趙旭龍 王偉

摘 要：在這篇文章中，假定市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)狀態(tài)由一個(gè)兩狀態(tài)馬爾可夫鏈描述，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)滿足一個(gè)兩狀態(tài)的馬爾可夫調(diào)制過(guò)程。當(dāng)市場(chǎng)處于高波動(dòng)狀態(tài)時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格滿足跳擴(kuò)散過(guò)程；當(dāng)市場(chǎng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng).通過(guò)測(cè)度變換的技術(shù)，得到了交換期權(quán)的定價(jià)公式。最后，利用蒙特卡洛方法給出了期權(quán)價(jià)值的數(shù)值結(jié)果。

關(guān)鍵詞：馬爾可夫；期權(quán)定價(jià)；蒙特卡洛模擬

中圖分類號(hào)：F830 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2014）10-0120-04

引言

馬爾可夫調(diào)制模型是近年來(lái)非常受歡迎的一種金融模型，國(guó)內(nèi)外大量學(xué)者將其應(yīng)用到金融的多個(gè)領(lǐng)域當(dāng)中，并取得了豐碩的研究成果。有關(guān)馬爾可夫調(diào)制模型下資產(chǎn)定價(jià)方面，Guo [1]考慮了當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足馬爾可夫調(diào)制的幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)歐式期權(quán)定價(jià)題。Guo [2]得到了在馬爾可夫調(diào)制模型下美式期權(quán)的定價(jià)公式。Siu [3]研究了當(dāng)市場(chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿足馬爾可夫調(diào)制的幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，嵌入退保期權(quán)的分紅保單的價(jià)值。Boyle和Draviam [4]研究了馬爾可夫調(diào)制的幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)奇異期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。Bo et al[5]研究了馬爾可夫調(diào)制的跳擴(kuò)散模型下外匯期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。Wang和Wang[6]研究了馬爾可夫調(diào)制模型下歐式脆弱期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。在這篇文章中我們考慮一個(gè)兩狀態(tài)馬爾可夫調(diào)制模型，市場(chǎng)狀態(tài)由一連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈描述，假定市場(chǎng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，股票價(jià)格滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)；而當(dāng)市場(chǎng)處于高波動(dòng)狀態(tài)時(shí)，股票價(jià)格服從跳擴(kuò)散過(guò)程。從文中的數(shù)值結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)市場(chǎng)的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)對(duì)期權(quán)價(jià)值有著很大的影響，因此我們考慮的問(wèn)題是有意義的。

三、數(shù)值模擬

馬爾可夫調(diào)制的跳擴(kuò)散模型下交換期權(quán)的價(jià)值比在Black-Scholes模型下的價(jià)值大，這說(shuō)明了跳風(fēng)險(xiǎn)對(duì)期權(quán)價(jià)值有著很大的影響，在金融模型中忽略了跳風(fēng)險(xiǎn)的存在可能會(huì)嚴(yán)重低估期權(quán)的價(jià)值。

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Pricing Exchange Options Under a Markov-modulated Model

ZHAO XU-long，WANG Wei

（Department of Financial Engineer，Ningbo University，Ningbo 315211，China）

Abstract：In this paper，we suppose that the states of market economy are described by a two-state Markov chain，and the risky asset follows a two-state Markov-modulated process.The risky asset price is driven by a Markov-modulated geometric Brownian motion when the market is stable，but the risky asset follows a jump diffusion process if the market is at a high volatility state.We obtain the pricing formula of a exchange option by measure change.Finally，the result of illustration is provided by Monte Carlo simulation technique.

Key words：Markov；option pricing；Monte Carlo simulation

[責(zé)任編輯 吳明宇]