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        簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)與音樂(lè)的聯(lián)系及其可視化

        2014-06-29 09:02:26徐富清
        物理通報(bào) 2014年4期
        關(guān)鍵詞:單擺音程振幅

        徐富清

        (揚(yáng)州市邗江區(qū)公道中學(xué) 江蘇 揚(yáng)州 2251 19 )

        兩年前,講完簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)一章后,無(wú)意中向?qū)W生展示了幾幅李薩如圖形,告訴他們簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)與音樂(lè)有深深的聯(lián)系,且這里的李薩如圖形是由兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的結(jié)果.頓時(shí)學(xué)生紛紛提出問(wèn)題,為什么幾個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)就會(huì)合成一個(gè)個(gè)漂亮的圖形?這種圖形還有哪些表現(xiàn)?音樂(lè)怎樣通過(guò)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)出來(lái)……

        事后查閱了大量資料,發(fā)現(xiàn)有兩種典型的諧振儀,分別是橫向式諧振儀和轉(zhuǎn)動(dòng)式諧振儀,可以將幾個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成李薩如圖形,然后,使用MATLAB工具就可將音樂(lè)與李薩如圖形的關(guān)系以可視化的方式表現(xiàn)出來(lái).

        首先,通過(guò)振動(dòng)了解音樂(lè),了解單擺的頻率與音程之間的關(guān)系.

        1 泛音與音程

        1.1 彈撥琴弦

        仔細(xì)聆聽(tīng),你聽(tīng)到的不只是基礎(chǔ)音(主調(diào)音),還會(huì)聽(tīng)到多重和聲,也就是泛音.如圖1呈現(xiàn)了前5個(gè)泛音,藍(lán)、綠點(diǎn)是琴弦振動(dòng)的波節(jié).

        圖1

        1.2 琴弦上各音程的位置

        根據(jù)振動(dòng)的知識(shí),當(dāng)音的頻率比呈簡(jiǎn)單整數(shù)關(guān)系時(shí),就會(huì)產(chǎn)生悅耳的和聲.圖2是一根琴弦上各音程的位置.以“第二音程,五度 ——3∶2”為例,當(dāng)琴弦振動(dòng)時(shí),用手按住A點(diǎn)(圖2),A點(diǎn)右側(cè)部分的弦長(zhǎng)占整個(gè)弦長(zhǎng)的,那么就形成“第二音程,五度”.

        圖2 一根琴弦各音程的位置

        2 音程與單擺的頻率

        由于不同音樂(lè)家演唱的聲音頻率是不同的,但他們每個(gè)人在整首曲子中聲音的音階比是不變的,那么,表現(xiàn)樂(lè)音的最佳方法就是將樂(lè)音的頻率降低10 ~100 倍,這樣,通過(guò)單擺的振動(dòng),以肉眼就能“看到”音樂(lè)了.

        簡(jiǎn)單的諧振儀使用兩個(gè)擺來(lái)代表和聲,其中一個(gè)擺錘放到最低位置,另一個(gè)擺錘的位置則依特定的比率設(shè)置.表1給出了單擺的頻率與音程之間的關(guān)系.

        表1 單擺的頻率與音程的關(guān)系

        3 兩種諧振儀和MATLAB工具

        3.1 橫向式諧振儀

        如圖3所示,這種諧振儀有2個(gè)擺,分別經(jīng)由洞孔懸于臺(tái)面下方,它們的擺動(dòng)方向彼此垂直.兩個(gè)擺的柄都突出臺(tái)面,其中一個(gè)擺錘的柄上裝了個(gè)平臺(tái),上面夾著一張紙,另一個(gè)擺的柄上則裝了一支帶筆的筆桿.

        圖3 橫向諧振儀

        兩個(gè)擺錘擺動(dòng)時(shí),筆就會(huì)描繪出兩者合成運(yùn)動(dòng)的結(jié)果.剛開(kāi)始時(shí)兩擺長(zhǎng)度相等,接著縮短其中一擺的長(zhǎng)度,如此就可以依次呈現(xiàn)出各種和聲的頻率比.

        3.2 轉(zhuǎn)動(dòng)式諧振儀

        如圖4所示,這種諧振儀有3個(gè)擺,由于兩側(cè)的兩個(gè)擺的擺動(dòng)方向彼此垂直且振幅相等,二者的合運(yùn)動(dòng)是一個(gè)圓周,而中間擺做的是圓周運(yùn)動(dòng),因此三者的合運(yùn)動(dòng)是2個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)的結(jié)合.

        圖4 轉(zhuǎn)動(dòng)式諧振儀

        3.3 MATLAB工具描述

        MATLAB是一款功能非常強(qiáng)大的軟件,在其具有的眾多優(yōu)點(diǎn)中比較突出的,是以可視化的方式將計(jì)算結(jié)果快速、準(zhǔn)確地用圖形的方式形象、直觀地描繪出來(lái).本文就使用MATLAB軟件將兩個(gè)單擺的復(fù)合運(yùn)動(dòng)以可視化方式表達(dá)音樂(lè).

        4 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)與音樂(lè)的可視化

        4.1 橫向式諧振儀中的音樂(lè)可視化

        (1)橫向八度 ——2∶1

        若一擺的頻率是另一個(gè)的2倍,并且兩者的擺動(dòng)方向呈直角,這時(shí)的八度就會(huì)繪出數(shù)字8的形狀,且相位差不同時(shí)得到的結(jié)果也不同,如圖5,圖6.如果讓兩擺不斷反復(fù),振幅隨著擺動(dòng)的減弱而減小,得到的結(jié)果如圖7所示.

        圖5 相位差是

        圖6 相位差是

        圖7 振幅減小,相位差是

        (2)橫向四度 ——4∶3

        若兩單擺振動(dòng)的頻率之比是4∶3,并且兩者的擺動(dòng)方向呈直角,相位差不同時(shí)得到的結(jié)果也不同,如圖8~10 所示.

        圖8 相位差是

        圖9 相位差是

        圖10 相位差是

        (3)橫向大三度 ——5∶4

        若兩單擺振動(dòng)的頻率之比是5∶4,并且兩者的擺動(dòng)方向呈直角,相位差不同時(shí)得到的結(jié)果也不同,如圖11 ~13 所示.

        圖11 相位差是

        圖12 相位差是

        圖13 相位差是

        顯然,合成運(yùn)動(dòng)的圖形不僅與振動(dòng)頻率有關(guān),而且相位差不同時(shí),結(jié)果也不相同.橫向式諧振儀表現(xiàn)圖形相對(duì)簡(jiǎn)單、單調(diào).但是轉(zhuǎn)動(dòng)式諧振儀表現(xiàn)出的圖形就雅致而令人驚奇.

        4.2 轉(zhuǎn)動(dòng)式諧振儀中的音樂(lè)可視化

        (1)旋轉(zhuǎn)八度 ——2∶1

        這時(shí)兩擺的運(yùn)動(dòng)情形是兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)的結(jié)合,其中一個(gè)擺的速率剛好是另一個(gè)的2倍.筆者發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩擺振幅相等,且同相位或相位差為π時(shí),分別呈現(xiàn)出心形、三葉草形狀,如圖14 ,15 所示;當(dāng)兩擺振幅不相等且相位差為π時(shí),呈現(xiàn)為三角形,如圖16 所示.

        圖14 心形,同相位

        圖15 三葉草,相位差π

        圖16 三角形,振幅不相等,相位差π

        (2)旋轉(zhuǎn)五度 ——3∶2

        若兩擺圓周運(yùn)動(dòng)的速率之比是3∶2,當(dāng)兩圓周運(yùn)動(dòng)振幅相等,相位差為π,不斷反復(fù)且振幅隨著擺動(dòng)的減弱而減小時(shí),呈現(xiàn)出五葉草形,如圖18 所示;兩圓周運(yùn)動(dòng)振幅不相等,相位差為π,振幅隨著擺動(dòng)的減弱而減小時(shí),呈現(xiàn)出五角星,如圖19 所示.

        圖17 同相位

        圖18 五葉草,振幅減小,相位差是π

        圖19 五角星,振幅不相等,相位差是π

        (3)旋轉(zhuǎn)大三度 ——5∶4

        若兩擺圓周運(yùn)動(dòng)同相位,速率之比分別是5∶4和5∶1,合成運(yùn)動(dòng)的結(jié)果分別如圖20 和圖22 所示,它們表現(xiàn)出奇異而與眾不同的特質(zhì).

        圖20 同相位

        圖21 振幅不相等,相位差π

        圖22 頻率5∶1,同相位

        5 小結(jié)

        如果將MATLAB程序中的參數(shù)略微改變一些,比如,改變簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率、相位、振幅等,筆者發(fā)現(xiàn)很多有趣的圖形,有時(shí)令人感到有些不可思議,比如下面2例.

        (1)略微改變頻率,產(chǎn)生“拍”的現(xiàn)象.如圖23 所示,這個(gè)形狀就是從天王星上觀察到的海王星運(yùn)行軌跡,這是因?yàn)檫@兩顆行星都是同向繞日運(yùn)行,天王星的周期為84 年,海王星則為165 年,大致相當(dāng)于一個(gè)八度.

        圖23 不同頻率

        (2)就旋轉(zhuǎn)圖形而言,振幅比“相位”更重要,相位僅僅影響到頁(yè)面整個(gè)構(gòu)圖的放置方向.如圖24 和圖25 所示,這兩圖都是音階十一度(頻率8∶3),圖24 兩個(gè)單擺的振幅是相同的,圖25 兩單擺的振幅是不同的,且在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中它們的振幅逐漸減?。?/p>

        圖24 振幅相同

        圖25 振幅不同

        6 結(jié)束語(yǔ)

        上學(xué)期,筆者將所發(fā)現(xiàn)的音樂(lè)與李薩如圖形之間的關(guān)系一一展示給學(xué)生欣賞,目的是培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng),激發(fā)他們的想象,知道物理學(xué)不是單調(diào)枯燥的,關(guān)鍵是以怎樣的方式表達(dá).這要求教師在教學(xué)過(guò)程中要以一種超前的戰(zhàn)略眼光,培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的科學(xué)精神,以開(kāi)放的思維、大膽的設(shè)想提出自己的見(jiàn)解.在課堂教學(xué)中提倡以一種活潑而靈動(dòng)的、寓教于樂(lè)的方式傳輸知識(shí),某個(gè)時(shí)候,師生的關(guān)系會(huì)在某個(gè)點(diǎn)上能夠產(chǎn)生“共鳴”.

        1 (英)安東尼·艾希頓著.諧振儀——音樂(lè)數(shù)學(xué)原理的可視化向?qū)ВR俊杰譯.長(zhǎng)沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社,2012

        2 鐘季康,鮑鴻吉.大學(xué)物理習(xí)題計(jì)算機(jī)解法——MATLAB編程應(yīng)用.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2008

        3 彭芳麟.?dāng)?shù)學(xué)物理方程的MA TA L B解法與可視化.北京:清華大學(xué)出版社,2004

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