薛樹(shù)強(qiáng),楊元喜,黨亞民

1．長(zhǎng)安大學(xué)地測(cè)學(xué)院,陜西西安 710054;2．中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院,北京 100830;3．西安測(cè)繪研究所地理信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710054

測(cè)距定位方程非線性平差的封閉牛頓迭代公式

薛樹(shù)強(qiáng)1,2,楊元喜3,黨亞民2

1．長(zhǎng)安大學(xué)地測(cè)學(xué)院,陜西西安 710054;2．中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院,北京 100830;3．西安測(cè)繪研究所地理信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710054

距離觀測(cè)在測(cè)量中具有極其重要的地位,其觀測(cè)方程為非線性函數(shù)模型。本文導(dǎo)出計(jì)算距離函數(shù)線性化二階殘余項(xiàng)的簡(jiǎn)潔公式,討論測(cè)距定位觀測(cè)方程的線性化近似條件;在此基礎(chǔ)上,導(dǎo)出附加多余參數(shù)測(cè)距定位方程非線性平差的封閉牛頓迭代公式,給出牛頓迭代法退化為高斯-牛頓迭代法的條件。最后以GPS長(zhǎng)距離偽距定位方程和短距離病態(tài)測(cè)距定位方程非線性平差為例,驗(yàn)證了本文的主要結(jié)論。

測(cè)距方程;非線性強(qiáng)度;最小二乘;高斯-牛頓法;牛頓法;病態(tài)方程

1 引 言

大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理所涉及的觀測(cè)模型一般為非線性模型[1-2]。線性最小二乘法處理非線性平差模型的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為平差函數(shù)模型的一階泰勒級(jí)數(shù)逼近,這要求線性化初值充分接近問(wèn)題的解且平差函數(shù)模型的非線性強(qiáng)度較低[3]。非線性平差是國(guó)內(nèi)外研究的難點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題,從微分幾何的觀點(diǎn)出發(fā),模型的固有曲率和參數(shù)效應(yīng)曲率是刻畫(huà)非線性模型非線性強(qiáng)度的重要指標(biāo)[4]。文獻(xiàn)[5—6]論述了經(jīng)典測(cè)量平差理論處理非線性的適用條件。文獻(xiàn)[7]從擾動(dòng)分析角度討論了非線性平差的收斂穩(wěn)定性問(wèn)題,并指出非線性擾動(dòng)主要來(lái)自線性近似時(shí)系數(shù)矩陣的擾動(dòng)、附加的截?cái)嗾`差及近似正交過(guò)程。在參數(shù)估值非線性誤差傳播精度評(píng)定方面,也取得了大量研究成果[8]。

距離觀測(cè)在測(cè)量中具有極其重要的地位,在諸如大地測(cè)量在內(nèi)的各種高精度測(cè)距定位應(yīng)用,除了確定待定點(diǎn)的點(diǎn)位坐標(biāo)參數(shù),還需要附加一些多余參數(shù)以精化平差函數(shù)模型,其有關(guān)平差模型都是非線性的。當(dāng)平差模型的非線性強(qiáng)度較高時(shí),選取不同初始值及近似正交過(guò)程可導(dǎo)致線性近似引起的系數(shù)矩陣擾動(dòng)和截?cái)嗾`差偏大,此時(shí)又常采用正則化迭代解法。常用的測(cè)距觀測(cè)方程非線性平差方法有高斯-牛頓法、擴(kuò)展牛頓迭代法[9-11]。文獻(xiàn)[2]指出不穩(wěn)定性是病態(tài)問(wèn)題的重要特征之一。文獻(xiàn)[12]指出,高斯-牛頓迭代法處理病態(tài)測(cè)距方程時(shí)成功率較低。文獻(xiàn)[13]提出了一種似解析非線性平差解法,該解法的基本思想起源于高斯-雅克比組合平差方法[14]。

本文在測(cè)距定位觀測(cè)方程非線性分析的基礎(chǔ)上,導(dǎo)出了距離函數(shù)二階殘余項(xiàng)的估計(jì)公式,以及附加多余參數(shù)的測(cè)距定位方程非線性平差的牛頓迭代公式,討論了封閉牛頓迭代公式退化為高斯-牛頓迭代法的條件。最后以GPS長(zhǎng)距離偽距定位方程和短距離病態(tài)測(cè)距定位方程非線性平差為例,驗(yàn)證了本文的主要結(jié)論。

2 測(cè)距定位觀測(cè)方程非線性分析

2．1 附加多余參數(shù)的測(cè)距定位觀測(cè)方程[15]

附加多余參數(shù)的測(cè)距定位觀測(cè)方程可表示為

2．2 距離函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)

下面討論觀測(cè)方程(1)的線性化近似條件。對(duì)于第i個(gè)距離函數(shù)di(x)在x0處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)為[6]

距離函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)式(4)還可見(jiàn)于文獻(xiàn)[4,6,12]。在導(dǎo)航定位領(lǐng)域,常記ei(x):＝d′i(x),其幾何意義為觀測(cè)方向余弦。事實(shí)上,式(4)可簡(jiǎn)記為

式(5)建立了距離函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,這在下面推導(dǎo)中有重要應(yīng)用。

2．3 距離函數(shù)線性化誤差分析

下面討論式(2)中二階殘余項(xiàng)的性質(zhì)。結(jié)合函數(shù)(5)可得

圖1給出了式(6)中各項(xiàng)的幾何意義。設(shè)初值精度足夠高,即d x→0。由于α∈(0,1),則αx總落在向量x上,且由極限

圖1 二階殘余項(xiàng)的幾何意義Fig．1 Geometrical meaning of the second-order remainder

當(dāng)n個(gè)控制點(diǎn)均勻分布于三維空間時(shí),條件(2)無(wú)法對(duì)每個(gè)觀測(cè)方程均成立。因此,是距離函數(shù)線性化近似的重要前提條件。當(dāng)距離較短時(shí),線性化誤差不容忽視,應(yīng)考慮非線性方法確定問(wèn)題的解,而當(dāng)距離觀測(cè)值較大且初值較為接近問(wèn)題的解時(shí),可忽略線性化誤差影響。

3 封閉牛頓迭代公式

3．1 非線性測(cè)量平差的正交條件

記X:＝[x u]∈Rm為由位置參數(shù)和多余參數(shù)構(gòu)成的待估參數(shù)向量,方程(1)的非線性最小二乘解為

方程(22)為相容非線性方程組,其解即為方程(1)的非線性最小二乘解。

3．2 牛頓迭代法和高斯-牛頓迭代法

下面構(gòu)造求解方程(22)的迭代計(jì)算公式。方向?qū)?shù)h(X)的微分表達(dá)式為[16]

此時(shí),牛頓迭代公式退化高斯-牛頓迭代公式,即

矩陣S(X)在文獻(xiàn)[4]中采用了立體矩陣記法。當(dāng)觀測(cè)數(shù)量很大時(shí),計(jì)算矩陣S(X)需要花費(fèi)大量存儲(chǔ)和計(jì)算成本。

3．3 封閉牛頓迭代公式

為避免矩陣S(X)的存儲(chǔ)和計(jì)算成本,下面推導(dǎo)海森矩陣H(X)的壓縮記法。記

當(dāng)距離觀測(cè)相對(duì)精度足夠高時(shí),由R→I,可導(dǎo)出β(x)→0,封閉牛頓迭代法退化為高斯-牛頓迭代法。當(dāng)使用式(39)計(jì)算海森矩陣H(X)時(shí),僅需在高斯-牛頓迭代公式的基礎(chǔ)上,計(jì)算矩陣ˉP和阻尼因子β(x)。對(duì)于病態(tài)定位方程,封閉牛頓迭代公式中的阻尼因子β(x)有望改善迭代序列的收斂性和穩(wěn)定性。

4 算 例

算例1:GPS偽距單點(diǎn)定位。表1給出了8顆GPS衛(wèi)星的改正偽距觀測(cè)值(多余參數(shù)為鐘差參數(shù))。分別利用高斯-牛頓迭代法和封閉牛頓迭代法對(duì)GPS偽距定位方程進(jìn)行平差,迭代初值

表1 GPS偽距觀測(cè)數(shù)據(jù)Tab．1 GPS pseudo-ranging data m

如圖2所示,高斯牛頓迭代法和封閉牛頓迭代法的收斂序列基本相同,兩者相差毫米級(jí)。算例表明,因GPS衛(wèi)星距離待定點(diǎn)兩萬(wàn)余千米之遠(yuǎn),迭代公式(34)和(27)相差甚微。高斯-牛頓迭代法計(jì)算成本較低,而封閉牛頓迭代公式計(jì)算成本相對(duì)較高。當(dāng)距離觀測(cè)方程態(tài)性良好且距離觀測(cè)量非常大時(shí),建議使用高斯-牛頓迭代法。

圖2 點(diǎn)位坐標(biāo)序列Fig．2 Sequence of coordinates

算例2:短距離病態(tài)定位方程。在三維測(cè)距定位中,當(dāng)未知點(diǎn)與已知點(diǎn)近似共面時(shí),測(cè)距定位方程的設(shè)計(jì)矩陣為病態(tài)矩陣[19]。在移動(dòng)蜂窩網(wǎng)三維定位中,基準(zhǔn)站和移動(dòng)終端一般近似分布于地表。短距離病態(tài)定位問(wèn)題還常存在于室內(nèi)導(dǎo)航定位、三維激光掃描、水下GPS定位等應(yīng)用場(chǎng)合。

如圖3所示,給出一正六邊形蜂窩網(wǎng)(控制點(diǎn)位于正六邊形的頂點(diǎn))一組仿真?zhèn)尉嘤^測(cè)數(shù)據(jù)。表2給出的控制點(diǎn)與未知點(diǎn)P(點(diǎn)位真值為[4400 4440 0]近似共面),法方程系數(shù)矩陣的條件數(shù)約為9800。分別使用高斯-牛頓迭代法、封閉牛頓迭代法和正則化高斯-牛頓迭代法對(duì)該偽距定位問(wèn)題進(jìn)行非線性最小二乘平差。3種方法使用相同的初值X0＝4400 4400 0 0 [

圖3 蜂窩定位網(wǎng)Fig．3 Cell network

表2 模擬偽距觀測(cè)數(shù)據(jù)Tab．2 Simulation for pseudo-distances m

正則化高斯-牛頓迭代公式為[9]

式中,先驗(yàn)信息迭代初值參考文獻(xiàn)[9],位置參數(shù)的先驗(yàn)信息采用正六邊形的幾何中心,即

其最后一個(gè)元素0為鐘差先驗(yàn)信息,正則化因子設(shè)為λ＝10－4。

圖4給出了3種方法的點(diǎn)位坐標(biāo)迭代解序列。高斯-牛頓迭代法收斂速度最慢,且在第3步迭代產(chǎn)生了較大的擾動(dòng)(當(dāng)最小二乘點(diǎn)位與控制點(diǎn)近似共面時(shí),迭代方程系數(shù)矩陣具有較強(qiáng)的病態(tài)性,這導(dǎo)致迭代序列不穩(wěn)定)。封閉牛頓迭代法由于使用了距離函數(shù)的二次項(xiàng)信息,其收斂過(guò)程穩(wěn)定,且可精確收斂至非線性最小二乘解。正則化方法收斂最快,但因先驗(yàn)信息存在系統(tǒng)偏差其解明顯存在系統(tǒng)誤差(相對(duì)于非線性最小二乘點(diǎn)位解^x＝[4 361．55 4 365．63 143．29],正則化解[4 350．216 4 353．081 102．497]不滿足非線性最小二乘正交條件(22),兩者存在系統(tǒng)偏差[－11．337－12．548－40．789])。

圖4 點(diǎn)位坐標(biāo)序列Fig．4 Sequence of coordinates

為了驗(yàn)證本文第3部分給出的距離函數(shù)線性化誤差估計(jì)公式,表3給出了不同點(diǎn)位初值誤差(相對(duì)于點(diǎn)位坐標(biāo)非線性最小二乘點(diǎn)位解^x＝[4 361．55 4 365．63 143．29])所引起的線性化誤差。

表3 線性化殘余項(xiàng)Tab．3 Remainder of linearization m

結(jié)果表明:①距離函數(shù)線性化誤差與點(diǎn)位初值誤差有關(guān),當(dāng)點(diǎn)位誤差方向與觀測(cè)方向(近似)平行時(shí),線性化誤差一般很小,當(dāng)點(diǎn)位誤差方向垂直于觀測(cè)方向時(shí),一般線性化誤差較大。例如,在X方向存在100 m誤差時(shí),待定點(diǎn)至第1個(gè)控制點(diǎn)方向的距離函數(shù)線性化誤差約為2．25 m,而待定點(diǎn)至第2個(gè)控制點(diǎn)方向的距離函數(shù)線性化誤差僅為0．46 m,在Y方向存在100 m誤差時(shí),待定點(diǎn)至第1個(gè)控制點(diǎn)方向的距離函數(shù)線性化誤差僅為0．02 m,而待定點(diǎn)至第2個(gè)控制點(diǎn)方向的距離函數(shù)線性化誤差為3．30 m;②當(dāng)控制點(diǎn)(近似)共面時(shí),該平面法向量方向的點(diǎn)位誤差對(duì)距離函數(shù)線性化的影響最大,例如,在Z方向存在100 m誤差時(shí),最小線性化誤差為0．99 m;③當(dāng)不同觀測(cè)方向和點(diǎn)位初值誤差方向夾角相差不大時(shí),距離觀測(cè)越大線性化誤差越小,例如,在Z方向存在100 m誤差時(shí),觀測(cè)方向與初值誤差方向近似垂直,最大線性化誤差發(fā)生在第2個(gè)距離函數(shù),最小線性化誤差發(fā)生在第5個(gè)距離函數(shù)。

5 結(jié) 論

(1)距離函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)可由其一階導(dǎo)數(shù)表示。本文導(dǎo)出的二階殘余項(xiàng)表達(dá)形式簡(jiǎn)潔,幾何意義明確,可用于度量測(cè)距定位方程的非線性強(qiáng)度。分析表明,當(dāng)距離較短或初值精度較低時(shí),二次殘余項(xiàng)不容忽視。

(2)由本文給出的距離函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)潔表達(dá)式導(dǎo)出的牛頓迭代公式存儲(chǔ)和計(jì)算成本較低。當(dāng)距離觀測(cè)精度較高或測(cè)距觀測(cè)方程的非線性強(qiáng)度較低時(shí),牛頓迭代公式將退化為高斯-牛頓迭代公式。

(3)當(dāng)測(cè)距定位方程非線性強(qiáng)度很低時(shí),高斯-牛頓迭代法和封閉牛頓迭代法并無(wú)顯著差異。而對(duì)于短距離病態(tài)定位方程非線性平差,封閉牛頓迭代公式迭代更穩(wěn)定、收斂速度更快。

(4)算例給出的測(cè)距定位方程僅附加了鐘差參數(shù),附加其他多余參數(shù)的應(yīng)用還有待討論。

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(責(zé)任編輯:宋啟凡)

A Closed-form of Newton Iterative Formula for Nonlinear Adjustment of Distance Equations

XUE Shuqiang1,2,YANG Yuanxi3,DANG Yamin2
1．School of Geological and Surveying Engineering,Chang’an University,Xi’an 710054,China;2．Chinese Academy of Surveying and Mapping,Beijing 100830,China;3．National Key Laboratory of Geo-Information Engineering,Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping,Xi’an 710054,China

Distance observations play a key role in surveying,of which the related observation model is nonlinear．A brief formula is deduced for estimating the second order reminder of distance equations and its geometrical meanings are shown．Moreover,the precondition of traditional adjustment based on the linearized model is discussed when solving the over-determined distance equations with nuisance parameters．A closed-form of Newton iterative formula is proposed and this novel formula immediately shows internal connection between the Newton method and the Gauss-Newton method as well as the difference．At last,as numerical examples very long pseudo-distance equations in GPS positioning and short distance-equations in mobile positioning are solved by different nonlinear adjustment methods to verify the main results．

distance equations;nonlinearity;least squares;Gauss-Newton method;Newton method; ill-conditioning

XUE Shuqiang(1980—),male,PhD candidate,majors in error theory and adjustment．

P207

A

1001-1595(2014)08-0771-07

國(guó)家自然科學(xué)基金(41020144004;41104018);國(guó)家科技支撐計(jì)劃(2012BAB16B01);國(guó)家863計(jì)劃(2009AA121405;2013AA122501)

2013-03-01

薛樹(shù)強(qiáng)(1980—),男,博士生,研究方向?yàn)檎`差理論與測(cè)量平差研究。

E-mail:xuesq＠casm．a(chǎn)c．cn

XUE Shuqiang,YANG Yuanxi,DANG Yamin．A Closed-form of Newton Iterative Formula for Nonlinear Adjustment of Distance Equations[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(8):771-777．(薛樹(shù)強(qiáng),楊元喜,黨亞民．測(cè)距定位方程非線性平差的封閉牛頓迭代公式[J]．測(cè)繪學(xué)報(bào),2014,43(8):771-777．)

10．13485/j．cnki．11-2089．2014．0127

修回日期:2014-05-16