郭海葉, 竇家維

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710062)

0 引言

眾所周知, 人類過(guò)度開(kāi)發(fā)是造成資源枯竭危機(jī)的重要原因, 可再生資源優(yōu)化管理問(wèn)題的研究直接關(guān)系到資源的可持續(xù)發(fā)展. 如何利用有限的可再生資源, 實(shí)現(xiàn)其可持續(xù)開(kāi)發(fā)和利用, 己成為經(jīng)濟(jì)管理學(xué)家及生態(tài)學(xué)家們普遍關(guān)注的重要問(wèn)題. 在文獻(xiàn)[1,2]中, 作者對(duì)可再生資源優(yōu)化管理的基本理論和方法進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述. 文獻(xiàn)[3-13]討論了各類可再生資源的優(yōu)化控制問(wèn)題, 其中文獻(xiàn)[3-7]研究Logistic模型的連續(xù)收獲及脈沖收獲問(wèn)題. 本文主要研究Gilpin-Ayala模型描述的種群系統(tǒng)的優(yōu)化控制問(wèn)題.

本文所研究的模型由下面的系統(tǒng)描述：

x′(t)=r(t)x(t)-m(t)xθ+1(t)-h(t)

(1)

其中r=r(t)表示種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率,θ>0為常數(shù),m(t)>0,m(t)xθ+1(t)項(xiàng)描述種群生長(zhǎng)的密度制約因素.h(t)≥0表示收獲函數(shù), 當(dāng)h(t)≡0時(shí), (1)式表示Gilpin-Ayala增長(zhǎng)模型,注意到,當(dāng)θ=1時(shí),(1)為古典的Logistic增長(zhǎng)模型,已有很多文獻(xiàn)對(duì)其進(jìn)行了研究.Gilpin-Ayala模型是Logistic模型的推廣,更加符合實(shí)際,研究也更加困難.文獻(xiàn)[14]研究了隨機(jī)Gilpin-Ayala競(jìng)爭(zhēng)模型的穩(wěn)定性,文獻(xiàn)[15]研究了具有時(shí)滯的Gilpin-Ayala系統(tǒng)概周期解的存在性, 文獻(xiàn)[16]對(duì)于自治的Gilpin-Ayala模型系統(tǒng)的最優(yōu)開(kāi)發(fā)問(wèn)題進(jìn)行了研究. 關(guān)于系統(tǒng)(1)的優(yōu)化控制問(wèn)題的研究結(jié)果還不多.本文主要對(duì)非自治Gilpin-Ayala模型在幾種收獲情形下的優(yōu)化控制策略進(jìn)行研究,研究結(jié)果推廣、改進(jìn)了文獻(xiàn)[16]及關(guān)于Logistic模型的一些相關(guān)結(jié)論.

1 周期Gilpin-Ayala系統(tǒng)的優(yōu)化收獲策略

本部分主要研究關(guān)于Gilpin-Ayala收獲系統(tǒng)的周期優(yōu)化控制問(wèn)題.這時(shí),系統(tǒng)表示為

x′(t)=r(t)x(t)-m(t)xθ+1(t)-E(t)x(t)

(2)

其中r(t),m(t)為連續(xù)可微的τ-周期函數(shù),E(t)≥0表示收獲努力量,假設(shè)E(t)為分段連續(xù)的τ-周期函數(shù).

1.1 周期解的存在性和穩(wěn)定性

關(guān)于系統(tǒng)(2),首先研究其周期解的存在性和穩(wěn)定性.

定理1記

則有下面結(jié)論:

(i)當(dāng)R≤0時(shí), 系統(tǒng)(2)的任一具有正初值的解, 當(dāng)t→∞時(shí)趨向于0;

(ii)當(dāng)R>0時(shí), 系統(tǒng)(2)存在唯一的全局漸近穩(wěn)定的正周期解.

證明:(i) 直接求解(2), 得到

(3)

由(3)可知, 當(dāng)R≤0,且x(0)>0時(shí), 有

因此, 對(duì)于所有具有正初值的解x(t),當(dāng)t→∞時(shí),x(t)→0,即種群趨于滅絕.

(ii)對(duì)系統(tǒng)(2)作變換, 令x=z-1/θ,得到非齊次線性方程

z′(t)=-θ[r(t)-E(t)]z(t)+θm(t)

(4)

設(shè)x(t)為系統(tǒng)(2)的任意一個(gè)給定的具有正初值的解, 則z(t)=x-θ(t)為(4)的解. 由于

則有

由于(4)的解zp(t)是全局漸近穩(wěn)定的, 根據(jù)上式可知(2)的正周期解xp(t)也是全局漸近穩(wěn)定的.證畢.

1.2 最優(yōu)收獲策略

下面討論系統(tǒng)(2)的最優(yōu)收獲問(wèn)題. 選取E(t)為控制變量,其允許集為由滿足下面條件的函數(shù)E(t)構(gòu)成的集合G:E(t)為分段連續(xù)的τ-周期非負(fù)函數(shù), 且E(t)的取值應(yīng)使系統(tǒng)(2)具有全局漸近穩(wěn)定的正周期解, 即要求E(t)滿足

(5)

控制目標(biāo)是要求在一個(gè)周期內(nèi)的總收獲量最大, 即目標(biāo)泛函設(shè)為

(6)

其中x(t)為系統(tǒng)(2)對(duì)應(yīng)于E(t)的唯一正周期解, 即有

x(0)=x(τ)

(7)

如果存在E*(t)∈G, 使得

(8)

則稱E*(t)是一個(gè)最優(yōu)收獲策略, 而對(duì)應(yīng)的周期解x*(t)稱為最優(yōu)軌線.

下面將利用極值原理求解優(yōu)化控制問(wèn)題(2), (6)～(8).

首先建立Hamilton函數(shù)為

H(x,E,λ,t)=E(t)x(t)+λ(t)·

[r(t)x(t)-m(t)xθ+1(t)-E(t)x(t)]

其中λ=λ(t)為協(xié)態(tài)變量.由極值原理知,如果E=E*(t)是一個(gè)最優(yōu)策略,x=x*(t)為對(duì)應(yīng)的最優(yōu)軌線, 則一定存在協(xié)態(tài)變量λ(t), 滿足

(9)

并且E=E*(t)要使得H(x,E,λ,t)取得最大值. 令

得到λ=1, 將其代入(9)式得到

(10)

進(jìn)一步將x(t)將代入(2)式得到

(11)

因此, 我們得到下面定理.

定理2如果下面條件

滿足,則優(yōu)化控制問(wèn)題(2),(6)～(8)存在最優(yōu)解. 其中最優(yōu)控制策略E*(t)和最優(yōu)軌線x*(t)分別由(11)及(10)給出. 這時(shí), 一個(gè)周期內(nèi)的最優(yōu)收獲量為

證明:由系統(tǒng)(2)右端函數(shù)的性質(zhì)及解關(guān)于初值及參數(shù)的連續(xù)依賴性可知優(yōu)化解一定存在,而定理的條件保證了E*(t)∈G,又由于(11)及(10)給出的E*(t)、x*(t)是滿足極值原理的唯一解,因此其為最優(yōu)解. 將其代入(6)式,即可得到最優(yōu)收獲量J(E*(t))的表達(dá)式.

定理1和定理2對(duì)文獻(xiàn)[16]的主要結(jié)論進(jìn)行了推廣.

1.3 自治Gilpin-Ayala系統(tǒng)的最優(yōu)持續(xù)收獲策略

作為周期系統(tǒng)的一個(gè)特殊情形, 考慮下面的自治Gilpin-Ayala收獲模型:

x′(t)=rx(t)-mxθ+1(t)-h(t)

(12)

其中r,m為正常數(shù).

如果以收獲函數(shù)h(t)作為控制變量, 以系統(tǒng)能獲取最大的持續(xù)產(chǎn)量為管理目標(biāo), 則由定理2 容易證明下面結(jié)論.

定理3如果r2m>(θ+1)/θ2成立, 對(duì)于系統(tǒng)(12), 最優(yōu)控制函數(shù), 即最優(yōu)收獲率h(t)為:

證明:在模型(12)中, 令h(t)=E(t)x(t),則(12)成為(2)的形式. 故由定理2, 這時(shí)最優(yōu)解為:

E(t)=EMSY=rθ/(θ+1)

x(t)=xMSY=(r/m(θ+1))1/θ

進(jìn)一步, 對(duì)于任意給定的時(shí)間區(qū)間[0,τ], 在該區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)處由上面最優(yōu)解所確定的收獲率, 即最優(yōu)收獲率為:

證畢.

我們注意到, 對(duì)于自治的Gilpin-Ayala系統(tǒng)(12), 將其作為周期系統(tǒng)(2)的特殊情形考慮(即h(t)=E(t)x(t))時(shí),所得到的最優(yōu)控制策略E(t)=EMSY及對(duì)應(yīng)的最優(yōu)軌線x(t)=xMSY均為常函數(shù),這時(shí),周期解x(t)=xMSY是系統(tǒng)的平衡解.當(dāng)θ=1,m=r/K時(shí), 定理3的結(jié)論推廣了[1,2]中關(guān)于Logistic模型的一些相關(guān)結(jié)果.

2 非自治Gilpin-Ayala系統(tǒng)的最大收獲量問(wèn)題

本部分考慮一類非自治的Gilpin-Ayala收獲系統(tǒng)的優(yōu)化控制問(wèn)題.

在t∈[0,τ]內(nèi)考慮下面初值問(wèn)題:

(13)

假設(shè)r≥0,m(t)>0,是連續(xù)可微函數(shù),收獲函數(shù)h(t)≥0分段連續(xù). 優(yōu)化控制問(wèn)題是:選擇控制變量h(t),使得在[0,τ]內(nèi), 由下式給出的總收獲量最大:

(14)

使得J(h(t))能取得最大值的收獲函數(shù)h=hM(t)及系統(tǒng)(13)相應(yīng)的解x=xM(t)稱為最優(yōu)解.

從下面的求解過(guò)程中可獲得控制問(wèn)題的最優(yōu)解及最大收獲量的具體表達(dá)式.

首先, 在t∈[0,τ]內(nèi)假設(shè)下面條件成立:

(15)

由于在t∈[0,τ]內(nèi), 種群增長(zhǎng)率為

g(x)=r(t)x(t)-m(t)xθ+1(t)

為使J(h(t))最大, 顯然應(yīng)該在每個(gè)時(shí)刻t∈[0,τ],保證g(x)盡量大.為此,對(duì)每個(gè)t∈[0,τ], 令

g′(x)=r(t)-(θ+1)m(t)xθ(t)=0

可得到

(16)

由于

g″(x)=-θ(θ+1)m(t)xθ-1(t)<0

(17)

這時(shí), 最大收獲量為

這時(shí), 最大收獲量為

x′(t)=r(t)x(t)-m(t)xθ+1(t),x(0)=x0

hM(t)=0,xM(t)=u(t),0≤t

這時(shí)對(duì)應(yīng)的最大收獲量為

如果不存在滿足上面性質(zhì)的t1, 則對(duì)于所有的t∈[0,τ],選取

hM(t)=0,xM(t)=u(t)

為最優(yōu)解, 這時(shí)最大收獲量為

YM=u(τ)

3 應(yīng)用舉例

3.1 考慮由下面模型描述的周期Gilpin-Ayala收獲系統(tǒng)(設(shè)周期τ=2)

x′(t)= (3+0.1sin(πt))x(t)-

0.85x3(t)-E(t)x(t)

(18)

假設(shè)目標(biāo)泛函為

(19)

由于在t∈[0,2]上,

定理2的條件滿足. 則由定理2可知, 使得目標(biāo)泛函(19)取得最大值的最優(yōu)軌線, 最優(yōu)策略和一個(gè)周期內(nèi)的最優(yōu)收獲量分別為:

3.2 考慮由下面模型描述的非自治Gilpin-Ayala收獲系統(tǒng)(設(shè)τ=1)

x′(t)=0.8x(t)-(t+1)x5(t)-h(t)

(20)

假設(shè)目標(biāo)泛函為

(21)

由于當(dāng)t∈[0,1]時(shí),

(i)當(dāng)x0=0.632 5時(shí), 最大收獲量為

0.468 6+0.531 8=1.000 4

(ii)當(dāng)x0=1時(shí), 最大收獲量為

1.000 4+1-0.632 5=1.367 9

0.287 0+0.531 8=0.818 8

因此, 該種情形下, 最大收獲量為

YM=u(1)=0.612 5

4 結(jié)論

本文研究了幾類非自治的Gilpin-Ayala收獲系統(tǒng)的最優(yōu)控制策略.首先利用微分系統(tǒng)的極值原理獲得了周期收獲系統(tǒng)的優(yōu)化控制策略,在定理2的條件成立時(shí)獲得了最優(yōu)控制策略及可持續(xù)的最優(yōu)收獲量的具體表達(dá)式.其次研究了一類在給定時(shí)間區(qū)間內(nèi),需要根據(jù)具體的初值條件確定其最大收獲量的收獲策略控制問(wèn)題.我們以保證該時(shí)間區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)處的增長(zhǎng)率最大為基礎(chǔ),在各種初值情況下分別獲得了最優(yōu)解和最大收獲量的具體表達(dá)式.由于本文所研究的模型比較廣泛,所用的研究方法和所獲得的結(jié)論對(duì)于資源管理者制定優(yōu)化管理決策提供了理論依據(jù), 具有重要的實(shí)際意義.

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