馬鴻燕

(新疆大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，烏魯木齊 830046)

含風險調(diào)整適應函數(shù)的價格動態(tài)模型

馬鴻燕

(新疆大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，烏魯木齊 830046)

在做市商機制下建立含有風險調(diào)整適應函數(shù)的價格動態(tài)模型，考慮具有一支風險資產(chǎn)和一支無風險資產(chǎn)股票的市場，市場中考慮兩類投資者(基本面分析者和圖表分析者)，其中圖表分析者采用最簡單的交易規(guī)則。運用離散動力系統(tǒng)局部漸進穩(wěn)定性和分支理論對其相應的確定系統(tǒng)進行分析。

做市商;風險調(diào)整;圖表分析者;穩(wěn)定性

近年來，有關異質(zhì)信念資產(chǎn)定價引起了廣泛的討論。在真實的金融市場中，不同的投資者對未來收益的預期和對風險的態(tài)度并不完全相同。Brock和Hommes［1］提出了異質(zhì)信念貼現(xiàn)資產(chǎn)定價模型，將實現(xiàn)的凈利潤作為適應函數(shù)，但并沒有考慮獲得此利潤時所承擔的風險。在隨后的文獻(Guanersdorfer［2］、Hommes［3］、Gaunersdorfer［4］和Gaunersdorfer and homes［5］)中使用風險調(diào)整實現(xiàn)利潤作為適應函數(shù)，得到由它導出的需求函數(shù)與期望方差最大化導出的需求函數(shù)一致。波動聚集是金融時間序列的一種重要的特征，之前的文獻都是在數(shù)值模擬中給出其說明，但沒有給出理論解釋。Gaunersdorfer and homes［6］同樣考慮了風險調(diào)整適應函數(shù)，并給出了波動聚集的理論證明。確定市場出清價格有兩種使用最廣的機制，即瓦爾拉斯拍賣機制和做市商機制。前者廣泛應用于經(jīng)濟理論，但O’Hara指出它只能用在一種市場中，即倫敦的白銀市場。上述文獻都是在瓦爾拉斯拍賣機制下討論的。

1 模型

這部分建立一個異質(zhì)信念標準貼現(xiàn)資產(chǎn)定價模型。有關風險調(diào)整適應函數(shù)的相關文獻(例如: Guanersdorfer［2，4］、Gaunersdorfer and Homes［5－6］)中都是在瓦爾拉斯拍賣機制下考慮的。本文將在做市商機制下考慮價格的動態(tài)。

根據(jù)Brock and Hommes［1］的模型結構，考慮具有一支風險和一支無風險資產(chǎn)股票的兩類資產(chǎn)市場，假定無風險資產(chǎn)在總收益R＞1時是完全彈性供應的。Pt為t時期風險資產(chǎn)的價格，{yt}為其股息過程，t時期h型投資者的財富動態(tài)表示為:

其中:zh，t為t時期h型投資者購買風險資產(chǎn)的股數(shù);Rt+1=Pt+1+yt+1－RPt是每股的超額收益; Ft={Pt，Pt－1，…;yt，yt－1，…}為信息集。令Et，Vt為基于信息集Ft的條件期望和方差，Eh，t，Vh，t為h型投資者對條件期望和方差的信念。

假定投資者是近視均值最大化者，則股數(shù)需求zh，t滿足

其中，a為風險厭惡系數(shù)。令nh，t為h型投資者的市場分數(shù)。假設風險資產(chǎn)的外部供給為0，則超額需求ze，t規(guī)定為

市場價格是通過做市商機制(參考文獻［7］)調(diào)節(jié)的，即:

其中，μ為每時期做市商調(diào)整市場價格的速度。

對信念做以下簡化假設:A1:假設未來價格和股息的形式為

類型1為基本面分析者，認為未來價格將以速率v向基本價格P*方向移動，當v接近0(1)時，基本面分析者認為價格快速(緩慢)地向基本價格移動;類型2為圖表分析者，從歷史價格中推出他們的信念，其中式(4)是圖表分析者使用最近觀察的價格變化的交易規(guī)則的一個簡單例子。若g＞0則為追風者;若g＜0則為逆風者。

市場分數(shù)定義如下:首先，在演化部分由離散選擇概率確定:

其中Uh，t為適應函數(shù)。

Brock and Hommes［1］將實現(xiàn)凈利潤作為適應函數(shù)，t時期實現(xiàn)的凈利潤定義為:πh，t=Rtzh，t－1。然而這里沒有考慮到獲得此利潤所承擔的風險，因此采用風險調(diào)整實現(xiàn)凈利潤，定義為

根據(jù)式(6)，風險調(diào)整實現(xiàn)凈利潤作為適應函數(shù)與財富短期期望方差最大化導出的需求函數(shù)一致。詳細討論參考文獻［6］。簡單的推算可得適應函數(shù)為

其中，0≤η≤1為適應函數(shù)的記憶強度。

圖表分析者使其市場分數(shù)取決于偏離基本價格的模型為

根據(jù)式(8)，當市場價格偏離基本價格P*越遠時，圖表分析者的市場分數(shù)將減小。它是由定義市場分數(shù)取決于偏離基本價格這一事實激勵的。詳細討論可參考文獻［5］。

2 確定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

這部分討論確定系統(tǒng)在平衡點的存在性和平衡點附近的局部漸進穩(wěn)定性［8－9］。令 xi+1，t= Pt－i－P*，得到隨機模型(9)的5維確定性系統(tǒng)，可表示為:

定理2得證。

由定理2可得:當μ增大時，穩(wěn)定區(qū)域Ω1增大，Ω2減小;當μ減小時，穩(wěn)定區(qū)域Ω1減小，Ω2增大。Gaunersdorfer and Homes［7］得到的穩(wěn)定區(qū)域只有1個，而本文得到2個穩(wěn)定區(qū)域，對于穩(wěn)定性而言更詳細一些。

當參數(shù)改變時，會出現(xiàn)引起動態(tài)系統(tǒng)質(zhì)的變化的分支，特別是會出現(xiàn)改變平衡點穩(wěn)定性的分支。在這樣的分支值點處，平衡點是非雙曲線的，即存在一個平衡點處的雅克比矩陣所對應的特征根的絕對值為1。也就是有一個特征根的值為1，－1或一對共軛復根?？紤]到當只有一個參數(shù)發(fā)生改變時出現(xiàn)的余一維分支，易得如下結論:

3 結束語

本文在做市商機制下，建立含有兩類投資者的具有風險調(diào)整適應函數(shù)的單資產(chǎn)動態(tài)模型。分析了確定系統(tǒng)平衡點的存在性，運用差分系統(tǒng)漸進穩(wěn)定性理論討論了系統(tǒng)在平衡點處的穩(wěn)定性及分支討論，得出在做市商機制下穩(wěn)定區(qū)域比在瓦爾拉斯拍賣機制下的穩(wěn)定區(qū)域要詳細，即它的穩(wěn)定性更好。

［1］ Brock W C.Hommes.Heterogeneous beliefs and routes to chaos in a simple asset pricing model［J］.Journal of Economic Dynamics and Control，1998，22(8/9):1235－1274.

［2］ Gaunersdorfer A.Endogenous fluctuations in a simple asset pricing model with heterogeneous beliefs［J］.Journal of Economic Dynamics and Control，2000，24(5): 799－831.

［3］ Hommes C H.Financial markets as nonlinear adaptive evolutionary systems［J］.Quantitative Finance，2001，1 (1):149－167.

［4］ Gaunersdorfer A.Adaptive belief systems and the volatility of asset prices［J］.Central European Journal of Operations Research，2001，9:5－30.

［5］ Gaunersdorfer A，Hommes C.A nonlinear structural model for volatility clustering［M］.Berlin:Springer Berlin Heidelberg，2007.

［6］ Gaunersdorfer A，Hommes C H，F(xiàn)lorian O，et al.Bifurcation routes to volatility clustering under evolutionary learning［J］.Journal of Economic Behavior and Organization，2008，67(1):27－47.

［7］ Chiarella C，He X.Heterogeneous beliefs，risk and learning in a simple asset pricing model with a market maker［J］.Macroeconomic Dynamics，2003，7(4):503－536.

［8］ 王聯(lián)，王慕秋.常差分方程［M］.烏魯木齊:新疆大學出版社，1991.

［9］ 王東華，鐘曉珠，梁景翠，等.一類高階中立型差分方程的正解存在性［J］.武漢理工大學學報，2007，28 (12):145－147.

(責任編輯 劉 舸)

Evolutionary Learning in a Simple Asset Pricing Model with a Market Maker

MA Hong－yan1，SUN Qing－gang2
(1.Institute of Mathematics and Systems Science，Xingjiang University，Urimqi 830046，China; 2.Institute of science and technology，Xingjiang University，Urimqi 830008，China)

In a market maker scenario，we develop a simple asset pricing model with two types of rational traders，fundamentalists and chartists.Chartists use the simplest trading rule.Use local asymptotic stability of discrete dynamical systems and bifurcation theory for the analysis of underling deterministic system.

market maker;risk adjustment;chartists;stability

O211.9

A

1674－8425(2014)07－0123－04

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.07.024

2014－03－18

國家自然科學基金資助項目(41261087);新疆文科基地重大項目(0601920)

馬鴻燕(1990—)，女，寧夏人，碩士研究生，主要從事數(shù)理金融方面的研究。

馬鴻燕.含風險調(diào)整適應函數(shù)的價格動態(tài)模型［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2014(7):123－126.

format:MA Hong－yan，SUN Qing－gang.Evolutionary Learning in a Simple Asset Pricing Model with a Market Maker［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(7):123－126.