3和定理F，如表3所示.

表3 定理3與定理F的比較Tab.3 Compare theorem 3with theorem F

3 結(jié)束語

以上研究方法表明：充分應(yīng)用調(diào)和映照的Schwarz引理和系數(shù)估計(jì)不等式可以得到更好的結(jié)果，在對(duì)數(shù)調(diào)和映照類、有界多重調(diào)和函數(shù)的相應(yīng)問題的估計(jì)也可以得到進(jìn)一步的結(jié)果.

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Landau′s Theorem for Biharmonic－Type Mappings

SHI Qing－tian，HUANG Xin－zhong
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

Using the coefficient inequalities for bounded harmonic mappings on the unit disk and Schwarz lemma，Landau′s theorems for biharmonic mappings F（z）and LF（z），where Lis a differential operator，are considered.Our results improve the latest one made by Liu Ming－sheng and Chen.

biharmonic－type mapping；Landau′s theorem；differential operator；Schwarz lemma

O 174.51；O 174.55

A

（責(zé)任編輯：黃曉楠 英文審校：黃心中）

1000－5013（2014）01－0102－05

10.11830／ISSN.1000－5013.2014.01.0102

2012－10－23

黃心中（1957－），男，教授，主要從事函數(shù)論的研究.E－mail：huangxz＠hqu.edu.cn.

福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2011J0101）