龔循強(qiáng),李志林

1.西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院,四川成都 611756;2.東華理工大學(xué)江西省數(shù)字國(guó)土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江西南昌 330013;3.精密工程與工業(yè)測(cè)量國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北武漢 430079

穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘法

龔循強(qiáng)1,2,3,李志林1

1.西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院,四川成都 611756;2.東華理工大學(xué)江西省數(shù)字國(guó)土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江西南昌 330013;3.精密工程與工業(yè)測(cè)量國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北武漢 430079

加權(quán)總體最小二乘估計(jì)沒(méi)有考慮觀測(cè)數(shù)據(jù)中可能存在的粗差。本文基于IGG權(quán)函數(shù),采用選權(quán)迭代法求解加權(quán)總體最小二乘問(wèn)題。結(jié)合模擬數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù),系統(tǒng)地比較了加權(quán)總體最小二乘方法、基于Huber權(quán)函數(shù)的穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘方法和基于IGG權(quán)函數(shù)的穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘方法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。通過(guò)對(duì)比分析表明,兩種穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘方法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果比加權(quán)總體最小二乘方法更加可靠,且以基于IGG權(quán)函數(shù)的穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘方法為最優(yōu)。

加權(quán)總體最小二乘;選權(quán)迭代法;穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘;Huber權(quán)函數(shù);IGG權(quán)函數(shù)

1 引 言

在測(cè)繪地理信息領(lǐng)域,無(wú)論是線性模型還是非線性模型,如建筑物表面模型擬合、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、GPS高程擬合等,都需要對(duì)模型的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。最小二乘(least squares,LS)估計(jì)理論由Gauss和Legendre在18世紀(jì)末19世紀(jì)初提出。由于它是最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì),且簡(jiǎn)單方便,已廣泛應(yīng)用于參數(shù)估計(jì)中。然而,LS平差理論認(rèn)為函數(shù)模型中系數(shù)矩陣沒(méi)有誤差或不考慮系數(shù)矩陣的誤差,所有的誤差都限于觀測(cè)向量。由于受采樣誤差、模型誤差、儀器誤差、人為誤差等多方面的影響,系數(shù)矩陣也可能含有誤差,例如坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的原坐標(biāo)也是含有誤差的觀測(cè)量,此時(shí)采用LS方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)得到的結(jié)果從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)看就是有偏的[1]。

總體最小二乘(total least squares,TLS)估計(jì)方法能夠同時(shí)考慮觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣的誤差[2-5],引起了測(cè)繪地理信息學(xué)者的大量研究[6-14]。近年來(lái),由總體最小二乘擴(kuò)展的加權(quán)總體最小二乘也引起了相關(guān)研究[15-19]。然而,這些加權(quán)總體最小二乘方法均沒(méi)有考慮觀測(cè)數(shù)據(jù)中存在粗差的情況,而現(xiàn)代測(cè)量手段趨向于向數(shù)據(jù)采集的自動(dòng)化和快速化發(fā)展,其觀測(cè)量中同時(shí)包含了粗差、系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。在平差處理中,如何發(fā)現(xiàn)和區(qū)分粗差觀測(cè)量,并消除其影響,是提高平差成果精度的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。穩(wěn)健估計(jì)(robust estimation)正是針對(duì)這一缺陷而提出來(lái)的[20],其目的在于構(gòu)造某種估計(jì)方法,使其對(duì)于模型誤差、特別是粗差具有較強(qiáng)的抵抗能力。

文獻(xiàn)[21]在非線性觀測(cè)方程中對(duì)隨機(jī)誤差和未知參數(shù)進(jìn)行線性化,應(yīng)用LS,通過(guò)交替迭代,得到非線性高斯-赫爾默特模型下由LS平差獲得的TLS解[22]。針對(duì)文獻(xiàn)[21]沒(méi)有考慮觀測(cè)數(shù)據(jù)中可能存在粗差的情況,文獻(xiàn)[22—23]提出基于Huber權(quán)函數(shù)的穩(wěn)健總體最小二乘方法,由于它們均考慮了權(quán)矩陣,其實(shí)質(zhì)應(yīng)分別為加權(quán)總體最小二乘(weighted total least squares,WTLS)方法和基于Huber權(quán)函數(shù)的穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘(robust weighted total least squares based on Huber weight function,RWTLS-Huber)方法。關(guān)于權(quán)函數(shù)的選取,在測(cè)量實(shí)踐中認(rèn)為IGG(institute of geodesy and geophysics,由周江文教授提出)權(quán)函數(shù)更優(yōu)。本文通過(guò)公式推導(dǎo),給出基于IGG權(quán)函數(shù)的穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘(robust weighted total least squares based on IGG weight function,RWTLS-IGG)方法的具體求解步驟,并選取合理的評(píng)定指標(biāo),通過(guò)模擬數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)試驗(yàn),系統(tǒng)地評(píng)估了這種方法,并將結(jié)果與WTLS方法、RWTLS-Huber方法進(jìn)行比較分析。

2 現(xiàn)有穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘方法

同時(shí)考慮觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣誤差的EIV (errors-in-variables)模型為

EIV模型本質(zhì)上是一種非線性模型,因此也可以將其當(dāng)作非線性高斯-赫爾默特模型進(jìn)行線性化。令隨機(jī)誤差向量和未知參數(shù)向量的近似值分別為e0和ξ0,則式(1)可線性化為[21-23]

式中,wy,i、wA,i分別為觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣第i點(diǎn)的權(quán)因子;^ey,i、^eA,i分別為觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣第i點(diǎn)的殘差;^σ1、^σ2分別為觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣的中誤差;k為常數(shù)(一般取k＝2)。

由式(5)可分別求得觀測(cè)向量y和系數(shù)矩陣A的權(quán)因子矩陣

同時(shí)結(jié)合它們的初始權(quán)矩陣Py和PA＝P0?(其中?為Kronecker乘積,P0為A的t×t列向量權(quán)矩陣;Px為A的n×n行向量權(quán)矩陣),求得權(quán)矩陣P1＝PyWy和P2＝PAWA,相應(yīng)的協(xié)因數(shù)陣為Q1＝P1－1和Q2＝P2－1。

文獻(xiàn)[22—23]通過(guò)模擬的三維相似坐標(biāo)轉(zhuǎn)換進(jìn)行試驗(yàn),證明了該方法的有效性。然而,在基于選權(quán)迭代法的穩(wěn)健估計(jì)方法中,Huber權(quán)函數(shù)并不是最優(yōu)的,因此有必要采用效果更好的權(quán)函數(shù)進(jìn)行穩(wěn)健估計(jì)。

3 一種基于IGG權(quán)函數(shù)的穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘方法

在LS的穩(wěn)健估計(jì)中,對(duì)等價(jià)權(quán)函數(shù)的選取方法主要有Huber權(quán)函數(shù)、丹麥權(quán)函數(shù)和IGG權(quán)函數(shù)等[24]。已有文獻(xiàn)及大量實(shí)際計(jì)算表明,IGG權(quán)函數(shù)更適于測(cè)量計(jì)算[25-26],其中IGG權(quán)因子為

式中,k0、k1為常數(shù)(一般取k0＝1.5,k1＝2.5)。

根據(jù)以上推導(dǎo)公式,得出RWTLS-IGG方法的解算步驟:

(3)由實(shí)際觀測(cè)條件確定觀測(cè)向量y和系數(shù)矩陣A的初始權(quán)矩陣Py和PA,根據(jù)式(14)分別確定觀測(cè)向量y和系數(shù)矩陣A的權(quán)因子矩陣Wy、WA(設(shè)初始值為單位矩陣),從而得到觀測(cè)向量y和系數(shù)矩陣A的權(quán)矩陣P1和P2,對(duì)應(yīng)的協(xié)因數(shù)陣為Q1和Q2。

4 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

以上簡(jiǎn)要闡述了RWTLS-IGG方法,為了驗(yàn)證這種方法的有效性,下面采用模擬數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn),將所得結(jié)果與WTLS方法和RWTLS-Huber方法進(jìn)行比較分析。

4.1 評(píng)定指標(biāo)

在模擬試驗(yàn)中,通過(guò)單位權(quán)方差和均方誤差來(lái)定量地評(píng)估WTLS方法、RWTLS-Huber方法和RWTLS-IGG方法參數(shù)估計(jì)結(jié)果的好壞。其中,單位權(quán)方差為

式中,N(本文取N＝100)為重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)。

4.2 模擬試驗(yàn)設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)模型Y＝2X1＋3X2,每次試驗(yàn)均模擬100組觀測(cè)數(shù)據(jù),其中X1、X2為1～10之間的隨機(jī)整數(shù),相應(yīng)的Y為5～50之間的隨機(jī)整數(shù)。然

式(15)所得單位權(quán)方差是有偏的,因偏差較小,故對(duì)結(jié)果幾乎沒(méi)有影響[15,22]。

雖然比較單位權(quán)方差能直接分析估計(jì)方法之間的差異,但它只反映了估計(jì)方法本身的性能。因此,在模擬試驗(yàn)中,筆者使用均方誤差作為另一個(gè)指標(biāo)來(lái)評(píng)定參數(shù)估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確度,其中均方誤差越小,估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確度越高。根據(jù)所得參數(shù)向量估計(jì)值^ξ,求出均方誤差后在模擬的觀測(cè)數(shù)據(jù)中添加服從正態(tài)分布N(0,σ2I)(σ＝0.1,I為單位陣)的隨機(jī)誤差,使得觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣都有誤差(見(jiàn)圖1),假設(shè)模擬數(shù)據(jù)為等權(quán)觀測(cè)。為了進(jìn)一步比較3種方法的抗差能力,根據(jù)粗差在觀測(cè)數(shù)據(jù)中存在的概率一般不超過(guò)10%[27]的原則,同時(shí)考慮粗差大小對(duì)參數(shù)估計(jì)結(jié)果的影響,采用兩種方式進(jìn)行模擬試驗(yàn):①控制粗差的大小為8σ,改變每個(gè)觀測(cè)量中粗差的數(shù)量;②控制每個(gè)觀測(cè)量中粗差的數(shù)量為5(即粗差在數(shù)據(jù)中存在的概率為5%),改變粗差的大小。

圖1 加入隨機(jī)誤差后的模擬數(shù)據(jù)Fig.1 Simulation data for adding random errors

4.3 真實(shí)試驗(yàn)設(shè)計(jì)

在對(duì)模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)的基礎(chǔ)上,結(jié)合真實(shí)數(shù)據(jù),將穩(wěn)健WTLS方法應(yīng)用到真實(shí)數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)中。以文獻(xiàn)[17]中數(shù)據(jù)作為樣本(見(jiàn)表1),設(shè)直線方程為y＝ξ1＋ξ2x。

表1 觀測(cè)數(shù)據(jù)和相應(yīng)的權(quán)重Tab.1 Observation data and corresponding weights

5 結(jié)果與分析

以上采用模擬數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn),分別利用WTLS方法和兩種穩(wěn)健WTLS方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì),下面從各種方法的模型、單位權(quán)方差和均方誤差等方面對(duì)他們的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行比較分析。

5.1 模擬試驗(yàn)結(jié)果與分析

首先通過(guò)模擬試驗(yàn)探討本文提出方法的有效性,根據(jù)含隨機(jī)誤差和粗差的模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)。采用本文提出的RWTLS-IGG方法對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì),并將其與WTLS方法和RWTLSHuber方法進(jìn)行比較。

5.1.1 模擬試驗(yàn)1的結(jié)果與分析:粗差數(shù)量的影響

圖2表示每個(gè)觀測(cè)量中的粗差數(shù)量為0到10時(shí)3種方法所得的單位權(quán)方差。從圖中可以看出,當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)中不含粗差時(shí),WTLS方法的單位權(quán)方差在0.010左右,但當(dāng)數(shù)據(jù)中的粗差數(shù)量不斷增多時(shí),WTLS方法的單位權(quán)方差也呈現(xiàn)不斷增大的趨勢(shì),最大值甚至超過(guò)0.070,其結(jié)果遠(yuǎn)大于僅含隨機(jī)誤差時(shí)的單位權(quán)方差,這說(shuō)明WTLS方法的單位權(quán)方差明顯受粗差數(shù)量的影響。RWTLS-Huber方法所得單位權(quán)方差雖然小于WTLS方法,但其同樣隨粗差數(shù)量的增多而呈現(xiàn)明顯增大的趨勢(shì),這說(shuō)明RWTLS-Huber方法抗差效果不好。而RWTLS-IGG方法的單位權(quán)方差卻很小,且隨粗差數(shù)量增多的影響較小,可認(rèn)為其抗差效果更優(yōu)。

圖2 模擬試驗(yàn)中粗差數(shù)量變化時(shí)的單位權(quán)方差Fig.2 Variance of unit weight as an increase in the numbers of gross errors in simulation data experiment

除了對(duì)單位權(quán)方差的比較,更需要注意均方誤差的結(jié)果。圖3表示粗差數(shù)量不同時(shí)均方誤差的變化,從中可以明顯地看出:①當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)中不含粗差時(shí),3種方法所得的均方誤差相近,但當(dāng)粗差數(shù)量增多時(shí),兩種穩(wěn)健WTLS方法所得的均方誤差明顯小于WTLS方法,這表明兩種穩(wěn)健WTLS方法對(duì)粗差有一定的抵抗能力;②WTLS方法所得均方誤差隨著粗差數(shù)量的增多而呈現(xiàn)增大的趨勢(shì),這說(shuō)明采用WTLS方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí),不同數(shù)量的粗差對(duì)結(jié)果的影響也不同;③RWTLS-Huber方法同樣受粗差數(shù)量變化的影響,且其均方誤差較大,說(shuō)明其參數(shù)估計(jì)結(jié)果不好;④RWTLS-IGG方法所得均方誤差小于RWTLS-Huber方法,這說(shuō)明RWTLS-IGG方法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果更可靠。

圖3 模擬試驗(yàn)中粗差數(shù)量變化時(shí)的均方誤差Fig.3 Mean square error of estimated parameter vectorsas an increase in the numbers of gross errors in simulation data experiment

5.1.2 模擬試驗(yàn)2的結(jié)果與分析:粗差大小的影響

在評(píng)估粗差大小對(duì)參數(shù)估計(jì)結(jié)果的影響時(shí),首先比較單位權(quán)方差的結(jié)果。圖4表示粗差大小從0.3～1.3時(shí),WTLS方法和兩種穩(wěn)健WTLS方法所得的單位權(quán)方差。結(jié)果表明WTLS方法所得單位權(quán)方差均在0.012以上,并隨著粗差大小的增加而增大,最大值甚至超過(guò)0.081,其結(jié)果遠(yuǎn)大于不含粗差時(shí)的單位權(quán)方差0.010,說(shuō)明WTLS方法的單位權(quán)方差明顯受粗差大小的直接影響。顯然RWTLS-Huber方法所得單位權(quán)方差小于WTLS方法,但同樣受粗差大小變化的影響較大,這是因?yàn)镠uber權(quán)函數(shù)缺少淘汰段,不利于提高估值的抗差能力,從而造成RWTLSHuber方法的單位權(quán)方差結(jié)果不好。而RWTLS-IGG方法所得單位權(quán)方差很小,且隨粗差大小變化的影響較小,這說(shuō)明RWTLS-IGG方法抵抗粗差的效果更好。

圖4 模擬試驗(yàn)中粗差大小變化時(shí)的單位權(quán)方差Fig.4 Variance of unit weight as an increase in the magnitudes of gross errors in simulation data experiment

從圖5中可以明顯地看出,3種方法所得均方誤差均隨著粗差大小的增加而呈現(xiàn)增大的趨勢(shì),其中兩種穩(wěn)健WTLS方法所得的均方誤差明顯小于WTLS方法,這說(shuō)明兩種穩(wěn)健WTLS方法能夠一定程度上抵抗數(shù)據(jù)中的粗差。RWTLSHuber方法的均方誤差大概在0.235×10－3至1.100×10－3之間,而RWTLS-IGG方法所得均方誤差卻在0.270×10－3至0.468×10－3之間,因此RWTLS-IGG方法的均方誤差明顯比RWTLSHuber方法更穩(wěn)健。

圖5 模擬試驗(yàn)中粗差大小變化時(shí)的均方誤差Fig.5 Mean square error of estimated parameter vectorsas an increase in the magnitudes of gross errors in simulation data experiment

5.2 真實(shí)試驗(yàn)結(jié)果與分析

根據(jù)表1數(shù)據(jù),分別利用WTLS方法、RWTLS-Huber方法和RWTLS-IGG方法對(duì)直線方程進(jìn)行參數(shù)估計(jì),求出參數(shù)和單位權(quán)方差,其結(jié)果如表2所示。在對(duì)直線方程進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí),由于WTLS方法沒(méi)有考慮數(shù)據(jù)中存在粗差的情況,其單位權(quán)方差大于其他方法,而兩種穩(wěn)健WTLS方法則考慮了數(shù)據(jù)中的粗差,因此所得結(jié)果更加合理。為了驗(yàn)證RWTLS-Huber方法對(duì)粗差的抵抗能力,作出迭代后各點(diǎn)的權(quán)因子圖(見(jiàn)圖6)。

表2 真實(shí)試驗(yàn)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.2 Results of parameter estimations in real-life data experiment

圖6 真實(shí)試驗(yàn)中RWTLS-Huber方法迭代后的權(quán)因子Fig.6 Weight factor after iteration based on RWTLSHuber method in real-life data experiment

從圖6可知,RWTLS-Huber方法僅第10號(hào)點(diǎn)x觀測(cè)數(shù)據(jù)迭代后的權(quán)因子小于1,這說(shuō)明該數(shù)據(jù)可能存在粗差。為了進(jìn)一步比較RWTLSHuber方法和RWTLS-IGG方法抵抗粗差的效果,同時(shí)作出RWTLS-IGG方法迭代后各點(diǎn)的權(quán)因子圖(見(jiàn)圖7)。

圖7 真實(shí)試驗(yàn)中RWTLS-IGG方法迭代后的權(quán)因子Fig.7 Weight factor after iteration based on RWTLSIGG method in real-life data experiment

由圖7可得,RWTLS-IGG方法第1號(hào)點(diǎn)y觀測(cè)數(shù)據(jù)和第10號(hào)點(diǎn)x觀測(cè)數(shù)據(jù)迭代后的權(quán)因子均小于1,且第10號(hào)點(diǎn)x觀測(cè)數(shù)據(jù)的權(quán)因子為0,這說(shuō)明他們可能存在粗差。通過(guò)對(duì)RWTLSHuber方法和RWTLS-IGG方法迭代后權(quán)因子的比較發(fā)現(xiàn),RWTLS-IGG方法探測(cè)出可能存在粗差的數(shù)據(jù)更多,所得單位權(quán)方差小于WTLS方法和RWTLS-Huber方法,說(shuō)明采用RWTLSIGG方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)更加合理。

6 結(jié) 論

在測(cè)繪實(shí)踐中,可能會(huì)遇到系數(shù)矩陣含有誤差的情況,如果此時(shí)采用LS方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)顯然是不恰當(dāng)?shù)?。為了克服這個(gè)缺點(diǎn),在顧及權(quán)矩陣的前提下,采用同時(shí)考慮觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣誤差的WTLS方法被認(rèn)為是更可取的。然而WTLS方法雖然考慮了系數(shù)矩陣存在隨機(jī)誤差的情況,但對(duì)于數(shù)據(jù)中可能存在的粗差卻沒(méi)有考慮,造成結(jié)果較大地偏離真實(shí)值?，F(xiàn)有穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘方法選取的Huber權(quán)函數(shù)缺少淘汰段,不利于提高估值的抗差能力,致使抗差效果變差。

本文通過(guò)與WTLS方法和RWTLS-Huber方法的比較表明:RWTLS-IGG方法采用IGG權(quán)函數(shù),將系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量分別進(jìn)行選權(quán)迭代,所得單位權(quán)方差和均方誤差更小,且隨粗差數(shù)量和粗差大小增加而增大的速度比WTLS方法和RWTLS-Huber方法要慢得多,故認(rèn)為采用RWTLS-IGG方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的結(jié)果更加可靠。

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(責(zé)任編輯:叢樹(shù)平)

A Robust Weighted Total Least Squares Method

GONG Xunqiang1,2,3,LI Zhilin1
1.Faculty of Geosciences and Environmental Engineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu 611756,China;
2.Jiangxi Province Key Lab for Digital Land,East China Institute of Technology,Nanchang 330013,China;3.Key Laboratory of Precise Engineering and Industry Surveying of National Administration of Surveying,Mapping and Geoinformation,Wuhan 430079,China

In weighted total least squares,gross errors of observation data are not taken into consideration.In order to resolve this problem,a robust method of weighted total least squares with reweighting iteration is proposed,which is based on IGG weight function.Thorough experimental evaluation with a large number of simulation datasets and a set of real-life data has been carried out.The results of parameter estimations are systematically compared with weighted total least squares,and robust weighted total least squares based on Huber weight function.It is shown that:①more reliable parameter estimations can be obtained by two robust weighted total least squares;②more importantly,the proposed method performs better than the two others.

weighted total least squares(WTLS);reweighting iteration;robust WTLS;Huber weight function;IGG weight function

GONG Xunqiang(1988—),male,PhD candidate,majors in space data acquisition and processing.

P207

A

1001-1595(2014)09-0888-07

國(guó)家973計(jì)劃(2012CB719901);國(guó)家自然科學(xué)基金(41201475);江西省數(shù)字國(guó)土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放研究基金(DLLJ201407);精密工程與工業(yè)測(cè)量國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金(PF2013-15)

2013-10-24

龔循強(qiáng)(1988—),男,博士生,研究方向?yàn)榭臻g數(shù)據(jù)獲取與處理。

E-mail:xqgong1988＠163.com

GONG Xunqiang,LI Zhilin.A Robust Weighted Total Least Squares Method[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43 (9):888-894.(龔循強(qiáng),李志林.穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào),2014,43(9):888-894.)

10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0140

修回日期:2014-07-22