張媛媛，沈火明

(1.新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)水利與土木工程學(xué)院，烏魯木齊 830052; 2.西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031)

基于Matlab板的振動響應(yīng)與聲輻射研究

張媛媛1，沈火明2

(1.新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)水利與土木工程學(xué)院，烏魯木齊 830052; 2.西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031)

利用Matlab軟件對矩形薄板結(jié)構(gòu)振動進(jìn)行了有限元分析，通過瑞利積分求出了板的表面聲壓，利用輻射模態(tài)理論研究了不同頻率下結(jié)構(gòu)聲輻射模態(tài)形狀的變化規(guī)律。結(jié)果表明:基于Matlab軟件編寫的程序能快速方便地得到薄板結(jié)構(gòu)的固有頻率，結(jié)果能較好地收斂并達(dá)到滿意的精度;當(dāng)激勵頻率小于第1階頻率時，其輻射聲壓隨激勵頻率的增加而逐漸增大;輻射模態(tài)在低頻時具有形狀相似性，結(jié)構(gòu)的各階輻射模態(tài)在x-y平面內(nèi)呈對稱或反對稱，且不隨頻率的變化而改變。

振動分析;板;Matlab軟件;有限元;聲輻射

隨著科技的飛速發(fā)展及人民生活水平的提高，越來越多的結(jié)構(gòu)要求自重更輕、外殼更薄、抗震減噪性能更好。板類結(jié)構(gòu)重量輕、耗材少，是優(yōu)良的基本結(jié)構(gòu)構(gòu)件，如太陽能板、車身結(jié)構(gòu)等。所以研究板結(jié)構(gòu)的振動與聲輻射特性對于結(jié)構(gòu)的減振降噪控制有著重要意義。文獻(xiàn)［1］利用超參數(shù)殼單元建立了變厚度板的有限元方程，并求出諧波激勵下板表面的位移響應(yīng)和速度響應(yīng)。文獻(xiàn)［2 -3］通過數(shù)值和理論分析方法，分別獲得了矩形板的模態(tài)輻射聲功率的數(shù)值解和精確解。文獻(xiàn)［4］利于SYSNOISE軟件計(jì)算了平板在不同介質(zhì)中的振動和聲輻射。文獻(xiàn)［5-6］從不同角度研究了流體作用下板類結(jié)構(gòu)的振動聲輻射問題，計(jì)算分析結(jié)構(gòu)聲輻射損耗因子和聲輻射效率以及計(jì)算的預(yù)測代理模型。文獻(xiàn)［7］基于分層理論，提出一種陣列式壓電式傳感器的設(shè)計(jì)方法測量復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)聲輻射模態(tài)幅值。文獻(xiàn)［8-10］研究了不同板類結(jié)構(gòu)的振動及聲輻射問題，并提出了主動控制的優(yōu)化方案。本文利用有限元方法計(jì)算了四邊固支板的動態(tài)響應(yīng)，然后通過瑞利積分計(jì)算出板的表面聲壓，并利用結(jié)構(gòu)表面輻射阻抗陣，研究了不同頻率下結(jié)構(gòu)聲輻射模態(tài)形狀的變化規(guī)律。

1 矩形薄板彎曲振動的有限元理論

薄板橫向振動微分方程為

對四邊簡支矩形薄板固有頻率有精確的解析解，對于其他復(fù)雜邊界條件，只有通過數(shù)值方法才能求出各物理量的解析解。

板經(jīng)單元離散后，可獲得薄板振動的有限元方程:

式(4)中:M，C，K和F為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和載荷向量。

當(dāng)C=0，F(xiàn)=0時，得結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動方程為

設(shè)式(5)解的形式為X=ψejωt，解得

它的根ω2稱為特征值，是結(jié)構(gòu)固有頻率的平方。

當(dāng)激振為諧波激勵時，可設(shè)F=F0eiωt，X= X0eiωt，F(xiàn)0為穩(wěn)態(tài)載荷向量，X0為穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)，V0為穩(wěn)態(tài)速度響應(yīng)，ω0為激振圓頻率。則結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)為

2 薄板的聲輻射理論

假設(shè)板處于無限大剛性障板上。設(shè)矩形板的表面積為S，當(dāng)板在在圓頻率ω下振動、向上半空間輻射聲波時，空間內(nèi)充滿均勻介質(zhì)，介質(zhì)密度為ρ，聲速為c，振動表面上的法向振動速度為V(Z，ω)，則在該頻率下板表面聲壓為

式(10)中:X為源點(diǎn);Z為場點(diǎn);r為場點(diǎn)和源點(diǎn)的距離;k=ω/c為波數(shù);j為虛數(shù)單位。

設(shè)板的表面離散為n個四邊形單元，則結(jié)構(gòu)表面第j個單元中一點(diǎn)的速度:

式(11)中:N=［N1，N2，N3，N4］分別為單元4個結(jié)點(diǎn)處的形函數(shù);Vj=［Vj1，Vj2，Vj3，Vj4］T為單元j的結(jié)點(diǎn)法向速度向量。

板表面經(jīng)單元離散后，將式(11)代入式(10)中，可以獲得單元結(jié)點(diǎn)處聲壓式(12)中:P為表面結(jié)點(diǎn)聲壓列向量;H為單元經(jīng)過數(shù)值積分并經(jīng)過組裝后形成的系數(shù)矩陣;Vn為結(jié)點(diǎn)法向速度列向量。

結(jié)構(gòu)表面輻射阻抗陣Δ的表達(dá)式為

3 數(shù)值仿真

設(shè)板的長度a=0.38 m，寬度b=0.3 m，板厚h=0.002 m，彈性模量E=2.1×e11，泊松比ν= 0.3，薄板的密度為ρ=7 850 kg/m3，不計(jì)結(jié)構(gòu)的阻尼影響，本文僅對四邊固支板進(jìn)行求解，如圖1所示。

3.1 板自由振動的計(jì)算

設(shè)na×nb為劃分的板單元總數(shù)，現(xiàn)令na= 38，nb=30，得到的有限元模型如圖2所示。表2為四邊固支矩形薄板的前8階固有頻率。

圖1 矩形薄板

圖2 矩形薄板的有限元模型

為驗(yàn)證編寫Matlab程序的正確性，首先對四邊簡支板進(jìn)行求解。將所求固有頻率與精確的解析解和ANSYS結(jié)果做比較，如表1所示。隨著有限元網(wǎng)格的不斷細(xì)化，薄板各階固有頻率越來越接近其精確解，表明利用Matlab編寫算法的收斂與合理性。

表1 四邊簡支矩形薄板的前8階固有圓頻率Hz

表2 四邊固支矩形薄板的前8階固有圓頻率Hz

3.2 板表面聲壓分布

已知空氣密度ρ0=1.225 kg/m3，聲在空氣中的傳播速度為c0=343 m/s，激振力位于平板中心處，幅值為1 N，如圖1所示。為減小計(jì)算量，計(jì)算時采用20×14網(wǎng)格。圖3～6分別為不同激勵頻率下板的表面聲壓分布。從圖中可以看出，在激勵頻率小于第1階頻率時，其輻射聲壓隨激勵頻率增加而逐漸增大。在得到表面聲壓后，便可以計(jì)算聲場空間中任一點(diǎn)的聲壓。

圖3 f=10 Hz時板表面的聲壓分布

圖4 f=20 Hz時板表面的聲壓分布

圖5 f=30 Hz時板表面的聲壓分布

圖6 f=40 Hz時板表面的聲壓分布

3.3 聲輻射模態(tài)分析

圖7～12分別是無量綱頻率kl=0．1，0．5，1，2，5，10時平板的前4階聲輻射模態(tài)(kl=ka，k為波數(shù)且k=ω/c，a為板長)。

分析可得:當(dāng)kl≤2時，矩形的各階輻射模態(tài)圖形隨頻率變化不大，輻射模態(tài)形狀比較規(guī)則;隨著頻率的不斷增加，輻射模態(tài)的形狀變得越來越復(fù)雜。輻射模態(tài)在低頻時具有的這種形狀相似性，意味著在低頻時，可以用某一頻率的輻射模態(tài)代替某一頻域范圍內(nèi)其他輻射模態(tài);與結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)類似，形狀規(guī)則結(jié)構(gòu)的各階輻射模態(tài)在xy平面內(nèi)呈對稱或反對稱性，而且頻率的影響并不會改變輻射模態(tài)的這種對稱或反對稱性。

圖7 kl=0．1時板的前4階聲輻射模態(tài)形狀

圖8 kl=0．5時板的前4階聲輻射模態(tài)形狀

圖9 kl=1時板的前4階聲輻射模態(tài)形狀

圖10 kl=2時板的前4階聲輻射模態(tài)形狀

圖11 kl=5時板的前4階聲輻射模態(tài)形狀

圖12 kl=10時板的前4階聲輻射模態(tài)形狀

4 結(jié)論

利用Matlab對薄板結(jié)構(gòu)振動進(jìn)行有限元分析，并通過瑞利積分求出板的表面聲壓，利用結(jié)構(gòu)表面輻射阻抗陣求得板的聲輻射模態(tài)。結(jié)果表明:基于Matlab軟件編寫的程序能快速方便地得到薄板結(jié)構(gòu)的固有頻率，計(jì)算結(jié)果能較好地收斂并達(dá)到滿意的精度;當(dāng)激勵頻率小于第1階頻率時，其輻射聲壓隨激勵頻率增加而逐漸增大;輻射模態(tài)在低頻時具有形狀相似性，形狀規(guī)則結(jié)構(gòu)的各階輻射模態(tài)在x-y平面內(nèi)呈對稱或反對稱性，且不隨頻率的變化而改變。

［1］張波，沈火明，支偉.有限元/邊界元法求解變厚度板的聲輻射［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2010，10(36):8963 -8967.

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(責(zé)任編輯 劉舸)

Research on the Thin Plate’s Vibration and Acoustic Radiation Based on Matlab Software

ZHANG Yuan-yuan1，SHEN Huo-ming2
(1.School of Water＆Civil Engineering，Xinjiang Agricultural University，Urumqi 830052，China;2.School of Mechanics＆Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China)

The vibration of the rectangular lamina was analyzed by means of a program developed within MATLAB.Acoustic pressure was calculated through Rayleigh Integral，and by the theory of radiation mode.Different acoustic modes under different frequency were calculated and the distribution law was discussed.The results show that the program based on the Matlab software can be used to calculate conveniently and efficiently the natural frequency of the plate.The radiation pressure of the plate surface increases with the excitation frequency under low-frequency conditions.Radiation modes have the shape similarity in low-frequency.Each order radiation mode of structure was symmetry or anti-symmetry in x-y plane，and didn’t change with the alteration of frequency.

vibration analysis;plate;Matlab;finite element;acoustic radiation

TB532

A

1674-8425(2014)08-0034-05

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2014.08.008

2014-05-06

牽引動力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題資助(tb1305);新疆水利水電重點(diǎn)科學(xué)基金資助項(xiàng)目(xjzdxk)

張媛媛(1988—)，女，碩士，主要從事結(jié)構(gòu)振動與控制研究;通迅作者沈火明(1968—)，男，博士，教授，主要從事結(jié)構(gòu)振動與控制、噪聲、力學(xué)數(shù)值仿真研究。

張媛媛，沈火明.基于Matlab板的振動響應(yīng)與聲輻射研究［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014(8): 34-38.

format:ZHANG Yuan-yuan，SHEN Huo-ming.Research on the Thin Plate’s Vibration and Acoustic Radiation Based on Matlab Software［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(8): 34-38.