范 龍,翟國君,柴洪洲

1．海軍海洋測繪研究所,天津 300061;2．信息工程大學地理空間信息學院,河南鄭州 450052

模糊度降相關的整數分塊正交化算法

范 龍1,翟國君1,柴洪洲2

1．海軍海洋測繪研究所,天津 300061;2．信息工程大學地理空間信息學院,河南鄭州 450052

隨著模糊度實數解協方差矩陣維數的增加,由于取整運算舍入誤差的影響,LLL降相關算法的成功率低、降相關效果差。本文引入分塊正交的思想,設計了整數分塊Gram-Schmidt正交化算法,同時聯合LLL算法提出基于整數分塊正交化的LLL降相關算法(IBGS-LLL)。利用隨機模擬的方法分析不同維數下不同分塊方式的降相關效果,明確了不同模式下算法的分塊方式。基于模擬和實測的數據與改進的LLL算法進行比較,證明IBGS-LLL算法在模糊度協方差矩陣降相關方面具有更優(yōu)的效果和更高的成功率。

整周模糊度;LLL降相關;整數分塊Gram-Schmidt正交化

1 引 言

基于模糊度域[1-2]進行模糊度解算的方法中,由于實數解之間存在較強的相關性,導致構造出搜索空間的形狀呈扁長的橢球體,這將會嚴重影響搜索的效率,并且最終可能導致解算失敗。為了改善這種情況,在搜索之前有必要對實數解進行降相關處理。文獻[3—5]提出最小二乘去相關算法(LAMBDA),通過構造整數高斯變換矩陣對實數解進行降相關處理;文獻[6]對LAMBDA算法的整個過程進行了詳細介紹,并提出系統配對的策略來構造Z變換矩陣;文獻[7—8]提出基于Cholesky分解的模糊度降相關算法;文獻[9]提出多次整數三角分解降相關的方法;文獻[10]提出利用遞歸的方法直接最小化轉換矩陣的對角線元素的方法;文獻[11]提出對模糊度協方差矩陣的對角線元素進行排序的降相關算法;文獻[12]基于格理論的相關應用,設計了著名的LLL規(guī)約算法,近年來該算法在格基規(guī)約領域得到了深入的研究和廣泛的應用;文獻[13]對LLL規(guī)約算法進行轉化,將其應用到模糊度降相關中;文獻[14]利用隨機模擬的方法計算出模糊度協方差矩陣,對LLL降相關算法進行分析研究,并與整數高斯變換、整數Cholesky分解等算法進行比較;文獻[15]針對LLL降相關算法在取整過程中會引入較大的舍入誤差的問題,提出基于矩陣整體進行取整的改進的LLL算法。以上幾種LLL算法均是基于經典的Gram-Schmidt正交化(CGS)。文獻[16]提出基于修正的Gram-Schmidt正交化(MGS)變換[17]的LLL算法。隨著GPS的現代化進程、GLONASS的補充更新計劃、Galileo和我國北斗系統的逐步建設與應用,GNSS系統呈現出多模式、多頻段的發(fā)展趨勢,有更多的觀測信息可供用戶使用,進而模糊度實數解協方差矩陣的維數也會隨之增大。LLL降相關算法基于低級的基本線性代數子程序(basic linear algebra subprograms,BLAS)運算[18]。算法對向量逐一循環(huán)進行整數正交變換,由于取整舍入誤差的影響,經過變換后向量之間不能完全正交,在對下一個向量進行處理時,舍入誤差也會隨著之前經過變換的向量代入正交化的過程中,隨著循環(huán)的進行,其舍入誤差累積的影響越來越嚴重。高維情況下,可能會導致降相關失敗。針對實數解協方差矩陣高維情況下降相關的問題,本文設計了整數分塊正交化算法,并將其應用到降相關中,提出基于整數分塊正交化的LLL降相關算法(IBGSLLL)。利用隨機模擬的數據,分析了不同維數情況下,不同分塊方式對算法降相關效果的影響,利用IBGS-LLL算法在靜態(tài)和動態(tài)情況下,分別選用不同的分塊方式與改進的LLL算法[15]進行比較,結果表明IBGS-LLL算法的平均相關系數和條件數的改善程度均優(yōu)于改進的LLL算法。經過IBGS-LLL算法降相關之后的協方差矩陣更加接近對角陣,進而較好地改善了模糊度的搜索空間。

2 整數分塊Gram-Schmidt正交化算法

分塊Gram-Schmidt正交化算法(BGS)[18-20]首先將矩陣中所有的列向量分為若干塊,而后對每個分塊矩陣逐一進行正交化和重正交化變換,保證了高維情況下算法的效果和穩(wěn)定性?；谀：冉迪嚓P中對變換矩陣的要求,本文設計了整數分塊Gram-Schmidt正交化算法(IBGS)。

BGS算法同CGS算法一樣,都保證了矩陣中的每個列向量經過正交化變換。不同的是, CGS算法是對每個向量逐一進行變換的一層循環(huán)過程,而分塊正交化算法是包括對每個矩陣塊進行遍歷處理和對矩陣塊內部所包含的向量逐一進行處理的內外兩層循環(huán)過程。

首先對每個向量的正交化過程進行分析,對于列滿秩矩陣H＝[h1h2…h(huán)n],假設其前k－1個向量已經進行了正交變換后得到相互正交的向量q1,q2,…,qk－1,則第k個向量hk首先與q1進行正交化變換

該誤差是由于經過整數GS變換后的向量之間不能完全正交而引起的。隨著對其余向量逐一進行正交變換,該誤差還會累積,越往后影響越大。依據標準GS正交變換的原理,對于每個向量,應采用如式所示的正交化過程。對于k＝2, 3,…,n

結合以上討論的對于每個向量的整數正交化過程和分塊正交算法[18]即可設計相應的IBGS算法。由于矩陣H＝[h1h2…h(huán)n]的n個列向量之間不存在相關性。將H按其列向量分為m個矩陣塊,每塊由nm個向量組成。

首先展開i＝1,2,…,m的外層循環(huán)過程。與CGS算法不同的是,當i＝1時分塊算法對應的是一個矩陣塊而不是向量,所以必須對矩陣塊H1＝[h1h2…h(huán)nm]進行變換處理,以保證其內部向量之間的正交特性和后續(xù)正交化過程的順利進行。利用式(10)所示向量的整數正交化過程進行變換,由于取整運算舍入誤差的存在,hk經過一次整數正交化變換之后,其與前k－1個向量之間的正交程度還不滿足要求,可以進行多次迭代,直到該向量對應的所有正交化系數的實數值都小于0．5時停止迭代。變換可由矩陣表示為

在保證第1個分塊矩陣完成整數正交變換之后,即可對其余m－1個分塊矩陣進行遍歷處理。本文將每個具體的分塊矩陣進行正交化變換的過程分為外變換、內變換兩個部分,其中外變換為當前第i個分塊矩陣與之前i－1個分塊之間的整數正交化變換;內變換包括當前分塊內部各向量之間的變換和與之前向量的重正交變換。內層j＝1,2,…,nm的循環(huán)過程就在這兩個部分中分別展開。

(2)內變換部分:此部分的變換是以實現分塊矩陣內部各向量之間相互正交為目的。由于ˉh(i－1)nm＋1在內變換過程中作為第1個向量,為了保證后面向量能夠正確的進行變換,需要依據式(12)所示的變換過程,與之前的(i－1)nm個變換后的向量進行一次整數重正交變換并最終得到對于ˉHi中的第j≥2個向量,在分塊內部進行如下變換

經過以上過程之后,當前向量已經完成與其之前所有分塊矩陣和當前分塊中的向量的整數正交變換,為了進一步保證該向量與之前所有向量的正交化程度,再進行一次整數重正交變換

得到能夠滿足近似正交的矩陣H?及相應的轉換矩陣R,是由若干個滿足降相關條件的變換矩陣相乘得到的,因此也滿足所有元素為整數且行列式為1的條件。

3 基于整數分塊正交化的LLL降相關算法

基于第2節(jié)提出的算法,本文設計了基于整數分塊GS變換的降相關算法(IBGS-LLL),其具體過程如下:

(1)利用Cholesky分解對模糊度實數解的協方差矩陣進行分解Q^a＝HTH,得到上三角矩陣H。

(2)考慮到降相關變換矩陣整數的特性,為了提高其變換性能,在變換之前需要對矩陣的列向量進行重新排列,使其相應的正交化向量的高斯范數能夠盡可能地按照由小到大的順序,參考文獻[21—22],利用系統旋轉變換的方式構造初等變換矩陣U,并對上三角矩陣進行變換＝HU。

經過以上3步變換之后,H?中的列向量之間能夠滿足近似的正交,但是由于整數變換的特點,其正交變換還不徹底,為了保證變換之后各向量之間的夾角能夠盡可能接近90°,需要對整個過程進行迭代,即對H?再進行步驟(2)和步驟(3)的處理。本文引入平均相關系數來判斷迭代是否終止。其具體定義為,首先對于一個矩陣H,可定義其相關矩陣為[23]

每一次整體變換之后都計算出一個γ值,通過試驗分析,經過一定次數的迭代之后實數解協方差矩陣的平均相關系數不會再發(fā)生變化,因此可將判斷標準設置為當γi＝γi－1時迭代停止。從而步驟(3)可改變?yōu)槔肐BGS算法對重排列之后的H矩陣進行整數正交變換,得到矩陣H?,計算其相應的平均相關系數,判斷其是否等于上次計算的平均相關系數,若相等則停止迭代否則重復步驟(2)和步驟(3)。

經過k次迭代之后得到最終的整數轉換矩陣Rall＝U1R1…UkRk,由于初等變換矩陣Ui滿足所有元素為整數且行列式為1的條件,因此Rall滿足降相關變換矩陣的要求。相應的降相關之后的模糊度實數解和協方差矩陣為利用其即可構建搜索區(qū)域對模糊度進行固定,得到整數解向量ˉz,而后再利用整數變換矩陣將其轉換最終的整周模糊度解

4 計算分析

每一組GNSS觀測數據都對應著一定的觀測模式和特定的衛(wèi)星與測站之間的幾何結構關系,若只用一組數據進行計算分析,不能在普遍意義下說明算法的正確性和有效性。為此,本文采用隨機模擬的方法[14],模擬出模糊度實數解的協方差矩陣進行計算分析。

IBGS-LLL算法基于分塊正交變換對實數解的協方差矩陣進行處理,算法通常是先將矩陣按其列向量均勻的分成若干子塊后,再對其進行變換。對于不同的觀測數據,模糊度實數解協方差矩陣的維數并不相同,當矩陣的維數為因數時,可以將其均勻分塊;當為素數時,最簡單的方法就是將其分成兩個子塊,同時可以更加細致地將矩陣分為m個子塊,其中每個子塊包含兩個列向量,本文將這兩種分塊方式分別簡稱為B-2和B-m2,在矩陣維數不確定的情況下,相比較而言這兩種分塊方式在形式上是比較均勻的。不同的分塊方式,算法的計算結果和效率也不相同,有必要在不同的分塊情況下對算法進行分析,從而確定最佳的分塊方式以保證降相關的順利進行。

首先在固定模糊度未知參數個數的情況下,模擬維數分別為n＝9、n＝25和n＝50各200組協方差矩陣,對各維數進行具體分塊為[m＝5, m＝3,m＝2]、[m＝13,m＝5,m＝2]和[m＝25, m＝10,m＝2],利用IBGS-LLL算法下進行分析,模擬的固定維數下的3種情況,原始的協方差矩陣的條件數一般在104～108的范圍內變化,矩陣維數越小,γ越大,模糊度實數解之間的相關性越強。對固定維數情況下的結果進行了統計,計算出相應的平均降相關系數的平均值ˉγ、條件數的平均值ˉc和算法耗時的平均值ˉt,如表1所示。

經過IBGS-LLL算法處理之后,對于不同的分塊情況,其平均相關系數和條件數都有明顯的改善,都能夠成功地實現降相關。由于3種情況下的維數均為因數,都存在除了1和其本身之外可被整除的數,每種維數情況下都采用了B-2和B-m2的分塊方式,無論在均勻分塊的情況下(如50維),還是在不均勻分塊的情況下(如9維、25維),兩種分塊方式與其他均勻的分塊的計算結果一致。由表可知,這3種維數情況下,原始協方差矩陣的都大于0．3都大于105。

表1 固定維數情況下不同分塊結果的統計Tab．1 The statistic of different block result under the fixed dimension condition

不同分塊方式下,其結果較原來都有明顯的改善。隨著矩陣維數的增大,結果的條件數雖然有所改善,但是卻越來越大;而平均相關系數的均值隨著維數的增大越來越小,在50維的情況下均明顯小于0．1。這是由于原始矩陣的相關程度隨著維數的增加而降低,算法迭代的次數比低維的情況少,并且矩陣的條件數僅反映最大和最小特征之間的差距,并不能反映整個矩陣的相關性,從而導致表中所示的結果。在算法的運行時間方面,隨著維數的增加算法的耗時也相應增大,不同分塊方式的耗用時間基本相同,相差最大也僅為毫秒的量級。由此可知,固定維數的情況下,B-2和B-m2的分塊方式無論能否實現均勻的分塊,都可成功實現降相關,并且效果與其他均勻分塊方式一致。為進一步進行分析,利用B-2和B-m2的分塊方式在維數不固定的情況下,分別模擬了低維n∈[4,20]和高維n∈[21,100]兩種情況下各200組數據進行降相關變換。對結果進行了統計,如表2所示。

表2反映了原始矩陣及B-m2和B-2兩種分塊方式結果的平均相關系數的均值ˉγ、條件數的均值ˉc。由這兩個值可知,兩種分塊方式在維數隨機的情況下,降相關的效果明顯。低維情況下B-2方式的平均相關系數、條件數及算法的效率與B-m2相比都略差;高維情況下,兩種方式的平均降相關系數是很一致的,同時由于B-2分塊得到的子塊維數比較大,需要經過更多次的迭代,所以耗時比B-m2稍長,但其量級也僅為0．01 s。在條件數的改進方面,B-2明顯優(yōu)于B-m2。這是由于高維情況下細致的分塊方式,因分塊數的增多,其累計誤差對正交化的過程影響明顯,而B-2的分塊方式,雖然在每個子塊內需要經過更多次迭代,但是其受到的累積誤差明顯小于B-m2,所以其綜合效果要好一些。由以上分析可知,低維情況下可以選用B-m2的分塊方式,高維情況下可選用B-2的分塊方式。

表2 維數隨機情況下B-m2和B-2分塊方式結果的統計Tab．2 The statistic of different block result under the random dimension condition

由于文獻[14—15]中提到的LLL降相關算法受到舍入誤差的影響非常大,其效果和成功率都比較低,在實際降相關應用中很少被使用。文獻[16]通過模擬計算證明了基于矩陣整體變換的改進的LLL降相關算法,對于協方差矩陣的條件數和平均相關系數的改進都明顯優(yōu)于LLL降相關算法,為了說明IBGS-LLL算法的降相關效果,本文采用基于改進的LLL降相關算法[15]代替LLL算法(在后面的圖表中以LLL作為其相應的標識)分別在動態(tài)和靜態(tài)兩種模式下與IBGSLLL算法進行分析比較。動態(tài)模式下,由于載體狀態(tài)變化大、觀測時間短,從而可觀測到的衛(wèi)星數目少,模糊度未知參數的個數一般在4～10之間變化;靜態(tài)模式下,由于接收機狀態(tài)穩(wěn)定,觀測時間長,單系統雙頻情況下模糊度未知參數在11～50之間變換[14],GNSS多系統下,用戶可接收到不同系統多個頻段的觀測信號,為了充分驗證IBGSLLL算法在GNSS多系統下的有效性和正確性,本文設動態(tài)情況下模糊未知個數在4～20之間變化,靜態(tài)情況下在21～100的范圍變化。本文在靜態(tài)選用基于B-2的分塊方式、動態(tài)選用基于B-m2的分塊方式的IBGS-LLL算法。模擬了兩種狀態(tài)下各200組數據進行計算,結果如圖1、圖2所示。

圖1 動態(tài)和靜態(tài)模式下的平均降相關系數Fig．1 The average correlation coefficient under the kinematic and static mode

圖2 動態(tài)和靜態(tài)模式下的條件數Fig．2 The condition number under the kinematic and static mode

圖1、圖2顯示了動態(tài)和靜態(tài)兩種情況下, 200組數據的原始矩陣、改進的LLL降相關算法和IBGS-LLL算法結果的平均相關系數和條件數,其中左側為動態(tài)的情況,右側為靜態(tài)的情況。兩種方法基本都能完成降相關,IBGS-LLL算法的結果明顯優(yōu)于改進的LLL算法。對結果的平均相關系數和條件數與原始矩陣進行比較,當兩個指標均小于隨機模擬的原始矩陣,則降相關成功,否則降相關失敗。對所有的200組結果進行分析即可計算出降相關的成功率。在動態(tài)情況下,由于矩陣維數較低,兩種算法都可保證百分之百降相關成功;而靜態(tài)情況下,隨著維數的增加,改進的LLL算法的結果出現了條件數和平均相關系數大于原始矩陣的情況,經過變換后協方差矩陣中元素的量級明顯增大,說明降相關失敗,靜態(tài)高維情況下其降相關的成功率為92．5%;而 IBGS-LLL算法的兩種指標都有明顯的改善,其成功率則依然可保證100%。

為了進一步突出本文所提算法在高維情況下的優(yōu)勢,選取了靜態(tài)情況下的10組數據,詳細分析了其相應的平均相關系數和條件數的變化以及算法耗時,見表3。

表3 靜態(tài)情況下改進的LLL算法與IBGS-LLL算法的比較Tab．3 The comparing of improved LLL algorithm with IBGS-LLL algorithm under static mode

由表3可以看出靜態(tài)情況下,隨著矩陣維數的不斷增加,改進的LLL算法的降相關能力逐漸降低,當高于一定的維數時就出現了降相關失敗的情況,而本文提出的IBGS-LLL算法始終保持良好的降相關性能。同時注意到隨著維數的增加,兩種算法的耗時也隨之而增加,由于本文提出的IBGS-LLL算法涉及內外變換以及重正交的過程,所以其耗時略高于改進的LLL算法,但是兩種方法的差別在0．5 s以內。

為了進一步分析說明算法在模糊度解算中的作用,選取2012-04-26美國連續(xù)運行參考站(http:∥www．ngs．noaa．gov/CORS)的GPS單系統雙頻的觀測數據進行計算。

方案1:選取了scgp和scgt兩個測站24 h的數據,其采樣間隔為30 s,共包含78個模糊度未知參數。

方案2:選取了waar和midt兩個測站10個歷元的數據,其采樣間隔為1 s,模糊度未知參數的個數為7。

這兩種方案分別是為了驗證高維情況下和快速定位情況下,算法的效果。在計算出其模糊度實數解及協方差矩陣之后,分別在未進行降相關、改進的LLL降相關和本文提出的IBGS-LLL降相關的情況下,進行模糊度搜索固定,統計了3種情況下,矩陣的條件數和平均相關系數。由于降相關的目的是為了提高搜索的效率和成功率,為了體現算法在這方面的效果,本文還對經過降相關之后的模糊度搜索的時間和結果進行了分析,計算了不同情況下Bootstrapping算法的成功率[24]

表4 基于美國CORS網的實測數據對比分析Tab．4 Analyzing and comparing based on measured data of USA CORS

如表4所示,對于實測數據來說,其協方差矩陣的條件數和平均相關系數與本文模擬的情況大體上是一致的,在低維情況的條件數和平均相關系數都大于高維的情況,兩種方案經過IBGSLLL和改進的LLL降相關處理之后,條件數和平均相關系數兩種指標都有所改進,并且IBGSLLL算法的優(yōu)化程度優(yōu)于改進的LLL算法。方案1高維情況下,原始協方差矩陣的Bootstrapping算法的成功率非常低;方案2低維情況下,由于模糊度參數的維數較低,所以原始協方差矩陣的成功率比高維的要高。經過降相關變換之后其成功率都得到了改善,并且本文提出的IBGSLLL算法的成功率均優(yōu)于改進的LLL降相關算法。搜索時間方面,方案1基于原始的協方差矩陣的模糊度搜索時間需要3 min多,方案2快速定位情況下也需要6 s,說明原始矩陣的搜索效率較低;而經過改進的LLL降相關之后,雖然兩種評價指標得到了改善,但是高維情況下,其計算效率的改善效果并不太明顯,在快速定位情況下,由于模糊度維數較低改進的LLL算法受到舍入誤差影響不明顯,因此還是能夠在1之內獲得模糊度的解;基于IBGS-LLL降相關的方式,明顯提高了搜索的效率,無論針對方案1還是方案2的數據,都能夠以很快的速度獲得模糊度解,這更加驗證了本文算法的有效性,說明IBGS-LLL算法能夠較好地優(yōu)化模糊度的搜索空間,提高搜索效率。為了進一步說明本文算法對于提高模糊度解算效率的作用,列舉了方案2中原始的模糊度的浮點解、固定解和經過IBGS-LLL降相關的浮點解及其相應的固定解,如表5所示。

表5 降相關前后浮點解與固定解的比較Tab．5 Comparing the ambiguity float solution and fixed solution under the condition of original and decorrelation

5 結 論

本文將分塊正交的思想引入模糊度降相關中,設計了整數分塊正交化算法,與LLL降相關算法相結合,提出了基于整數分塊正交化的LLL降相關算法(IBGS-LLL),通過比較分析得出了如下結論:

(1)LLL算法中整數正交變換的向量正交化過程,在取整舍入誤差的基礎上還會受到向量之間不能完全正交而引起誤差的影響,該誤差隨著正交化的進行會逐漸累積,最終影響降相關的效果。在對該誤差分析的基礎上,依據標準的向量正交化過程,對向量的整數正交化算法進行了明確,而后結合分塊正交算法,設計了IBGS算法。該算法不但避免了由于向量不完全正交而在正交化過程中引起的誤差,同時通過分塊處理減弱了舍入誤差的影響。

(2)通過在幾種固定維數下,對不同分塊情況的計算分析發(fā)現,無論能否均勻分塊,B-2和B-m2的分塊方式都能夠實現與其他均勻分塊方式相當的降相關效果。在維數隨機的情況下,B-m2在動態(tài)(低維)模式下的降相關效果略優(yōu)于B-2的分塊方式,而靜態(tài)(高維)模式下,B-2的綜合效果略優(yōu)。

(3)利用IBGS-LLL降相關在動態(tài)和靜態(tài)模式下,分別選用B-m2和B-2的分塊方式與改進的LLL降相關算法進行分析比較,結果表明改進的LLL算法在靜態(tài)矩陣維數較高的情況下,出現了降相關失敗的情況,而經過IBGS-LLL算法變換之后矩陣的平均相關系數、條件數均優(yōu)于改進的LLL降相關算法,在高維情況下可百分之百實現降相關。同時基于一組實測數據分析了3種情況下搜索的效率,結果表明IBGS-LLL算法的效果非常明顯,可有效地改善搜索空間,提高搜索效率。

致謝:感謝美國國家海洋和大氣管理局(NOAA)下屬的國家大地測量機構(NGS)提供的CORS數據。

[1] HATCH R,EULER H J．Comparison of Several AROF Kinematic Techniques[C]∥Proceedings of IEEE Symposium on Position,Location and Navigation．Salt Lake City: IEEE,1994:363-369．

[2] FREI E,BEUTLER G．Rapid Static Positioning Based on the Fast Ambiguity Resolution Approach“FARA”: Theory and First Results[J]．Manuscripta Geotaetica, 1990,15(4):325-356．

[3] TEUNISSEN P J G．The Least-squares Ambiguity Decorrelation Adjustment:A Method for Fast GPS Integer Ambiguity Estimation[J]．Journal of Geodesy,1995,70 (1-2):65-82．

[4] TEUNISSEN P J G．The Success Rate and Precision of GPS Ambiguity[J]．Journal of Geodesy,2000,74(3-4): 321-326．

[5] TEUNISSEN P J G,JONGE P D,TIBERIUS C C．The Least-squares Ambiguity Decorrelation Adjustment:Its Performance on Short GPS Baselines and Short Observation Spans[J]．Journal of Geodesy,1997,71(10):589-602．

[6] JONGE P D,TIBERIUS C．The LAMBDA Method for Integer Ambiguity Estimation:Implementation Aspects:LGR Series 12[R]．Delft:Delft University of Technology,1996．

[7] TEUNISSEN P J G．A New Method for Fast Carrier Phase Ambiguity Estimation[C]∥Proceedings of IEEE PLANS’94．Las Vegas:IEEE,1994:562-573．

[8] ZHOU Yangmei,LIU Jingnan,LIU Jiyu．Return-calculating LAMBDA Approach and Its Search Space[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinca,2005,34(4):300-304．(周揚眉,劉經南,劉基余．回代解算的LAMBDA方法及其搜索空間[J]．測繪學報,2005,34(4):300-304．)

[9] RIZOS C,HAN S．A New Method for Constraining Multisatellite Ambiguity Combinations for Improved Ambiguity Resolution[C]∥Proceedings of ION:GPS-95．Palm Springs:ION,1995:1145-1153．

[10] LI Z,GAO Y．A Method for Construction of High Dimension Transformation Matrices in LAMBDA[J]．Geomatica, 1998,52:433-439．

[11] LIU L T,HSU H T,ZHU Y Z,et al．A New Approach to GPS Ambiguity Decorrelation[J]．Journal of Geodesy, 1999,73(9):478-490．

[12] LENSTRA A K,LENSTRA H W,LOVASZ L．Factoring Polynomials with Rational Coefficients[J]．Mathematische Annalen,1982,261(4):515-524．

[13] GRAFAREND E．Mixed Integer-real Adjustment(IRA) Problems:GPS Initial Cycle Ambiguity Resolution by Means of the LLL Algorithm[J]．GPSSolution,2000,4(2):31-44．

[14] XU P．Random Simulation and GPS Decorrelation[J]．Journal of Geodesy,2001,75(7-8):408-423．

[15] LIU Zhiping,HE Xiufeng．An Improved LLL Algorithm for GPS Ambiguity Resolution[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinca,2007,36(3):286-289．(劉志平,何秀鳳．改進的GPS模糊度降相關LLL算法[J]．測繪學報,2007,36(3):286-289．)

[16] YANG Ronghua,HUA Xianghong,LI Zhao,et al．An Improves LLL Algorithm for GPS Ambiguity Solution[J]．Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2010,35(1):21-24．(楊榮華,花向紅,李昭,等．GPS模糊度降相關LLL算法的一種改進[J]．武漢大學學報:信息科學版,2010,35(1):21-24．)

[17] ZHANG Xianda．Matrix Analysis and Applications[M]．Beijing:Tsinghua University Press,2004．(張賢達．矩陣分析與應用[M]．北京:清華大學出版社,2004．)

[18] ZHAO Tao,JIANG Jinrong．A Block Gram-Schmidt Algorithm with Its Application[J]．Journal of the Graduate School of the Academy of Sciences,2009,26(2):224-228．(趙韜,姜金榮．分塊Gram-Schmidt正交化算法及其應用[J]．中國科學院研究生院學報,2009,26(2):224-228．)

[19] JALHY W,PHILIPPE B．Stability Analysis and Improvement of the Block Gram-Schmidt Algorithm[J]．SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing,1991,12(5):1058-1073．[20] STATHOPOULOS A,WU K．A Block Orthogonalization Procedure with Constant Sysnchronization Requirements [J]．S SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 2002,23(6):2165-2182．

[21] LIU Jingnan,YU Xingwang,ZHANG Xiaohong．GNSS Ambiguity Resolution Using the Lattice Theory[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinca,2012,41(5):636-645．(劉經南,于興旺,張小紅．基于格論的GNSS模糊度解算[J]．測繪學報,2012,41(5):636-645．)

[22] XU P．Parallel Cholesky-based Reduction for the Weighted Integer Least Squares Problem[J]．Journal of Geodesy, 2012,86(1):35-52．

[23] LIU Zhiping,HE Xiufeng,GUO Guangli,et al．Decorrelation Algorithms and Its Evaluation Indexes for GNSS Ambiguity Solution[J]．Geomatics and Information Science of Wuhan University,2011,36(3):257-261．(劉志平,何秀鳳,郭廣禮,等．GNSS降相關算法及其評價性指標研究[J]．武漢大學學報:信息科學版,2011:36(3):257-261．)

[24] TEUNISSEN P J G．Success Probability of Integer GPS Ambiguity Rounding and Bootstrapping[J]．Journal of Geodesy,1998,72(10):606-612．

(責任編輯:叢樹平)

Ambiguity Decorrelation with Integer Block Orthogonalization Algorithm

FAN Long1,ZHAI Guojun1,CHAI Hongzhou2
1．Naval Institute of Hydrographic Surveying and Charting,Tianjin 300061,China;2．Institute of Geospatial Information,Information Engineering University,Zhengzhou 450052,China

Since the round-off error affects the effect and the success rate of the down correlation along with the increase of the matrix’s dimension,the idea of block Gram-Schmidt orthogonalization is introduced,and the integer block Gram-Schmidt orthogonalization algorithm is designed,meanwhile,the IBGS-LLL decorrelation algorithm is proposed combined with the LLL algorithm．The decorrelation effect of different block style is analyzed with different dimension by using the random simulation method．It is confirmed the block manner of different measuring mode．Comparison of the IBGS-LLL algorithm with the improved LLL algorithm based on simulated and measured data shows that the IBGS-LLL decorrelation algorithm possessing has better effect and higher success rate of ambiguity decorrelation．

integer ambiguity;LLL decorrelation;integer block Gram-Schmidt orthogonalization

FAN Long(1984－),male,PhD,majors in GNSS precise positioning theory,algorithm and application．

P228

A

1001-1595(2014)08-0818-09

國家863計劃(2009AA121405);國家自然科學基金(41274045;61071006);國家重大科學儀器設備開發(fā)專項基金(2011YQ12004503);國家海洋局海底科學重點實驗室開放基金(KLSG1002)

2012-06-18

范龍(1984—),男,博士,研究方向為GNSS精密定位理論、算法與應用。

E-mail:fl19841108＠gmail．com

FAN Long,ZHAI Guojun,CHAI Hongzhou．Ambiguity Decorrelation with Integer Block Orthogonalization Algorithm[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(8):818-826．(范龍,翟國君,柴洪洲．模糊度降相關的整數分塊正交化算法[J]．測繪學報,2014,43(8):818-826．)

10．13485/j．cnki．11-2089．2014．0094

修回日期:2013-11-07