劉 洋，游亞戈，葉 寅，曹雪玲

（1. 中國(guó)科學(xué)院廣州能源研究所，廣州 510640；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

電磁力對(duì)導(dǎo)電流體二維流動(dòng)的影響*

劉 洋1,2，游亞戈1?，葉 寅1，曹雪玲1,2

（1. 中國(guó)科學(xué)院廣州能源研究所，廣州 510640；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

導(dǎo)電流體在磁場(chǎng)中會(huì)受到電磁力的作用而導(dǎo)致流體運(yùn)動(dòng)發(fā)生改變。本文模擬了不可壓縮粘性導(dǎo)電流體在不同外加條件下的流動(dòng)狀況。模擬結(jié)果表明：（1）電磁力與外加磁場(chǎng)和外加電場(chǎng)有關(guān)，對(duì)于不同的外加磁場(chǎng)和外加電場(chǎng)，導(dǎo)電流體所受到的電磁力作用也不同。對(duì)于外加垂直方向均勻磁場(chǎng)的導(dǎo)電流體在兩電極間的流動(dòng)，外加磁場(chǎng)和外加電場(chǎng)越大，電磁力越大；在外加電場(chǎng)和外加磁場(chǎng)相同的情況下，對(duì)于不同的進(jìn)口流動(dòng)速度，入口速度越大，導(dǎo)電流體的流動(dòng)受電磁力影響越小。（2）在電極附近會(huì)產(chǎn)生端部效應(yīng)影響導(dǎo)電流體的流動(dòng)。

電磁場(chǎng)；導(dǎo)電流體；電磁力；二維流動(dòng)

0 引 言

磁流體是一種既有液體流動(dòng)性又具有固體磁性材料磁性的新型功能材料，磁流體也可以稱為導(dǎo)電流體。導(dǎo)電流體包括等離子體和液態(tài)金屬。等離子體是電中性電離氣體，它廣泛存在于宇宙中；最常見的常溫液態(tài)金屬是水銀，還有一些合金性質(zhì)的液態(tài)金屬，如鈉鉀合金。

磁流體在工業(yè)中的一個(gè)重要應(yīng)用就是利用磁流體發(fā)電。液態(tài)金屬磁流體發(fā)電機(jī)是一種新型高效的發(fā)電機(jī)，它通過使運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)電流體穿過磁場(chǎng)來(lái)產(chǎn)生電流[1]，其具體的發(fā)電原理是：液態(tài)金屬磁流體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，切割磁感線，這時(shí)產(chǎn)生了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，再通過導(dǎo)線與外部負(fù)載連接成閉合回路，回路中就有了電流。

然而導(dǎo)電流體在磁場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是極其復(fù)雜的，原因在于：只要有運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)體和外加磁場(chǎng)，由感應(yīng)電流產(chǎn)生的感應(yīng)磁場(chǎng)必將對(duì)原始的外加磁場(chǎng)產(chǎn)生一個(gè)擾動(dòng)，同時(shí)電流與受擾動(dòng)的磁場(chǎng)之間相互作用產(chǎn)生電磁力，必將對(duì)原始的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生擾動(dòng)[2]。由此可見，磁流體在磁場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是受多場(chǎng)耦合影響的結(jié)果。

本文只考慮單向耦合的情況，即只考察電磁力對(duì)導(dǎo)電流體流動(dòng)的影響，對(duì)于流體流動(dòng)對(duì)磁場(chǎng)所產(chǎn)生的影響暫不考慮，也就是忽略了感應(yīng)磁場(chǎng)。分別模擬了在不同入口速度分布、外加磁場(chǎng)、外加電場(chǎng)條件下，導(dǎo)電流體的二維流動(dòng)情況，包括速度場(chǎng)分布情況、壓力分布情況以及電位能分布情況，為研究雙重耦合情況提供必要的依據(jù)和指導(dǎo)。

1 導(dǎo)電流體在磁場(chǎng)中流動(dòng)的控制方程

在流體力學(xué)中，不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程（NS方程）為[3]：

其中，V為流體的速度，ρ為流體的密度，p為壓力，μ為動(dòng)力粘性系數(shù)。

當(dāng)運(yùn)動(dòng)的流體為導(dǎo)電流體并有磁場(chǎng)存在時(shí)，情況將會(huì)有所不同。導(dǎo)電流體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)會(huì)使磁通量發(fā)生變化，從而在導(dǎo)電流體內(nèi)產(chǎn)生電流，電流與磁場(chǎng)相互作用產(chǎn)生電磁力，即運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)電流體在磁場(chǎng)中會(huì)受到電磁力的作用。電磁力的表達(dá)式為[4]：

對(duì)于電磁力的處理，可以把電磁力看作體積力，這里假設(shè)導(dǎo)電流體所產(chǎn)生的電磁力全部轉(zhuǎn)化為導(dǎo)電流體所受到的體積力[5]，并假設(shè)導(dǎo)電流體為不可壓縮的粘性流體（液態(tài)金屬磁流體符合流體力學(xué)中的連續(xù)介質(zhì)假設(shè)），因此導(dǎo)電流體的運(yùn)動(dòng)方程為[6,7]：

其中，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度，J為電流密度。由廣義歐姆定律，電流密度J為[8]：

電場(chǎng)E可以寫成一個(gè)標(biāo)量梯度的形式[9]，即：

上式中，φ 是標(biāo)量電勢(shì)，因此電流密度又可以寫為：

將電流密度方程代入運(yùn)動(dòng)方程中，整理得到描述導(dǎo)電流體的運(yùn)動(dòng)方程為：

1.1 外加磁場(chǎng)

假設(shè)外加磁場(chǎng)B在x、y軸的分量與z軸的分量相比很小，可忽略不計(jì)，不考慮感應(yīng)磁場(chǎng)影響，即磁感應(yīng)強(qiáng)度B只有z軸分量，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的表達(dá)式為：

導(dǎo)電流體在矩形通道內(nèi)沿x軸流動(dòng)，假設(shè)流動(dòng)沿z軸方向的變化很小，此時(shí)問題可以簡(jiǎn)化為二維流動(dòng)問題，如圖1所示。

圖1 物理模型圖Fig. 1 Physical model

1.2 外加電場(chǎng)

外加電場(chǎng)加在上下兩個(gè)電極板上，即壁1、壁2，可以得到電流是沿y軸方向的[10,11]。

于是電流密度J的表達(dá)式為：

電磁力只有x軸的分量，F(xiàn)x的表達(dá)式為：

根據(jù)以上描述，可以得到控制方程的分量形式為：

穩(wěn)態(tài)條件下，控制方程為[12,13]：

1.3 邊界條件

在圖1中，左側(cè)為入口，設(shè)為速度邊界條件，即給定法向速度大小或速度分布；右側(cè)為出口，邊界條件是壓力為0 Pa；壁1、壁2在流體力學(xué)中的邊界條件是無(wú)滑移邊界，即v壁=0，在電磁學(xué)中的邊界條件：n×E=0，因?yàn)楸?、壁2是電極[3,14]。

2 結(jié)果與討論

根據(jù)計(jì)算流體力學(xué)理論和電動(dòng)力學(xué)理論建立的數(shù)學(xué)模型，通過COMSOL Multiphysics軟件對(duì)磁流體的流動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行仿真模擬，以探討磁流體在垂直磁場(chǎng)和電場(chǎng)作用下電勢(shì)、速度以及壓力的分布情況[15]。

選取Re=0.02，N=500，Ha=10；其密度設(shè)為ρ=1/N=0.02 kg/m3，運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)設(shè)為μ=1/Ha2=0.01 kg/m·s，電導(dǎo)率設(shè)為σ=1 S/m。其中，Re為雷諾數(shù)，；N為相互作用數(shù)，Ha為哈特曼數(shù)，Re、N、Ha都是無(wú)量綱的數(shù)。

當(dāng)外加磁場(chǎng)B0=1 T、兩極板電壓差ΔV=10 V、入口速度u0=1 m/s時(shí)，速度場(chǎng)分布如圖2所示，壓力分布如圖3所示，電位能分布如圖4所示。

圖2 B0=1 T、ΔV=10 V、u0=1 m/s時(shí)的速度場(chǎng)分布Fig. 2 Velocity distribution under conditions ofB0=1 T, ΔV=10 V andu0=1 m/s

圖3 B0=1 T、ΔV=10V、u0=1 m/s時(shí)的壓力分布Fig. 3 Pressure distribution under conditions ofB0=1 T, ΔV=10V andu0=1 m/s

圖4 B0=1 T、ΔV=10V、u0=1 m/s時(shí)的電位能分布Fig. 4 Potentials distribution under conditions ofB0=1 T, ΔV=10V andu0=1 m/s

當(dāng)入口速度不同時(shí)，導(dǎo)電流體受到的電磁力也不同，所呈現(xiàn)的流動(dòng)也不同。在保持外加磁場(chǎng)B0=1 T、兩極板電壓差ΔV=10 V不變的情況下，分別模擬了入口速度u0=1 m/s、5 m/s、10 m/s、20 m/s的流動(dòng)情況，流動(dòng)時(shí)速度場(chǎng)矢量圖如圖5～圖8所示。

從圖5～圖8可以看出，對(duì)于相同的外加磁場(chǎng)和極板電壓差，導(dǎo)電流體的入口速度越大，在電極板間流動(dòng)受到的電磁力影響越小，即速度受電磁力的改變?cè)叫　?/p>

圖5 B0=1 T、ΔV=10 V、u0=1 m/s時(shí)的速度場(chǎng)矢量圖Fig. 5 Velocity vector under conditions ofB0=1 T, ΔV=10 V andu0=1 m/s

圖6 B0=1 T、ΔV=10 V、u0=5 m/s時(shí)速度場(chǎng)矢量圖Fig. 6 Velocity vector under conditions ofB0=1T, ΔV=10 V andu0=5 m/s

圖7 B0=1 T、ΔV=10 V、u0=10 m/s時(shí)的速度場(chǎng)矢量圖Fig. 7 Velocity vector under conditions ofB0=1 T, ΔV=10 V andu0=10 m/s

圖8 B0=1 T、ΔV=10 V、u0=20 m/s時(shí)的速度場(chǎng)矢量圖Fig. 8 Velocity vector under conditions ofB0=1 T, ΔV=10 V andu0=20 m/s

另外，在入口速度較小的速度場(chǎng)矢量圖中可以看出（如圖5、圖11、圖14、圖18、圖22），流體會(huì)出現(xiàn)回流。這是由于發(fā)電通道的兩端會(huì)產(chǎn)生端部效應(yīng)，影響電場(chǎng)和流場(chǎng)的分布。端部效應(yīng)產(chǎn)生的原因：一是由于在發(fā)電通道兩端磁場(chǎng)梯度較大而形成的；另一原因是導(dǎo)電流體的高導(dǎo)電性在電極板形成漏點(diǎn)而形成的。

對(duì)于不同的外加磁場(chǎng)，導(dǎo)電流體受到的電磁力也不同，流動(dòng)也呈現(xiàn)出不同。保持兩極板電壓差ΔV=10 V、入口速度u0=1 m/s，令外加磁場(chǎng)的值分別等于1 T、2 T、5 T。B0=2 T時(shí)的速度場(chǎng)分布如圖9所示，壓力分布如圖10所示，速度場(chǎng)的矢量圖如圖11所示；B0=5 T時(shí)的速度場(chǎng)分布如圖12所示，壓力分布如圖13所示，速度場(chǎng)的矢量圖如圖14所示。

圖9 ΔV=10 V、u0=1 m/s、B0=2 T時(shí)速度場(chǎng)分布Fig. 9 Velocity distribution under conditions of ΔV=10 V,u0=1 m/s andB0=2 T

圖10 ΔV=10 V、u0=1 m/s、B0=2 T時(shí)的壓力分布Fig. 10 Pressure distribution under conditions of ΔV=10 V,u0=1 m/s andB0=2 T

圖11 ΔV=10 V、u0=1 m/s、B0=2 T時(shí)的速度場(chǎng)矢量圖Fig. 11 Velocity vector under conditions of ΔV=10 V,u0=1 m/s andB0=2 T

圖12 ΔV=10 V、u0=1 m/s、B0=5 T時(shí)速度場(chǎng)分布Fig. 12 Velocity distribution under conditions of ΔV=10 V,u0=1 m/s andB0=5 T

圖13 ΔV=10 V、u0=1 m/s、B0=5 T時(shí)的壓力分布Fig. 13 Pressure distribution under conditions of ΔV=10 V,u0=1 m/s andB0=5 T

圖14 ΔV=10 V、u0=1 m/s、B0=5 T時(shí)的速度場(chǎng)矢量圖Fig. 14 Velocity vector under conditions of ΔV=10 V,u0=1 m/s andB0=5 T

從圖2、圖9、圖12可以看到，對(duì)于相同的入口速度和極板電壓差，外加磁場(chǎng)越大，導(dǎo)電流體運(yùn)動(dòng)改變得越多，即導(dǎo)電流體所受到的電磁力越大。

對(duì)于不同的外加電壓，導(dǎo)電流體受到的電磁力也不同，流動(dòng)也呈現(xiàn)出不同。保持外加磁場(chǎng)B0=1 T、初速度u0=1 m/s；令兩極板電壓差分別為5 V、10 V、20 V。ΔV=5 V時(shí)的速度場(chǎng)分布如圖15所示，壓力分布如圖16所示；ΔV=20 V時(shí)的速度場(chǎng)分布如圖19所示，壓力分布如圖20所示。

圖15 B0=1 T、u0=1 m/s、ΔV=5 V時(shí)的速度場(chǎng)分布Fig. 15 Velocity distribution under conditions ofB0=1 T,u0=1 m/s and ΔV=5 V

圖16 B0=1 T、u0=1 m/s、ΔV=5 V時(shí)的壓力分布Fig. 16 Pressure distribution under conditions ofB0=1 T,u0=1 m/s and ΔV=5 V

圖17 B0=1 T、u0=1 m/s、ΔV=5 V時(shí)的電位能分布Fig. 17 Potentials distribution under conditions ofB0=1 T,u0=1 m/s and ΔV=5 V

圖 18 B0=1 T、u0=1 m/s、ΔV=5 V時(shí)的速度場(chǎng)矢量圖Fig. 18 Velocity vector under conditions ofB0=1 T,u0=1 m/s and ΔV=5 V

圖19 B0=1 T、u0=1 m/s、ΔV=20 V時(shí)的速度場(chǎng)分布Fig. 19 Velocity distribution under conditions ofB0=1 T,u0=1 m/s and ΔV=20 V

圖20 B0=1 T、u0=1 m/s、ΔV=20 V時(shí)的壓力分布Fig. 20 Pressure distribution under conditions ofB0=1 T,u0=1 m/s and ΔV=20 V

圖21 B0=1 T、u0=1 m/s、ΔV=20 V時(shí)的電位能分布Fig. 21 Potentials distribution under conditions ofB0=1 T,u0=1 m/s and ΔV=20 V

圖22 B0=1 T、u0=1 m/s、ΔV=20 V時(shí)的速度場(chǎng)矢量圖Fig. 22 Velocity vector under conditions ofB0=1 T,u0=1 m/s and ΔV=20 V

由圖2、圖15、圖19可以看到，對(duì)于相同的外加磁場(chǎng)和入口速度，兩極板電壓差越大，導(dǎo)電流體運(yùn)動(dòng)改變得越大，所受到的電磁力也就越大。

3 結(jié) 論

導(dǎo)電流體在兩電極板間流動(dòng)時(shí)會(huì)受到電磁力的作用，電磁力對(duì)導(dǎo)電流體運(yùn)動(dòng)的影響與導(dǎo)電流體的入口速度、外加磁場(chǎng)和兩極板間的電壓差有關(guān)。入口速度越大，受電磁力影響越小；外加磁場(chǎng)和極板電壓差越大，電磁力越大。另外，導(dǎo)電流體在兩電極板間流動(dòng)時(shí)，在靠近下電極板的地方，由于磁場(chǎng)的梯度很大，并且電極板存在漏電現(xiàn)象，使得在電極板的附近會(huì)出現(xiàn)端部效應(yīng)。端部效應(yīng)會(huì)影響極板中導(dǎo)電流體的電場(chǎng)和流場(chǎng)分布，在極板附近形成回流，不利于導(dǎo)電流體在極板間的流動(dòng)，從而影響磁流體發(fā)電機(jī)的發(fā)電效率。在實(shí)際磁流體發(fā)電機(jī)的應(yīng)用中，要想辦法消除或減小端部效應(yīng)的影響，本文的后續(xù)工作也將沿著這個(gè)方向展開。

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The Effect of Electromagnetic Force on Conducting Fluid Flowing in 2D

LIU Yang1,2, YOU Ya-ge1, YE Yin1, CAO Xue-ling1,2
(1.Guangzhou Institute of Energy Conversion, Chinese Academy of Sciences, Guangzhou 510640, China; 2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

Conducting fluid flowing through the electromagnetic field can generate a force called electromagnetic force. The electromagnetic force can change the flow of conducting fluid. This paper models and simulates the incompressible, viscous, conducting fluid flowing with different applied conditions. The numerical results show that: (1) The electromagnetic force is related to the applied electric and magnetic field. The electromagnetic force will be varied when the applied electric and magnetic field are different. Specifically, for the flowing between two electrode plates where the applied magnetic field is perpendicular to, the electromagnetic force increases with the increase of the applied electric and magnetic field. While when the inlet velocity becomes higher, the influence of electromagnetic force will become smaller. (2)The phenomenon of edge effect near the electrodes will affect the conducting fluid flow.

electromagnetic field; conducting fluid; electromagnetic force; flow in 2D

TK7

A

10.3969/j.issn.2095-560X.2014.03.010

2095-560X（2014）03-0226-07

劉 洋（1985-），女，博士研究生，主要從事基于液態(tài)金屬磁流體的波浪能發(fā)電裝置的研究。

游亞戈（1956-），男，研究員，主要從事波浪理論、聚波理論及波能轉(zhuǎn)換的水動(dòng)力學(xué)，非線性隨機(jī)波浪運(yùn)動(dòng)、能量傳遞及收集和波能裝置的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。

葉 寅（1986-），男，研究助理，主要從事海洋波浪能量轉(zhuǎn)換研究。

曹雪玲（1987-），女，博士研究生，主要從事李群法在微分方程中的應(yīng)用。

2014-03-30

2014-05-08

國(guó)家海洋可再生能源專項(xiàng)資金項(xiàng)目（GHME2013ZB01）

? 通信作者：游亞戈，E-mail：youyg@ms.giec.ac.cn.