陳蓉珍,鄭 霞,周立芳

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院,浙江湖州 313000)

復(fù)單位球上加權(quán)Berezin變換的Lp范數(shù)*

陳蓉珍,鄭 霞,周立芳

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院,浙江湖州 313000)

借助超幾何函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合Schur檢驗給出了復(fù)單位球上加權(quán)Berezin變換的Lp范數(shù),推廣了Liu和Zhou的關(guān)于復(fù)單位球上Berezin變換的Lp范數(shù)的結(jié)果.

超幾何函數(shù);加權(quán)Berezin變換;Schur檢驗;算子范數(shù)

MSC(2000):47B38,32A26,47G10

0 引言

函數(shù)f的加權(quán)Berezin變換Bαf是聯(lián)系由函數(shù)f誘導(dǎo)的Toeplitz算子的協(xié)變與逆變特征的橋梁[2].它在Bergman空間上的Toeplitz算子理論中發(fā)揮了重要的作用[3～6].

本文的主要目的是給出加權(quán)Berezin變換在函數(shù)空間Lpα(Bn)上的精確范數(shù).由文獻[1]中的定理2.10知,當1＜p≤∞時,Bα是Lpα(Bn)上的有界算子,其中L∞α(Bn)為單位球Bn上所有本性有界可測函數(shù)構(gòu)成的全體.本文的主要定理為:

定理1 若1＜p≤∞,則加權(quán)Berezin變換Bα在Lpα(Bn)上的范數(shù)為:

當p=∞時,上面的式子理解為1.

Berezin變換是由Berezin首次引入的[7].對于單位圓盤上的Berezin變換,它的有界性是已知的事實[8],但它的精確范數(shù)直到2008年才由Dostani c'給出[9].文獻[10]把Dostani c'的結(jié)果是推廣到了高維,而本文的結(jié)果把文獻[10]中的結(jié)果推廣到了加權(quán)的情形.

1 預(yù)備知識

本文用到了超幾何函數(shù)的知識,并用經(jīng)典符號2F1(α,β;γ,z)表示超幾何函數(shù).其定義為:

然后應(yīng)用引理1即得所要結(jié)果.

下面的引理通常被稱作Schur檢驗,它在證明積分算子的Lp-有界性中起到了重要作用[12].

引理4[12]假設(shè)(X,μ)是一個σ-有限測度空間,K(x,y)是一個定義在X×X上的非負可測函數(shù), T是與其相關(guān)的積分算子,定義為:

2 定理1的證明

然后,結(jié)合(2)式得:

對上述不等式兩邊取極限,令ε→0+,得(10)式.因此(9)式～(10)式也蘊含著

[1]Zhu K.Spaces of holomorphic functions in the Unit Ball[M].New York:Springer,2005.

[2]Ali S T,Engli?M.Quantization methods:a guide for physicists and analysts[J].Rev Math Phy,2005,17(4):391-490.

[3]Ahern P.On the range of the Berezin transform[J].J Funct Anal,2004(215):206-216.

[4]Ahern P,Cuckovic Z.A theorem of Brown-Halmos type for Bergman space Toepliz operators[J].J Funct Anal,2001 (187):200-210.

[5]Zhou Z H,Chen W L,Dong X T.The Berezin transform and radial operators on the Bergman space of the unit ball[J].Complex Anal Oper Theory,2013,7(1):313-329.

[6]Korenblum B,Zhu K.An application of Tauberian theorems to Toeplitz operators[J].J Operator Theory,1995(33):353 -361.

[7]Berezin F A.Covariant and contravariant symbols of operators[J].Math USSR-Izv,1972(6):1 117-1 151.

[8]Hedenmalm H,Korenblum B,Zhu K.Theory of Bergman spaces[M].New York:Springer,2000.

[9]Dostani c'M.Norm of Berezin transform on Lpspace[J].J Anal Math,2008(104):13-23.

[10]Liu C W,Zhou L F.On the p norm of the Berezin transform[J].Illinois J Math,2012,56(2):497-505.

[11]Erdélyi A,Magnus W,Oberhettinger F,et al.Higher transcendental function[M].New York:Vol I McGraw-Hill, 1953.

[12]Zhu K.Operator theory in function spaces[M].Providence:2nd ed Amer Math Soc,2007.

The LpNorm of Weighted Berezin Transform on Complex Unit Ball

CHEN Rongzhen,ZHENG Xia,ZHOU Lifang
(School of Science,Huzhou University,Huzhou 313000,China)

The Lpnorm of weighted Berezin transform on complex unit ball is given by the property of hypergeometric functions and Schur’s test,which extends the Lpnorm of Berezin transform on complex unit ball given by Liu and Zhou.

hypergeometric function;the weighted Berezin transform;Schur’s test;operator norm

O174.56

A

1009-1734(2014)10-0025-05

[責(zé)任編輯 高俊娥]

2014-09-20

湖州師范學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項目(2013087);湖州師范學(xué)院科研項目成果(KX21058);浙江省自然科

學(xué)基金項目(LQ13A010005).

周立芳,講師,研究方向:函數(shù)空間與算子理論.E-mail:lfzhou@hutc.zj.cn

MSC 2000:47B38,32A26,47G10