解朋飛 侯興盛 梁密濤

（解放軍理工大學(xué)指揮軍官基礎(chǔ)教育學(xué)院 江蘇 南京 2111 01 ）

1 引言

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量，一般都是使剛體以一定的形式轉(zhuǎn)動(dòng)，通過表征這種運(yùn)動(dòng)的物理量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系，進(jìn)行間接測(cè)量．目前大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，常用扭擺法測(cè)定剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其中需要首先測(cè)出扭擺儀的彈簧扭轉(zhuǎn)常量，再將這一常數(shù)作為定值代入剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系式，計(jì)算得到不同剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．而實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，不同的初始扭轉(zhuǎn)角度測(cè)得的彈簧扭轉(zhuǎn)常量并不相同，尤其是在扭轉(zhuǎn)角度較小時(shí)非常明顯，這就會(huì)造成間接測(cè)量得到的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量誤差較大，因此，研究彈簧扭轉(zhuǎn)常量隨初始扭轉(zhuǎn)角度變化的規(guī)律很有必要．

2 實(shí)驗(yàn)原理［1～4］

2．1 扭擺法測(cè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的原理

薄片狀螺旋彈簧是扭擺儀的核心部件，彈簧扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的回復(fù)力矩M與所轉(zhuǎn)過的角位移成正比，且方向相反，即

式中K為彈簧的扭轉(zhuǎn)常量．根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律

在忽略摩擦力矩的情況下

令ω2＝，則式（3）變?yōu)?/p>

式（4）是一個(gè)典型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程，其解為

式中A為振動(dòng)的角振幅，φ為初相位，ω為圓頻率，則此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期為

2．2 彈簧扭轉(zhuǎn)常量的測(cè)定方法

首先測(cè)定載物圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)周期T0，然后，在載物圓盤上放置轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J′1已知的剛體（如塑料圓柱等），用同樣的方法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)周期T1．由式（6）得

可以得到

3 實(shí)驗(yàn)裝置與方法

3．1 實(shí)驗(yàn)裝置

本文研究實(shí)驗(yàn)所用儀器與測(cè)定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)的儀器基本相同，主要有扭擺儀（圖1）、周期測(cè)定儀（圖2）、游標(biāo)卡尺、電子天平和鋼尺等，所用剛體有載物圓盤、塑料圓柱、金屬圓筒和金屬細(xì)桿4種．

圖1 扭擺儀

圖2 周期測(cè)定儀

為了在實(shí)驗(yàn)中能夠準(zhǔn)確標(biāo)定初始扭轉(zhuǎn)角度，筆者將扭擺儀進(jìn)行了改進(jìn)，加裝了自制的紙板量角儀與相配套的標(biāo)定指針．將量角儀的中心打孔，套進(jìn)轉(zhuǎn)軸并固定在基座上，配套指針固定在轉(zhuǎn)軸上，能夠記錄轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度．周期測(cè)定儀如圖2所示，由主機(jī)和光電門兩部分組成，光電門采用的是紅外發(fā)射和接收管，本周期測(cè)定儀的計(jì)時(shí)精度為0．001 s．

3．2 實(shí)驗(yàn)方法

（1）用電子天平稱量塑料圓柱、金屬圓筒和金屬細(xì)桿的質(zhì)量，用游標(biāo)卡尺及鋼尺測(cè)量各個(gè)剛體的幾何尺寸，計(jì)算出每個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值．

（2）自制紙板量角儀，穩(wěn)固在扭擺儀轉(zhuǎn)軸上，用周期測(cè)定儀測(cè)出不同剛體在不同初始扭轉(zhuǎn)角度時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期T0，從20 °～180 °，每隔10 °進(jìn)行一次測(cè)量，每個(gè)角度測(cè)三次，并且分彈簧左旋和右旋兩個(gè)不同轉(zhuǎn)動(dòng)方向，記錄周期值．

（3）根據(jù)公式，求出不同剛體在不同初始角度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)測(cè)得的彈簧扭轉(zhuǎn)常量，并將得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較處理．

4 數(shù)據(jù)處理與結(jié)論

以塑料圓柱為例，塑料圓柱的質(zhì)量m1＝712 g，直徑D1＝10 ．000 c m，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值為

載物圓盤轉(zhuǎn)到不同角度，對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)周期T0，再將塑料圓柱放置在載物圓盤上，測(cè)量不同轉(zhuǎn)動(dòng)周期T1，通過計(jì)算得到不同初始扭轉(zhuǎn)角度所對(duì)應(yīng)的扭轉(zhuǎn)常量K．表1是將塑料圓柱放置載物圓盤上，將彈簧扭松時(shí)得到的數(shù)據(jù)．

表1 扭轉(zhuǎn)常量與初始角度的關(guān)系（塑料圓柱）

由表1可知，在相同轉(zhuǎn)動(dòng)方向下，初始扭轉(zhuǎn)角度從20 °增大到180 °過程中，空載物圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)周期從0．845 s逐漸增大至0．856 s，加上塑料圓柱后，其轉(zhuǎn)動(dòng)周期從1．352 s增大至1．399 s．也就是說，兩種剛體轉(zhuǎn)動(dòng)周期都隨著初始扭轉(zhuǎn)角度的增大而增大．這樣，計(jì)算得到的螺旋彈簧的扭轉(zhuǎn)常量隨初始扭轉(zhuǎn)角度的增加而減小，即從1．920 ×10－2N·m減小到1．816 ×10－2N·m．

在本實(shí)驗(yàn)中計(jì)算其他剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，需要將由此得到的彈簧扭轉(zhuǎn)常量代入公式而得到．如果在其他剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，沒有考慮初始角度因素的影響，就會(huì)造成代入公式的扭轉(zhuǎn)常量與被測(cè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的扭轉(zhuǎn)常量不完全一致，由此就增大了實(shí)驗(yàn)誤差．因此，本實(shí)驗(yàn)應(yīng)該考慮初始角度不同帶來的誤差．為了減小實(shí)驗(yàn)誤差，應(yīng)使得每次測(cè)量時(shí)的初始扭轉(zhuǎn)角度盡量保持一致．

在本實(shí)驗(yàn)中，筆者還用其他幾種不同的剛體（金屬圓筒和金屬細(xì)桿）進(jìn)一步進(jìn)行驗(yàn)證，都得到了相同的結(jié)論，并發(fā)現(xiàn)初始角度在60 °～100 °之間時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)周期和扭轉(zhuǎn)常量K浮動(dòng)較小，如圖3，4所示．

圖3 扭轉(zhuǎn)常量與初始扭轉(zhuǎn)角度的關(guān)系（金屬圓筒）

圖4 扭轉(zhuǎn)常量與初始扭轉(zhuǎn)角度的關(guān)系（金屬細(xì)桿）

為了進(jìn)一步探究扭轉(zhuǎn)常量與初始扭轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，筆者做了彈簧扭緊和扭松兩種情況下，不同剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)周期隨初始角度的變化關(guān)系．圖3，4提供了兩組不同剛體（金屬圓筒與金屬細(xì)桿）測(cè)得的扭轉(zhuǎn)常量與初始扭轉(zhuǎn)角度的關(guān)系圖（圖中“左”代表彈簧扭松，“右”代表彈簧扭緊）．

由圖3，4可以看到，不管是金屬圓筒還是金屬細(xì)桿，在不同的扭轉(zhuǎn)方向上得到的兩條K值曲線不完全重合，并且在角度較小時(shí)，正反扭轉(zhuǎn)方向上的K值差異較大，隨著角度的增加，兩個(gè)方向上的K值逐漸接近，當(dāng)扭轉(zhuǎn)角度在60 °～100 °之間時(shí)，K值趨于重合．

也就是說，要減小實(shí)驗(yàn)誤差，實(shí)驗(yàn)中需要考慮因彈簧在不同方向扭轉(zhuǎn)而引起的誤差，最好使初始角度大于50 °，在60 °～100 °范圍內(nèi)選取較為合適，并且盡量保持每次轉(zhuǎn)動(dòng)方向、初始轉(zhuǎn)動(dòng)角度與測(cè)定彈簧扭轉(zhuǎn)常量時(shí)一致．三種不同剛體得到的最佳實(shí)驗(yàn)角度范圍相同，可以將此結(jié)論推廣到其他剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，使實(shí)驗(yàn)結(jié)果更加準(zhǔn)確．

另外，筆者發(fā)現(xiàn)用不同剛體測(cè)得扭轉(zhuǎn)常量不盡相同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大的剛體測(cè)得的扭轉(zhuǎn)常量也較大，這個(gè)問題留待以后深入探究．

5 結(jié)束語

本文利用三種不同剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，通過改變彈簧的初始扭轉(zhuǎn)角度及扭轉(zhuǎn)方向，對(duì)彈簧的扭轉(zhuǎn)常量進(jìn)行了測(cè)量．從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得到，彈簧的扭轉(zhuǎn)常量隨著扭轉(zhuǎn)角度的增加而減小，并且彈簧扭緊和扭松兩種情況下是非對(duì)稱的，在初始角度較小時(shí)，兩個(gè)不同扭轉(zhuǎn)方向測(cè)得的扭轉(zhuǎn)常量差異較大，在60 °～100 °的范圍內(nèi)趨于重合．因此，為了減小實(shí)驗(yàn)誤差，在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)定實(shí)驗(yàn)過程中，應(yīng)保持彈簧的扭轉(zhuǎn)方向和初始角度不變，并使初始角度保持在60 °～100 °之間．本文結(jié)論對(duì)優(yōu)化剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)定實(shí)驗(yàn)，減小實(shí)驗(yàn)誤差具有重要意義，此結(jié)論對(duì)其他類似力學(xué)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，如彈簧勁度系數(shù)的測(cè)量，摩擦因數(shù)的測(cè)量［5］等也具有較好的借鑒意義．

本研究課題得到了解放軍理工大學(xué)理學(xué)院物理實(shí)驗(yàn)中心的大力支持以及指導(dǎo)教師馬書云講師的無私幫助，在此表示衷心的感謝！

1 白忠，李延標(biāo)，林上金．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn) ．北京：高等教育出版社，2012

2 王麗香，張兵．扭擺法轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試儀中彈簧扭轉(zhuǎn)常量的測(cè)定．全國(guó)高等學(xué)校物理基礎(chǔ)課程教育學(xué)術(shù)研討會(huì)論文集．北京，2009

3 鄧金祥，劉國(guó)慶，等．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)．北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，2005

4 劉東華，于勉，王艷文．物理學(xué)實(shí)驗(yàn)教程．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012

5 常帥，陳駿逸．鋼絲的切變模量與扭轉(zhuǎn)角度關(guān)系．物理實(shí)驗(yàn)，2006 ，26 （6）