楊平先，陳明舉

(四川理工學(xué)院自動化與電子信息學(xué)院，四川自貢643000)

一種改進(jìn)的二階偏微分去噪模型

楊平先，陳明舉

(四川理工學(xué)院自動化與電子信息學(xué)院，四川自貢643000)

分析了基于二階偏微分的擴(kuò)散方程模型的基本原理，針對該模型在去噪的同時會產(chǎn)生階梯效應(yīng)的缺點，提出了一種基于圖像結(jié)構(gòu)信息的二階偏微分去噪模型。在該模型中，在二階偏微分的全變分模型的正則化項加入圖像的切矢量和法矢量信息，并由此推導(dǎo)出相應(yīng)的擴(kuò)散方程，再對擴(kuò)散方程的擴(kuò)散強(qiáng)度因子進(jìn)行修改。在實驗中，將模型分別與基于二階偏微分、四階偏微分的全變分模型進(jìn)行對比分析表明，實驗結(jié)果證明該模型能有效地去除圖像噪聲，克服階梯效應(yīng)的產(chǎn)生，主觀性能最優(yōu)。

圖像去噪;全變分模型;階梯效應(yīng);圖像結(jié)構(gòu)

圖像去噪是圖像預(yù)處理的關(guān)鍵技術(shù)，其目的是消除圖像中有害的噪聲成分，為圖像的后續(xù)處理做好準(zhǔn)備。由于噪聲和圖像細(xì)節(jié)都是高頻成分，如何在去除噪聲的同時較少地?fù)p失圖像的細(xì)節(jié)是圖像去噪中研究的首要問題。針對此問題的研究，偏微分方程在圖像去噪中的研究逐步引起了一些學(xué)者的重視，陸續(xù)出現(xiàn)的一些基于偏微分的優(yōu)秀算法。其中，Perona與Malik在提出了非線性擴(kuò)散模型(P-M模型)［1］和Rudin，Osher與 Fatemi提出的全變分去噪模型(Total Variation，TV)模型［2］為代表。它們都是利用二階偏微分方程進(jìn)行圖像去噪，以二階偏微分方程為基礎(chǔ)的擴(kuò)散模型能有效地增強(qiáng)圖像的邊緣信息，但在圖像平滑區(qū)域容易把噪聲當(dāng)作邊界而產(chǎn)生階梯效應(yīng)，而形成偽邊緣［3-4］。為了克服二階偏微分方程容易產(chǎn)生階梯效應(yīng)的缺點，很多學(xué)者提出了相應(yīng)的改進(jìn)方法［5-7］，其中最為成功的方法主要是 You與Kaveh等人提出的以四階偏微分方程為基礎(chǔ)的擴(kuò)散模型［8-9］。雖然，四階微分方程能有效地克服階梯效應(yīng)，但是，四階偏微分不能較好地探測圖像的高頻成分［10］，從而不能有效地去除噪聲，容易模糊圖像的細(xì)節(jié)，且運(yùn)算耗時。

以此，本文針對二階偏微分方程易產(chǎn)生階梯效應(yīng)、四階偏微分方程不能有效保留圖像的邊界的缺點，在對以二階偏微分方程為基礎(chǔ)的全變分去噪模型上進(jìn)行改進(jìn)，提出一種基于圖像結(jié)構(gòu)的全變分模型。該模型先獲得圖像的結(jié)構(gòu)信息，再對圖像沿切矢量進(jìn)行最小化全變分，并通過實驗證明本模型有效地克服了階梯效應(yīng)并較好保留圖像的細(xì)節(jié)，獲得很好的去噪效果。

1 全變分圖像去噪模型性能分析

令u為原始未受噪聲干擾的圖像，I為受噪聲污染后的圖像，即I=u+n，n為二維噪聲信號。去噪就是從噪聲圖像I恢復(fù)原始圖像u，根據(jù)噪聲圖像的全變分比無噪聲圖像的全變分大思想，得到的TV去噪模型為

式中:第1項為正則化項;第2項為數(shù)據(jù)保真項，正則化項確定擴(kuò)散的方式;?是微分算子;λ為可信度參數(shù)，可信度參數(shù)為細(xì)節(jié)保持與平滑之間的權(quán)重參數(shù)，λ過小會使圖像過度平滑以致邊緣模糊，λ過大會使圖像會劇烈震蕩。

TV去噪模型的歐拉-拉格朗日方程為

相應(yīng)的擴(kuò)散方程可寫成

式中:σ2為噪聲方差。擴(kuò)散方程可進(jìn)一步寫成

由上面分析可知TV模型僅沿圖像梯度的切線方向擴(kuò)散，圖像的切線方向?qū)嵸|(zhì)就是圖像的邊緣，毫無疑問這種擴(kuò)散增強(qiáng)了圖像的邊緣的同時，也會把較強(qiáng)的噪聲當(dāng)成邊界，從而放大噪聲而產(chǎn)生階梯效應(yīng)，形成虛假邊緣。如果能對擴(kuò)散方式進(jìn)行控制，圖像邊緣保持?jǐn)U散，受噪聲干擾平滑區(qū)域減小擴(kuò)散速度或停止擴(kuò)散，將大大改善去噪性能。

2 全變分圖像去噪模型的改進(jìn)算法

令式(8)等于0，兩邊乘以u-I，再對整個圖像區(qū)域Ω上積分，可求得此時的可信度參數(shù)λ

3 試驗結(jié)果及分析

為證明本文改進(jìn)TV模型的去噪有效性，筆者進(jìn)行了大量的仿真實驗，實驗中采用不同大小的灰度圖像分別對TV模型、You-Kaveh模型以及本文改進(jìn)的TV模型進(jìn)行了比較。改進(jìn)的TV模型需求得原始圖像的一階梯度( Ix，Iy)以獲得圖像的結(jié)構(gòu)信息，可以通過對噪聲圖像I進(jìn)行高斯濾波，消除一定的噪聲，再求梯度，選擇高斯濾波器的窗口大小為5×5。3種方法分別對Lena，texmos，pepper圖片進(jìn)行去噪得到的前后圖片如圖1～3所示。從圖中可以看出TV模型有效地去除了噪聲，但是同時在圖像平滑區(qū)域產(chǎn)生的很多虛假邊緣，出現(xiàn)階梯效應(yīng)?；谒碾A微分方程的You-Kaveh模型雖然克服了階梯效應(yīng)，但是模糊了圖像的細(xì)節(jié)，殘留很多噪聲，去噪不充分。本文改進(jìn)后的TV模型不僅克服了階梯效應(yīng)，同時有效地去除了噪聲，保留圖像細(xì)節(jié)，去噪性能最優(yōu)。3種算法對3幅圖像的迭代時間與峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)如表1所示，從表中可以看出，四階微分方程的You-Kaveh模型耗時較大且峰值信噪比最低，這是因為該模型在每次迭代時都需要求高階微分，運(yùn)算量大，四階微分算子不能有效地體現(xiàn)圖像的結(jié)構(gòu)信息;而改進(jìn)的TV模型相對You-Kaveh模型耗時量大大減小，耗時略多余TV模型，但峰值信噪比高于TV模型。

圖1 圖像Lena不同模型消噪結(jié)果

圖2 圖像texmos不同模型消噪結(jié)果

表1 不同圖像的不同方法去噪耗時與PSNR

圖3 圖像pepper不同模型消噪結(jié)果

4 結(jié)論

本文通過分析基于二階偏微分方程的TV去噪模型的基本原理，針對TV去噪模型容易產(chǎn)生階梯效應(yīng)，對TV模型的正則化項進(jìn)行修改，加入圖像的結(jié)構(gòu)信息，改進(jìn)后的TV模型抑制平滑區(qū)域噪聲的擴(kuò)散，克服了階梯效應(yīng)的產(chǎn)生。仿真實驗中，將本文算法與TV模型、四階微偏微分的You-Kaveh模型進(jìn)行對比分析，進(jìn)一步表明，本文所提出的加入圖像結(jié)構(gòu)信息的TV去噪模型，不僅在較短的時間內(nèi)有效地去除了噪聲，而且有效克服了偽邊緣的產(chǎn)生，去噪后圖像的主觀視覺質(zhì)量最優(yōu)。

［1］PERONA P，MALIK J.Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion［J］.IEEE Trans.Pattern Anal.Mach.Intell，1992，12，(7): 629-639.

［2］RUDIN L，OSHER S，F(xiàn)ATEMIE.Nonlinear total variation based noise removal algorithms［J］.Physica.D，1992，60(4):259-268.

［3］CHEN Y，ZHANG K.Youngmeasure solutions of the two-dimensional Perona Malike equation in image proeessing［J］.Commun.，2006，5 (3):615-635.

［4］ESEDOGLU S.Ananalysis of the Perona-Malik scheme［J］.Comm.Pure Appl.Math.，2001，54(12):1442-1487

［5］GILBOA G，SOCHEN N，YEHOSHUA Y.Complex image enhancement and denoising by complex diffusion processes［J］.IEEE Trans.Pattern Analysis and Machine Intelligence，2004，26(8):1020-1035.

［6］陳明舉，楊平先，王晶.基于正則化與保真項全變分自適應(yīng)圖像去噪模型［J］.重慶郵電大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，23(5):621-625.

［7］FU S，ZHANG C.Adaptive non-convex total variation regularization for image restoration［J］.Electronics Letters，2010，46(13):907-908.

［8］YOU Y，XU W，TANNENBAUM A，et al.Behavioral analysis of anisotropic diffusion in image processing［J］.IEEE Trans.Image Process.，1999，5(11):1539-1553.

［9］YOU Y，KAVEH M.Fourth order partial differential equations for noise removal［J］.IEEE Trans.Image Process.，2000，9(10):1723-1730.

［10］LYSAKER M，LUNDE A，TAI C.Noise removal using fourth-order partial differential equation with applications tomedicalmagnetic resonance images in space and time［J］.IEEE Trans.Image Process.，2003，12(12):1579-1590.

［11］GILBOA G，SOCHEN N，YEHOSHUA Y.Complex image enhancement and denoising by complex diffusion processes［J］.IEEE Trans.Pattern Analysis and Machine Intelligence，2004，26(8):1020-1035.

Im proved Second Order Partial Differential M odel for Image Denoising

YANG Pingxian，CHEN Mingju
(Institute of Automation and Electronic Information，Sichuan University of Science＆Engineering，Sichuan Zigong 643000，China)

Through discussing the characteristics of the second order partial differential equation for image noise removal.A novel total variational denoisingmodel based the image structure is proposed to overcome staircase effectwhich is caused by second order partial differential equation.In this proposed TV model，the tangentsand normals directions to the isophotesof the original image isemployed in regularization item and to obtain diffusion equation，then use gradient to correct the diffusion strength parameters.Compared to second order and fourth-order diffusion，the experimental results show that the proposed model can remove the noise diffusion，preservingmore image details and avoid staircases，it has good performance in image denoising.

image denoising;total variationalmodel;staircase effect;image structure

TN911.73

A

?? 雯

2013-11-04

【本文獻(xiàn)信息】楊平先，陳明舉.一種改進(jìn)的二階偏微分去噪模型［J］.電視技術(shù)，2014，38(23).

人工智能四川省重點實驗室基金項目(2011RZY01;2012RYY08);四川省教育廳基金重點項目(10ZA135);四川高?？蒲袆?chuàng)新團(tuán)隊建設(shè)計劃資助項目(13TD0017);四川理工學(xué)院校級科研基金項目(2012KY13)