柏 楊

（揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué) 江蘇 揚(yáng)州 2250 02 ）

1 問題的提出

高中物理“萬有引力定律”一節(jié)中，通過對牛頓研究的介紹，向?qū)W生呈現(xiàn)了萬有引力定律的內(nèi)容，并特別指出，公式中r為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離，對于質(zhì)量分布均勻的球體，r為兩個(gè)球體球心之間的距離．為什么處理一個(gè)均質(zhì)球?qū)η蛲赓|(zhì)點(diǎn)的吸引作用時(shí)，可以將球的質(zhì)量集中在它的球心來處理呢？

2 問題的證明

設(shè)一密度均勻的球殼，它的厚度t比其半徑r小得多，如圖1所示．那么，對球殼外一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P的引力是多少？

假設(shè)球殼上每一很小部分對質(zhì)點(diǎn)P的作用力為Fi，根據(jù)萬有引力定律，該力的大小應(yīng)與球殼每一小部分的質(zhì)量成正比，而與它和質(zhì)點(diǎn)P之間距離的平方成反比，方向沿著它們之間的連線．然后，求得球殼上所有部分對質(zhì)點(diǎn)P的合力，即為該均質(zhì)球?qū)|(zhì)點(diǎn)P的作用力．

圖1

設(shè)在A點(diǎn)處球殼的一小部分對質(zhì)點(diǎn)P的引力為F1，而在球殼上離質(zhì)點(diǎn)P同樣遠(yuǎn)但位于和A點(diǎn)對稱的B點(diǎn)處同樣質(zhì)量的一小部分對質(zhì)點(diǎn)P的引力為F2，這兩個(gè)力的合力為F1＋F2．由對稱性可知，這兩個(gè)力垂直O(jiān) P方向的分量彼此抵消，而水平分量F1cosα與F2cosα相等．通過把球分為像這樣一對一對的小塊，可以看出，所有作用在質(zhì)點(diǎn)P上力的垂直O(jiān) P方向的分量都成對相互抵消了，則球殼對質(zhì)點(diǎn)P的合引力只需考慮水平分量即可．

在球殼上取dS的一條圓帶形狀的質(zhì)量元．此圓帶長為2 π（rsinθ），寬為rdθ，厚為t．那么其體積為

dV ＝2 πt r2sinθdθ

設(shè)球殼密度為ρ，則圓帶的質(zhì)量為

d M ＝ρdV ＝2 πtρr2sinθdθ

即M ＝4 πtρr2

圓帶對質(zhì)點(diǎn)P所施的力是水平的，其值為

由圖1可以看出

根據(jù)余弦定理

故有

將式（3）微分，得

2xdx＝2R rsinθdθ

即

將式（4）代入式（2），再將式（2）與式（5）代入式（1），從而消去θ與α，得

這就是圓帶dS作用于質(zhì)點(diǎn)P上的引力．

考慮球殼上每一質(zhì)量元，即將式（6）對整個(gè)球殼所有圓帶求和．這種求和是對變量x求出遍及整個(gè)球殼的積分．因?yàn)閤的范圍是從最小值R－r到最大值R＋r，所以

故合力為

式中M為球殼的總質(zhì)量．這個(gè)結(jié)果和假設(shè)質(zhì)量為M與m的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相距R時(shí)所求得的引力結(jié)果完全相同．即一密度均勻的球殼對球殼外一質(zhì)點(diǎn)的引力猶如它的所有質(zhì)量都集中于其球心時(shí)的引力．

一個(gè)實(shí)心球體可當(dāng)作由大量同心球殼所構(gòu)成．如果各層球殼具有不同密度，但每一球殼都具有均勻密度，則同樣的結(jié)論也適用于這種實(shí)心球體．因此，對于像地球、月球或太陽在一定程度上也可視為這類球體的物體來說，討論它們吸引外部物體時(shí)，就可以把它們當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來處理．

應(yīng)該指出，上述的證明只適用于球體，且只適用于整個(gè)球體的密度不變或密度僅為半徑的函數(shù)的情況．

3 問題的推論

推論1：均質(zhì)球殼對內(nèi)部一質(zhì)點(diǎn)的引力為零．

證明：如圖2所示，因?yàn)橘|(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)位于球殼內(nèi)部，所以R小于r，積分限是從r－R到r＋R．

圖2

因?yàn)?/p>

所以 F＝0

這個(gè)結(jié)果，雖然不是顯而易見的，卻是合理的．因?yàn)榍驓ど咸幱趯ΨQ位置的質(zhì)量元對質(zhì)點(diǎn)所施的力具有相反的方向，而總的抵消作用則決定于這一事實(shí)，即力正好與質(zhì)點(diǎn)間的距離的平方成反比．據(jù)查，牛頓當(dāng)年的證明如下．

圖3

如圖3所示，設(shè)一質(zhì)點(diǎn)位于球殼內(nèi)任意一點(diǎn)P處．假設(shè)球殼厚度與密度都是均勻的．以P為頂點(diǎn)作兩個(gè)對頂小圓錐，在球殼面上所截的面積為dA1，dA2．設(shè)球殼的質(zhì)量面密度為σ，則截面dA1對P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的作用力為

式中的dΩ1為以P為頂點(diǎn)，向上開口的小圓錐的立體角．

同理，截面dA2對質(zhì)點(diǎn)的作用力為

f2＝G m σdΩ2

式中dΩ2為以P為頂點(diǎn)，向下開口的小圓錐的立體角．而dΩ1＝dΩ2，所以f1＝f2，兩截面對質(zhì)點(diǎn)的合力為

f＝f1－f2＝0

通過殼內(nèi)任意一點(diǎn)P作一平面把整個(gè)球殼分成兩部分，以P為頂點(diǎn)可以作許多對對頂?shù)男A錐（每對小圓錐處于平面的兩邊），而把兩半球殼表面分割．根據(jù)上述結(jié)果，每對對頂?shù)男A錐對P點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)的合引力為零，而平面兩側(cè)的球殼表面正好被這種對頂?shù)男A錐所分割，所以，整個(gè)球殼對殼內(nèi)任意一點(diǎn)P處的質(zhì)點(diǎn)的合引力為零．

推論2：如地球具有均勻密度，則在地球表面處g值為最大，而離開地球表面后，不論是向外還是向內(nèi)，g值都逐漸減?。?/p>

證明：假設(shè)地球具有均勻密度，則當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入地球內(nèi)部越深時(shí)，地球?qū)λ┑囊妥兊迷饺?，因?yàn)樵谫|(zhì)點(diǎn)所在位置以外的球殼所含的物質(zhì)對該質(zhì)點(diǎn)沒有作用力．當(dāng)質(zhì)點(diǎn)處在地球中心時(shí)，引力就變?yōu)榱悖虼耍绲厍蚓哂芯鶆蛎芏?，則在地球表面處g值為最大，而離開地球表面后，不論是向外還是向內(nèi)，g值都逐漸減?。?/p>

4 問題的應(yīng)用

【應(yīng)用1】如圖4所示，若能沿著地球直徑挖通一條穿過地球的隧道．

（1）證明落入隧道的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)．（這里忽略所有摩擦力并假設(shè)地球具有均勻密度）

（2）若通過這個(gè)隧道來傳遞郵件，那么，從一端投入而從另一端遞出需要多長時(shí)間？

（3）若使郵件沿著地球的某一直徑的隧道傳遞，試求郵件通過地心時(shí)的速率有多大？

圖4

解析：（1）離地球球心距離為r的一質(zhì)點(diǎn)所受地球引力完全來自該質(zhì)點(diǎn)位置以內(nèi)的球體中的物質(zhì)，外層球殼對該質(zhì)點(diǎn)沒有作用力．設(shè)地球密度是均勻的，其值為ρ，則在考慮引力作用時(shí)，半徑為r的球體內(nèi)的質(zhì)量可看作集中于地球球心，設(shè)為M′，則M′＝．因此，作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為

式中負(fù)號(hào)表示引力指向地球球心．將M′的表示式代入上式，得

（2）此簡諧運(yùn)動(dòng)的周期是

取ρ＝5．51 ×103k g／m3

G＝6．67 ×10－11N·m2／k g2

代入數(shù)據(jù)得

T ＝84 ．2m i n

傳遞時(shí)間為周期的一半，即約42 min．有意思的是，這個(gè)結(jié)論與以第一宇宙速度運(yùn)動(dòng)的結(jié)果一樣．

（3）質(zhì)量為m的郵件在距離地心為r處所受到的萬有引力為

式中的負(fù)號(hào)表示F與r方向相反，根據(jù)牛頓第二定律得

即

其中

上面方程的解為

r＝Rcos（ω t＋φ）

可見，地心為其平衡位置，做諧振動(dòng)的物體通過平衡位置時(shí)速率達(dá)到最大值，即

代入數(shù)據(jù)得

v＝7．9×103m／s

這個(gè)速度恰好是第一宇宙速度．

以上兩個(gè)恰好并非偶然，其實(shí)是物體以第一宇宙速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)在x軸上的投影．

【應(yīng)用2】如圖5所示，如穿過地球的隧道不是沿著直徑而是沿著一弦線．

（1）那么在這隧道內(nèi)，物體的運(yùn)動(dòng)仍是簡諧運(yùn)動(dòng)．這里假設(shè)地球密度是均勻的．

（2）試求周期．

（3）試問物體沿著這隧道運(yùn)動(dòng)的最大速率能否達(dá)到沿著直徑隧道運(yùn)動(dòng)的最大速率？

圖5

解析：（1）根據(jù)上例中所說的理由，質(zhì)量為m的物體在隧道內(nèi)距離地心為r處所受到的萬有引力的大小為

其中ρ為地球的平均密度．

F在y軸上的分量為

其中ω2＝πGρ，此式為簡諧運(yùn)動(dòng)的微分方程，因此，物體在隧道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)，且其圓頻率與物體在沿著直徑隧道運(yùn)動(dòng)時(shí)相同．

代入數(shù)據(jù)得

T＝84 min

（3）物體沿隧道做簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為

y＝y(tǒng)0cos（ω t＋φ）

式中y0為y的最大值，即隧道長度的一半．物體的運(yùn)動(dòng)速率為

物體的最大速率為y0ω，而物體沿著直徑隧道運(yùn)動(dòng)的最大速率為R ω，顯然y0ω＜R ω．所以，最大速率達(dá)不到沿著直徑隧道運(yùn)動(dòng)時(shí)的最大速率．

其實(shí)地球內(nèi)部g值隨深度而改變的情況是，在地核內(nèi)（離地面2900 k m以下）g的數(shù)值由10 ．37 m／s2單調(diào)地（非線性地）減小到零；離地面4000 k m以下，g的實(shí)際變化是不確知的．在地球內(nèi)部、地核外各處的g值變化不大，這說明，地核外的平均密度比地核的平均密度?。畬?shí)際情況是從地面到深度為33 k m處為地殼，平均密度為3．0g／c m3；深度從33 k m到2900 k m的范圍為地幔，平均密度為4．5 g／c m3．

1 （美）R·瑞斯尼克，D·哈里德 ．物理學(xué)（第一卷第二冊）．鄭永，等譯．北京：科學(xué)出版社，1985

2 彭大斌主編．物理競賽教程（第四版）．上海：華東師范大學(xué)出版社，2012