周鵬， 郭迎福， 劉厚才

（湖南科技大學(xué)機械設(shè)備健康維護省重點實驗室，湖南湘潭411201）

行星齒輪減速器多目標優(yōu)化設(shè)計

周鵬， 郭迎福， 劉厚才

（湖南科技大學(xué)機械設(shè)備健康維護省重點實驗室，湖南湘潭411201）

針對行星齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計的多參數(shù)、多目標、多約束的特點，建立了多目標優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,應(yīng)用層次分析法計算各目標函數(shù)權(quán)重，通過采用遺傳算法進行減速器參數(shù)多目標優(yōu)化求解。實例計算表明，優(yōu)化設(shè)計參數(shù)比原設(shè)計參數(shù)更加合理，說明遺傳算法用于減速器優(yōu)化設(shè)計是有效、可行的，對行星齒輪減速器的優(yōu)化有一定的指導(dǎo)意義。

優(yōu)化設(shè)計；遺傳算法；層次分析法；行星齒輪減速器

0 引言

行星齒輪減速器具有承載能力大、傳動比高、結(jié)構(gòu)緊湊、體積小、傳動效率高等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于各種車輛以及工程機械傳動裝置中。隨著機械傳動小型化、高速化的發(fā)展，對行星齒輪機構(gòu)傳動提出了更高的要求。提高行星齒輪機構(gòu)的功效、減少體積和重量已成為人們十分關(guān)注的課題。然而，在行星齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計中，所涉及的影響因素很多，使得行星齒輪減速器的設(shè)計很復(fù)雜。以往的研究主要集中在體積最小、效率最高、承載能力最高等單目標優(yōu)化設(shè)計。對于一些多目標優(yōu)化設(shè)計研究［1-3］存在著優(yōu)化方法的選擇和權(quán)重分配等問題，使得優(yōu)化結(jié)果不夠理想，存在局部最優(yōu)解問題。本文為克服權(quán)重選取的主觀性和不確定性，利用層次分析法來計算分目標函數(shù)的權(quán)重，采用遺傳算法解決參數(shù)優(yōu)化設(shè)計過程中可能出現(xiàn)的局部最優(yōu)解問題，達到全局最優(yōu)。

圖1 行星齒輪機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

1 多目標優(yōu)化模型的建立

行星齒輪機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖如圖 1所示，其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為太陽輪齒數(shù)z1，行星輪齒數(shù)z2，內(nèi)齒圈齒數(shù) z3，各齒輪模數(shù)m和齒寬b等。本文建立以體積最小、效率最高和承載能力最大為多目標優(yōu)化模型，采用遺傳算法進行優(yōu)化求解。

1.1 設(shè)計變量的確定

在減速器優(yōu)化設(shè)計中，影響參數(shù)有各齒輪的模數(shù)、齒數(shù)、齒寬、壓力角、齒輪分度圓直徑、各齒頂高系數(shù)、太陽輪個數(shù)等。過多的設(shè)計變量會增加計算的工作量和難度，常取對優(yōu)化目標影響比較明顯的、易于控制的設(shè)計參數(shù)作為設(shè)計變量。行星輪的個數(shù)c和傳動比i，一般情況下可根據(jù)機構(gòu)事先確定。綜合考慮各種因素，選取太陽輪齒數(shù)z1、行星齒輪齒數(shù)z2、模數(shù)m、齒寬b、太陽輪允許轉(zhuǎn)矩T1作為設(shè)計變量，即X=［z1，z2，m，b，T1］T=［x1，x2，x3，x4，x5］T。

1.2 分目標函數(shù)

1.2.1 體積

據(jù)圖1可知，影響行星齒輪減速器體積主要有太陽輪與c個行星齒輪體積總和［4］。即V＝V1＋cV2；

1.2.2 效率

行星齒輪減速器大多用于連續(xù)長時間工作，有時還用于大功率傳遞，因此提高傳動效率，減少摩擦也是減速器設(shè)計過程中必須要考慮的。行星齒輪機構(gòu)的傳動效率主要與傳動比有關(guān)［5］，而傳動比與行星機構(gòu)的齒數(shù)相關(guān)，再計及軸承等運動副的影響，其效率值可由下式求得：

1.2.3 承載能力

行星齒輪減速器的承載能力可取允許太陽輪轉(zhuǎn)矩T1作為目標函數(shù)：

1.3 約束條件

1）配齒約束。

2）應(yīng)力約束。由于內(nèi)嚙合齒輪的接觸強度高于外嚙合齒輪，故取太陽輪1的齒根彎曲強度作為約束條件

式中：ZH、ZE分別為區(qū)域系數(shù)和彈性影響系數(shù)；K為載荷系數(shù)；YFa、YSa分別為齒形系數(shù)和應(yīng)力校正系數(shù)；［σ］H、［σ］F分別為按齒面接觸疲勞強度和按齒根彎曲疲勞強度計算時的許用應(yīng)力。

3）其它界限約束。

1.4 建立總的目標函數(shù)

多目標優(yōu)化問題的求解方法有很多，通過加權(quán)平均和法，將各分目標函數(shù)通過加權(quán)求和形成一個統(tǒng)一的總目標函數(shù)，把復(fù)雜的多目標問題轉(zhuǎn)化單目標問題，即

式中，wi反映各分目標函數(shù)相對重要程度的加權(quán)因子。本文采用主觀賦權(quán)法中的層次分析法來確定權(quán)重。層次分析法，是將與決策總是有關(guān)的元素分解成目標、準則、方案等層次，在此基礎(chǔ)之上進行定性和定量分析的決策方法。本文通過變換將比較矩陣轉(zhuǎn)化為判斷矩陣，并證明它完全滿足一致性的要求,從而避免了利用Saaty［6］提出的九標度法建立的判斷矩陣產(chǎn)生的不一致性。權(quán)重的確定步驟如下：

式中，cb為常量，是按某種標準預(yù)先給定的極差元素對的相對重要程度（一般在實踐中常取cb=5）。

3）進行一致性檢驗。

2 優(yōu)化方法的選擇與實例分析

遺傳算法是一種基于自然選擇原理、自然遺傳機制和自然搜索的算法，是一種實用、高效、強魯棒性的優(yōu)化技術(shù)；與傳統(tǒng)算法相比，獲得全局最優(yōu)解的可能性更大，算法效率更高且對目標函數(shù)幾乎沒有什么限制。因此，對上述數(shù)學(xué)模型采用遺傳算法來求解［7-8］。優(yōu)化程序框圖如圖2所示。

圖2 優(yōu)化程序框圖

為驗證上述理論與方法的可行性，可以進行實例的計算分析。設(shè)圖1行星齒輪減速器傳動比i為4.64，齒輪材料為38SiMnMo，表面淬火硬度55～65HRC，相應(yīng)的許用應(yīng)力取值范圍為［σ］H=1 300～1 650 MPa，［σ］F=430～880MPa；作用在輪1上的轉(zhuǎn)矩允許取值的范圍為1 140～1 500 N·m。現(xiàn)按體積最小、效率最高和承載能力最大(允許輪1的轉(zhuǎn)矩最大)來設(shè)計該減速器，設(shè)行星輪個數(shù)c=3，通過查表計算取ηHd=0.98，ηc=0.98。遺傳算法采用二進制編碼，種群中的個體數(shù)目為30，二進制編碼長度為20，交叉概率為0.8，變異概率為0.08，適應(yīng)度函數(shù)取

調(diào)用遺傳算法程序求得

與原設(shè)計參數(shù)［4］比較體積下降了11.7%，效率提高了5.9%，承載能力提高了15.7%，與普通單目標優(yōu)化結(jié)果［4］比較體積只增加了4.9%，效率值也只下降了2.2%，但承載能力卻提高了15.7%，可見優(yōu)化綜合效果很明顯。

3 結(jié)論

采用多目標優(yōu)化設(shè)計方法對行星齒輪機構(gòu)進行設(shè)計，與常規(guī)設(shè)計方法比較，不但實現(xiàn)了優(yōu)化設(shè)計，而且減少了設(shè)計時間，提高了設(shè)計效率。相比于單目標優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化結(jié)果雖不能全部提高，但總的綜合效率得到了改善。通過層次分析法確定各目標函數(shù)的加權(quán)系數(shù)，提高了設(shè)計精度和水平，因此具有一定的工程實用意義。實例計算結(jié)果表明，利用遺傳算法對行星齒輪減速器多目標優(yōu)化設(shè)計是一種行之有效的優(yōu)化方法。

［1］ 王建維，張建明，魏小鵬.基于模擬退火算法的減速器多目標優(yōu)化設(shè)計［J］.農(nóng)業(yè)機械學(xué)報，2006（10）：120-123.

［2］ 劉曉星.行星齒輪減速器的模糊多目標優(yōu)化設(shè)計［J］.機械傳動，1998（3）：11-13.

［3］ 商桂芝，陳殿華.行星齒輪機構(gòu)的多目標優(yōu)化設(shè)計［J］.機械設(shè)計與研究，2006（2）：68-70.

［4］ 陳立周.機械優(yōu)化設(shè)計［M］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1982.

［5］ 饒振綱.行星齒輪傳動設(shè)計［M］.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2003.

［6］ Saaty T L.The analytic hierarchy process［M］.New York：McGraw-Hill，1980.

［7］ 陳國良.遺傳算法及其應(yīng)用［M］.北京：人民郵電出版社，1996.

［8］ Deb K，Jain S.Multi-speed gearbox design using multi-objective evolutionary algorithms［J］.ASME，Journal of Mechanical Design，2003，125（3）：609－619.

（編輯昊 天）

Multi-objective Optimization Design of Planetary Gear Reducer

ZHOU Peng,GUO Yingfu,LIU Houcai
（Hunan Provincial Key Laboratory of Health Maintenance for Mechanical Equipment,Hunan University of Science and Technology,Xiangtan 411201,China）

Based on multi-parameter,multi-objective and multi-constraint of planetary gearreducer,the optimization mathematical model was established.In addition,the analytic hierarchy process（AHP）was adopted to calculate the weights of sub-objective functions.Genetic algorithm is used to slove multi-objective optimization of the reducer parameters.The example of calculating indicated that the optimal result is more rational than traditional design scheme in the earlier references.Genetic algorithm technique is proved to be effective and feasible in carrying out multiobjective optimization of reducer，it also has certain guiding significance to the optimization of planetary gear reducer.

optimization design;genetic algorithm;analytic hierarchy process;planetary gear reducer

TH 132.425

A

1002－2333（2014）05－0001－03

周鵬（1987—），男，碩士研究生，研究方向為機械設(shè)計及理論；郭迎福（1962—），男，博士學(xué)位，教授，研究方向為虛擬儀器技術(shù)、三維輪廓測量技術(shù)、遞向工程等。

2014-02-19

國家自然科學(xué)基金資助項目（51075143）