田洪剛， 芮強， 王紅巖

（裝甲兵工程學(xué)院a.機械工程系；b.訓(xùn)練部，北京100072）

基于試驗數(shù)據(jù)的魔術(shù)輪胎模型參數(shù)估計

田洪剛a，b， 芮強a， 王紅巖a

（裝甲兵工程學(xué)院a.機械工程系；b.訓(xùn)練部，北京100072）

為了準確估計魔術(shù)輪胎模型參數(shù)并構(gòu)建可信的輪胎動力學(xué)模型，基于某型輪胎的縱向力及側(cè)向力試驗數(shù)據(jù)，以測試數(shù)據(jù)和模型擬合數(shù)據(jù)殘差加權(quán)平方和最小為目標函數(shù)，采用麥夸爾特法（Levenberg-Marquardt）與全局優(yōu)化法相結(jié)合的混合優(yōu)化算法，分別對8個輪胎縱向力及10個輪胎側(cè)向力模型參數(shù)進行估計。擬合優(yōu)度統(tǒng)計檢驗結(jié)果表明：魔術(shù)輪胎模型回歸效果非常顯著，擬合精度較高。縱向力及側(cè)向力模型擬合曲線與試驗測點擬合較好，縱向剛度及側(cè)偏剛度測試結(jié)果與計算結(jié)果的最大相對誤差分別只有8.48%和9.96%，具有很好的一致性，驗證了參數(shù)估計的準確性。

魔術(shù)輪胎模型；參數(shù)估計；麥夸爾特法；擬合優(yōu)度檢驗

0 引言

除了空氣作用力和重力外，幾乎其它所有影響車輛運動的力和力矩都通過滾動的輪胎與地面相互作用而產(chǎn)生。建立精確的輪胎模型來模擬車輛行駛狀態(tài)下輪胎與地面的相互作用關(guān)系，對于準確研究車輛系統(tǒng)的動力學(xué)特性有很大的影響。輪胎模型的精度必須與車輛模型的精度相匹配。常用的輪胎模型主要分為經(jīng)驗—半經(jīng)驗?zāi)Ｐ?、物理模型、有限元模型等三類，由于輪胎具有結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和力學(xué)性能的非線性，選擇符合實際又便于使用的輪胎模型至關(guān)重要［1-2］。

由Pacejka提出的魔術(shù)公式作為一種典型的經(jīng)驗—半經(jīng)驗?zāi)Ｐ?，以其簡潔統(tǒng)一的表達方式和較高的擬合精度，在車輛動力學(xué)研究領(lǐng)域得到了最為廣泛的應(yīng)用［3-4］。目前使用魔術(shù)公式的輪胎模型主要有Pacejka 89、Pacejka 94、MF-Tyre、MF-Swift等4種類型。雖然魔術(shù)輪胎模型具有較好的通用性，在沒有某一輪胎的試驗數(shù)據(jù)時而采用同類輪胎數(shù)據(jù)代替，仍可取得較好的模擬效果，但是為了使模型能更加符合輪胎的實際物理特性，通常需要根據(jù)輪胎試驗測試數(shù)據(jù)對魔術(shù)模型的參數(shù)進行估計。盡管與其他模型相比，魔術(shù)輪胎模型的擬合參數(shù)相對較小，但是要想準確地估計魔術(shù)模型的參數(shù)也是相當困難的。

本文在進行某型越野輪胎縱向力及側(cè)向力試驗測試的基礎(chǔ)上，為了準確構(gòu)建該輪胎的動力學(xué)模型，根據(jù)試驗測試數(shù)據(jù)對魔術(shù)輪胎模型的參數(shù)進行識別。為了提高模型參數(shù)識別的收斂效率和識別精度，采用麥夸爾特法（Levenberg-Marquardt）與全局優(yōu)化法相結(jié)合的混合優(yōu)化算法識別了魔術(shù)輪胎模型的參數(shù)，并通過擬合優(yōu)度檢驗的方法對參數(shù)識別結(jié)果進行驗證。

1 魔術(shù)輪胎模型力學(xué)表達式

魔術(shù)模型采用三角函數(shù)的組合公式擬合輪胎試驗數(shù)據(jù)，用一套形式相同的公式就可以完整地表達輪胎的縱向力、側(cè)向力及回正力矩，故稱為“魔術(shù)公式”［5-6］，具有統(tǒng)一性強、編程方便等優(yōu)點。由于魔術(shù)公式基于試驗數(shù)據(jù)，因此在試驗測試范圍內(nèi)具有較高的精度，并且具有很好的外推特性，在極限值以外一定程度仍可使用，可以對有限工況進行外推且具有較好的置信度。

1.1 輪胎縱向力模型

用魔術(shù)公式表示的輪胎縱向力模型表示為：

式中：Fx為輪胎縱向力，N；Fz為輪胎垂直載荷，N；κ為輪胎縱向滑移率；D為峰值因子；C為形狀因子；BCD1為縱向力為零時輪胎的縱向剛度；B為剛度因子；E為曲率因子；ai（i=1，2，…，8）為輪胎模型擬合系數(shù)。

1.2 輪胎側(cè)向力模型

同樣，輪胎側(cè)向力模型表示為：

式中：Fy為輪胎側(cè)向力，N；BCD2為側(cè)向力為零時輪胎的側(cè)偏剛度；α為輪胎側(cè)偏角；Sh為曲線的水平方向漂移；Sv為曲線的垂直方向漂移；ai（i=1，2，…，10）為輪胎模型擬合系數(shù)。

2 輪胎模型擬合參數(shù)估計

2.1 參數(shù)估計模型

要對魔術(shù)輪胎模型中的未知參數(shù)進行估計，就是要使根據(jù)魔術(shù)公式擬合得到的縱向力及側(cè)向力與試驗測試結(jié)果之間的差異最小。以試驗測試數(shù)據(jù)點與模型擬合數(shù)據(jù)點之間差異的加權(quán)平方和構(gòu)建如下的目標函數(shù)［6－7］

式中：S為構(gòu)建的目標函數(shù)；Fi為輪胎縱向力或側(cè)向力第i個測點的試驗值，N；F?i為魔術(shù)公式擬合值，N；N為試驗測點總數(shù)；wi為權(quán)重系數(shù)，權(quán)重系數(shù)的選取會影響修正結(jié)果，一種方法是可以根據(jù)不同測點的測試精度進行確定，這里取wi=1。

目標函數(shù)式（3）的最小化過程就是魔術(shù)模型參數(shù)的修正過程。輪胎的側(cè)向力及縱向力試驗數(shù)據(jù)及魔術(shù)公式擬合曲線具有很強的非線性特性，并且在參數(shù)修正過程中，要根據(jù)有限的試驗數(shù)據(jù)分別對縱向力中的8個參數(shù)以及側(cè)向力中的10個參數(shù)進行修正，因此，選擇合適的修正算法非常重要，否則很難得到理想的修正結(jié)果。

2.2 輪胎試驗測試

為了研究輪胎的動態(tài)特性，試驗測試了不同垂直載荷下，對應(yīng)于不同縱向滑移率的輪胎縱向力以及對應(yīng)于不同側(cè)偏角時的輪胎側(cè)向力。試驗對象為某公司生產(chǎn)的某型子午線輪胎，標準胎壓為830kPa，試驗溫度25°C，試驗時采用的垂直載荷分別為：5 586N、10 388 N、15 141 N、19 865 N，在進行側(cè)向力試驗時，基于最常用的試驗工況，選擇外傾角為0°。不同垂直載荷下，輪胎縱向力及側(cè)向力試驗數(shù)據(jù)分別見表1、表2所示，根據(jù)縱向力及側(cè)向力的對稱性，表中只列出一半數(shù)據(jù)。

表1 輪胎縱向力試驗數(shù)據(jù) N

表2 輪胎側(cè)向力試驗數(shù)據(jù) N

2.3 輪胎模型參數(shù)辨識

目前，在非線性曲線擬合及參數(shù)估計方面，最常用的算法有麥夸爾特法［10-11］或簡面體爬山法（SimplexMethod）等，具有收斂速度快、擬合精度高等優(yōu)點，只要初始參數(shù)的選取比較合理，就能夠得到非常理想的收斂結(jié)果。但是由于這兩種方法均屬于局部優(yōu)化算法，它們的解依賴于選擇的參數(shù)初值。因而如何有效地確定參數(shù)初始值始終是難以克服的瓶頸。而諸如遺傳算法（GA）等全局算法雖然能夠收斂到全局最優(yōu)解，但是收斂速度比較慢。因此，本文采用了麥夸爾特法（LM）與全局優(yōu)化算法（Universal Global Optimization-UGO）［12-13］相結(jié)合的混合優(yōu)化算法，對魔術(shù)輪胎縱向力及側(cè)向力模型中的參數(shù)進行估計，既確保了能夠收斂到全局最優(yōu)解，又顯著提高了收斂效率。

采用LM+UGO算法，將輪胎穩(wěn)態(tài)縱向滑移特性和穩(wěn)態(tài)側(cè)偏特性試驗數(shù)據(jù)分別代入式（2）、（3）進行參數(shù)估計，得到相應(yīng)的參數(shù)值如表3所示。

表3 魔術(shù)輪胎模型擬合參數(shù)

3 參數(shù)估計結(jié)果檢驗及驗證

3.1 擬合優(yōu)度檢驗

為了對參數(shù)估計結(jié)果進行驗證，采用了擬合優(yōu)度檢驗的方法［14］。所采用的模型統(tǒng)計檢驗量包括：決定系數(shù)R2和檢驗統(tǒng)計量F，分別由式（4）～式（7）給出，具體計算結(jié)果見表4。

表4 輪胎模型參數(shù)估計統(tǒng)計檢驗結(jié)果

式中：n為觀測值數(shù)量；p為回歸參數(shù)數(shù)量；m為回歸方程數(shù)量為yi的估計值為n個估計值的平均值。

由表4可見，縱向力Fx和側(cè)向力Fy回歸方程的決定系數(shù)R2分別為0.998和0.999，非常接近于1，說明回歸方程與試驗測點擬合很好，整個回歸結(jié)果非常顯著。方差分析結(jié)果表明，臨界值F0.01（4，76）=3.597，F(xiàn)0.05（4，76）=2.493?？v向力Fx的檢驗統(tǒng)計量F=11 768.01>10×F0.01（4，76）= 35.97>10×F0.05（4，76）＝24.93，側(cè)向力Fy的F=23 730.80> 10×F0.01（4，76）>10×F0.05（4，76），說明采用魔術(shù)公式的輪胎縱向力及側(cè)向力非線性模型的回歸效果特別顯著，表明該模型是合適的，反映了擬合值與試驗值之間的差異很小，擬合程度非常顯著。

輪胎縱向力及側(cè)向力擬合值與試驗值的比較如圖1、圖2所示。縱向力的試驗值Fx與擬合值、側(cè)向力的試驗值Fy與擬合值均分布在對角線兩側(cè)，說明輪胎縱向力及側(cè)向力的擬合計算值與試驗值吻合良好。

圖1 輪胎縱向力擬合值與試驗值

圖2 輪胎側(cè)向力模型計算值與試驗值比較

3.2 輪胎特性的分析與比較

3.2.1 輪胎縱向力及縱向剛度

在不同的垂向載荷下，由魔術(shù)輪胎模型擬合得到的輪胎縱向力與縱向滑移率關(guān)系曲線和試驗數(shù)據(jù)點的比較如圖3所示。從圖中可以看出輪胎模型縱向力擬合特性曲線與試驗數(shù)據(jù)有很好的一致性。

圖3 輪胎縱向力試驗數(shù)據(jù)點及魔術(shù)模型擬合曲線

圖4 輪胎縱向剛度試驗及擬合曲線

輪胎的試驗縱向剛度表示為縱向力試驗曲線在零點時的斜率［15］，可以由圖3的試驗數(shù)據(jù)點求得，魔術(shù)模型中的擬合縱向剛度由表達式BCD1計算得到。圖4為輪胎試驗縱向剛度及擬合縱向剛度對比曲線，從圖中看出，輪胎縱向剛度隨輪胎垂向載荷的增加而增大，兩者呈近似線性關(guān)系，并且由輪胎模型得到的縱向剛度擬合結(jié)果與試驗曲線之間的最大相對誤差為8.48%，表明兩者有較好的一致性。

3.2.2 輪胎側(cè)向力及側(cè)偏剛度

輪胎側(cè)向力與側(cè)偏角關(guān)系擬合曲線與試驗數(shù)據(jù)點的比較如圖5所示，從圖中可以看出輪胎模型側(cè)向力擬合特性曲線與試驗數(shù)據(jù)有很好的一致性。

圖5 輪胎側(cè)向力試驗數(shù)據(jù)點與魔術(shù)模型擬合曲線

輪胎的試驗側(cè)偏剛度表示為側(cè)向力試驗曲線在零點時的斜率，可以由圖5的試驗數(shù)據(jù)點求得，魔術(shù)模型中的擬合側(cè)偏剛度由表達式BCD2計算得到。圖6為輪胎試驗側(cè)偏剛度及擬合側(cè)偏剛度對比曲線，從圖中看出，輪胎側(cè)偏剛度隨著輪胎垂向載荷的增加而增大，兩者呈近似線性關(guān)系，并且由魔術(shù)輪胎模型得到的側(cè)偏剛度擬合結(jié)果與試驗曲線之間的最大相對誤差為9.96%，表明兩者之間也有較好的一致性。

圖6 輪胎側(cè)偏剛度試驗與擬合曲線

4 結(jié)論

1）進行某型輪胎縱向力及縱向力的試驗測試，基于魔術(shù)輪胎模型公式，采用麥夸爾特局部法與全局法相結(jié)合的混合優(yōu)化算法，分別擬合了輪胎的側(cè)向力及縱向力特性曲線，識別了魔術(shù)輪胎縱向力模型中的8個及側(cè)向力模型中的10個參數(shù)。

2）采用擬合優(yōu)度檢驗中的決定系數(shù)及檢驗統(tǒng)計量對魔術(shù)公式的擬合結(jié)果進行了檢驗，結(jié)果表明：采用魔術(shù)公式的輪胎縱向力及側(cè)向力非線性模型的回歸效果非常顯著，輪胎縱向力及側(cè)向力的擬合值與試驗值吻合良好，表明了參數(shù)識別結(jié)果的可信度。

3）由輪胎模型得到的縱向剛度以及側(cè)偏剛度擬合結(jié)果與試驗測試結(jié)果之間最大相對誤差分別為8.48%和9.96%，具有很好的一致性，表明該型輪胎對魔術(shù)輪胎模型較適應(yīng)，從而為準確的整車建模及動力學(xué)特性分析奠定了基礎(chǔ)。

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（編輯啟 迪）

Identification of Magic Tyre Mode Parameters Based on Experimental Data

TIAN Hongganga,b,RUI Qianga,WANG Hongyana
（a.Department of Mechanical Engineering,b.Department of Training,Academy of Armored Force Engineering,Beijing 100072,China）

In order to estimate magic tyre model parameters with more confidence,the weighted sum of squares residual（WSSR）between experimental data and fitted data is taken as objection function,a kind of hybrid optimizing algorithm has been adopted to estimate eight longitudinal force magic model parameters and ten lateral force magic model parameters based on experimental data of tire longitudinal force and lateral force.The applied optimizing approach is the combination of Levenberg-Marquardt local method and global optimization method.The regression effect of magic tire model is very significant and fitting accuracy is high in testing of goodness of fit.The accuracy of parameter estimation is verified by the small relative error（8.48%and 9.96%）between experimental values and fitted values of longitudinal stiffness and cornering stiffness.

magic tyre model;parameter identification;Marquardt method;test of goodness of fit

U 463

A

1002－2333（2014）05－0019－04

田洪剛（1980—），男，碩士研究生，研究方向為軍用車輛系統(tǒng)論證、仿真與評估技術(shù)；王紅巖（1965—），男，教授，博士學(xué)位，研究方向為軍用車輛論證與仿真。

2014-02-03

軍內(nèi)科研資助項目（2012JC037）