徐天杰，錢曉凡，戴欣冉，李 斌

（昆明理工大學(xué)理學(xué)院激光研究所，昆明650500）

基于分割縮放的欠采樣相位圖解包裹算法

徐天杰，錢曉凡*，戴欣冉，李 斌

（昆明理工大學(xué)理學(xué)院激光研究所，昆明650500）

為了提取所需的相位信息，克服噪聲、斷點(diǎn)以及欠采樣等不利因素的影響，針對采樣問題出現(xiàn)的根本原因（采樣頻率過低、圖像條紋密度過高），在處理欠采樣問題時(shí)采用基于分割縮放原理的相位解包裹算法，對密度過高的干涉條紋通過插值放大后再進(jìn)行解包裹運(yùn)算。在理論分析的基礎(chǔ)上給出了具體的相位解包裹算法，模擬計(jì)算和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證都表明了該算法的可行性。結(jié)果表明，該算法對有欠采樣相位的解包裹能取得不錯(cuò)的效果。

全息；相位解包裹；分割縮放；欠采樣

引 言

數(shù)字全息技術(shù)記錄了可以反映物體表面2維形貌、形變、應(yīng)力分布或溫度場等信息的光場相位，所以，通過對數(shù)字再現(xiàn)象的相位進(jìn)行提取與解包裹計(jì)算，就可實(shí)現(xiàn)包括2維形貌檢測在內(nèi)的各種測量，因而應(yīng)用前景廣闊［1］。在提取相位信息時(shí)由于通常要引入反正切函數(shù)，得到的相位稱為包裹相位，即相位值介于（－π，π］之間，這就需要采用相位解包裹運(yùn)算處理相位分布上的跳變點(diǎn)，將被截?cái)啵ò┑南辔贿B接起來，以得到真實(shí)的相位分布［2］。

實(shí)際問題中，由于噪聲、斷點(diǎn)，特別是欠采樣等的影響，包裹相位中有大量不可靠數(shù)據(jù)點(diǎn)存在，使相位解包裹成了一個(gè)十分困難的問題［3］。目前相位解包裹最常用的算法是最小二乘法［4-6］，其中最小二乘法又分為無權(quán)最小二乘法［4，7］和加權(quán)最小二乘法［8-9］。針對欠采樣造成的相位解包裹困難，作者在無權(quán)最小二乘解包裹算法的基礎(chǔ)上，提出了基于分割縮放原理的相位解包裹算法，模擬計(jì)算和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證均表明，該算法對有欠采樣相位的解包裹能取得不錯(cuò)的效果。

1 分割縮放原理

采樣頻率過低、圖像條紋密度過高，是欠采樣問題出現(xiàn)的根本原因，為此，如果對密度過高的干涉條紋通過插值放大后再進(jìn)行相位解包裹處理，可以有效克服欠采樣的發(fā)生。但在實(shí)際操作中，待解包裹圖的分辨率一般都比較高，在進(jìn)行插值放大后就會(huì)很容易出現(xiàn)超出計(jì)算機(jī)軟硬件處理能力的情況。針對該問題，作者提出了基于分割縮放原理的相位解包裹算法：（1）將包裹相位圖分割成若干個(gè)子單元；（2）對每個(gè)子單元進(jìn)行插值放大處理；（3）對插值放大后的子單元塊進(jìn)行解包裹運(yùn)算；（4）將解包裹后的子單元塊縮小至原來的大小；（5）將縮小后的子單元塊合并成為完整圖像。

實(shí)際上，由于解包裹的過程是將斷裂的條紋拼接起來的過程，在合并的過程中會(huì)帶來?xiàng)l紋整體平移的問題，不調(diào)整相鄰單元塊之間相位值大小的直接合并操作，會(huì)使得各個(gè)小單元之間出現(xiàn)明顯的斷層，所以必須找到合理的合并方法。

2 一種擴(kuò)散式的合并方法

前面已經(jīng)說明，找到好的合并方法是本文中相位解包裹算法得以實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵，作者提出了下面的合并方法。

如圖1所示，把待處理包裹相位圖按順序分割成數(shù)個(gè)子單元圖，每個(gè)子單元大小均為（m+Δm）×（n+Δn）像素（處于最后一行和列的單元除外）。為避免簡單合并所帶來的錯(cuò)誤，作者讓相鄰的兩個(gè)子單元、最末端的子單元與余項(xiàng)單元之間存在Δm行和Δn列的重疊區(qū)域。完成對所有子單元的相位解包裹后，需要進(jìn)行修正，修正過程要求對每個(gè)子單元加上一個(gè)增量δi，j，δi，j的值由相鄰單元重疊區(qū)域的相位平均值決定。最后將校正過的解包裹單元合并起來，從而解決直接合并所帶來的錯(cuò)誤。

Fig.1 Schematic diagram of segmentation

當(dāng)然，校正順序不同，合并的方法也相應(yīng)不同，選用的是一種擴(kuò)散式的合并方法：該方法以左上角的子單元作為參考單元，然后沿x和y方向延展順序校正其后的各個(gè)單元。

Ai，j（i＝0，1，…，L－1；j＝0，1，…，K－1）的大小為（m+Δm）×（n+Δn）像素；L是x方向上的子單元數(shù)，K是y方向上的子單元數(shù)，通常情況下，x和y方向的末端會(huì)出現(xiàn)與子單元大小不相同的余項(xiàng)單元。余項(xiàng)單元單獨(dú)處理；子單元Ai+1，j和Ai，j有Δm行重疊區(qū)域，分塊Ai，j+1和Ai，j有Δn列重疊區(qū)域。先確定第1個(gè)單元A0，0（i＝0，j＝0）為基準(zhǔn)單元，然后分別計(jì)算其與右、下方向相鄰單元A0，1和A1，0的增量δ0，1與δ1，0，再以A0，1和A1，0為基準(zhǔn)依次計(jì)算下去。

子單元的處理方法如下：

（1）當(dāng)i＝0，j＝0時(shí)，即確定初始的基準(zhǔn)單元時(shí)，需要確定一個(gè)初始增量δ0，0，δ0，0的值通過對解包裹后的子單元進(jìn)行再包裹，然后與原始包裹相位相減，再取差值的平均值得到。

（2）當(dāng)i＝0且j＝1，…，K－1或i＝1，…，K－1且j＝0時(shí)，增量的取值分別為：

（3）當(dāng)i＝L－1且j＝1，…，K－2或i＝1，…，K－2且j＝L－1時(shí)，增量的取值為：

（4）當(dāng)i＝L－1，j＝L－1時(shí)，增量的取值為：

式中，

（5）其它情況下增量的取值為：

式中，φ1（l，k）是未經(jīng)修正的子單元Ai，j的解包裹相位，φ2（l，k）和φ3（l，k）分別是子單元Ai－1，j和Ai，j－1經(jīng)修正后的解包裹相位。

通過上述計(jì)算，可以對分割后的子單元塊進(jìn)行很好的合并處理。解決了圖像合并這一關(guān)鍵問題后，使用本文中的方法解決欠采樣圖像相位解包裹的問題也就迎刃而解了。

3 基于分割縮放原理的欠采樣相位圖解包裹算法模擬計(jì)算

為了檢驗(yàn)作者所提出的算法針對欠采樣相位圖解包裹是否能達(dá)到預(yù)期效果，現(xiàn)做以下模擬計(jì)算。

作者用MATLAB中的peaks函數(shù)再乘以20構(gòu)建一個(gè)2維相位分布（512pixel×512pixel），如圖2a所示，其包裹相位如圖2b所示。使用傳統(tǒng)的最小二乘法進(jìn)行解包裹計(jì)算，結(jié)果如圖2c所示，可以看出結(jié)果不是很理想，主要是由于peaks函數(shù)乘以20后其包裹相位變化太快，出現(xiàn)了欠采樣。

Fig.2 Simulated unwrapping results of wrapped phase with undersampling from least-square unwrapping operation

下面采用本文中的方法解包裹，為了觀察解包裹的效果，作者給出了計(jì)算誤差，即將解包裹得到的相位與原始相位相減，得到了幾個(gè)典型的計(jì)算結(jié)果（X表示插值放大倍數(shù)）在圖3中給出。結(jié)果顯示，分割包裹相位圖后進(jìn)行適當(dāng)縮放再完成解包裹計(jì)算，能很好地避免欠采樣問題。

Fig.3 Simulated unwrapping results of wrapped phase with undersampling from segmentation and zooming unwrapping operation and the error

通過對比可以看到：使用最小二乘法對欠采樣圖像進(jìn)行相位解包裹有很大的誤差，而使用本文中的分割縮放解包裹算法解包裹，誤差很小（最大相對誤差不到0.5%）。放大倍數(shù)X越大，解包裹的效果越好。但是，放大倍數(shù)X越大，運(yùn)算的速度越慢。

4 處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的驗(yàn)證結(jié)果

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)所提出算法的效果，將其用于實(shí)驗(yàn)得到的有欠采樣包裹相位圖的解包裹，為此作者布置了如圖4所示的實(shí)驗(yàn)光路［10］。激光束（波長為632.8nm）被分束鏡（beam splitter，BS）BS1分為兩束，其中一束經(jīng)擴(kuò)束系統(tǒng)（beam expanding system，BES）BES1和透鏡L1變?yōu)槠叫泄猓俳?jīng)反射鏡M1和分束鏡BS2反射后作為參考光到達(dá)CCD（2048pixel×1536pixel，像素大小為6.4μm）；另一束被反射鏡M2反射，經(jīng)擴(kuò)束系統(tǒng)BES2和透鏡L2變?yōu)槠叫泄猓俳?jīng)透鏡L3匯聚為球面波，最后通過分束鏡BS2作為物光到達(dá)CCD。參考光、物光在CCD處干涉并記錄下來得到數(shù)字全息圖，送計(jì)算機(jī)處理。

Fig.4 Schematic experiment setup

圖5 a是實(shí)際拍攝的一幅全息圖，記錄的是一個(gè)球面波的光場，通過減小球面半徑，得到了包裹相位存在欠采樣的數(shù)字全息圖；圖5b是對應(yīng)的包裹相位圖。

Fig.5 Digital hologram and wrapped phase

圖6中給出了用不同算法對實(shí)驗(yàn)得到的有欠采樣包裹相位圖解包裹的結(jié)果。其中圖6a中給出的是用傳統(tǒng)的最小二乘法解包裹所得結(jié)果，與模擬計(jì)算一樣，有欠采樣發(fā)生時(shí)，用傳統(tǒng)最小二乘法解包裹得到的相位有嚴(yán)重失真，誤差很大；圖6b中給出的是用常用的枝切法解包裹所得結(jié)果，由于有欠采樣，大片區(qū)域無法順利完成解包裹運(yùn)算；圖6c中是用作者提出的分割縮放方法解包裹結(jié)果，計(jì)算中取m＝n＝30，X＝10?？梢钥闯觯摲椒ń鉀Q欠采樣問題的能力到達(dá)了預(yù)期的效果。

Fig.6 Experimental unwrapped phase by different unwrapping algorithm

5 結(jié) 論

由于噪聲、陰影、條紋斷裂及欠采樣等因素的影響，包裹相位中有大量不可靠數(shù)據(jù)點(diǎn)存在，給最小二乘相位解包裹帶來困難。本文中將分割縮放原理引入到數(shù)字全息再現(xiàn)光場的重構(gòu)中，對密度過高的干涉條紋通過插值放大后再進(jìn)行相位解包裹處理，提出了基于分割縮放原理的欠采樣相位圖解包裹算法，可以有效克服欠采樣的發(fā)生。通過模擬計(jì)算得到了不錯(cuò)的效果，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也驗(yàn)證了這種算法的可行性，該算法為有欠采樣相位的解包裹提供了一種新的思路。

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Unwrapping algorithm based on segmentation and zooming for undersampled wrapped phase

XU Tianjie，QIAN Xiaofan，DAI Xinran，LI Bin
（Institute of Lasers，F(xiàn)aculty of Science，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China）

In order to obtain phase information，many unfavorable factors such as noise，breakpoint and under sampling must be overcome.Aimed at too low sampling frequency and high fringe density，the root cause of the undersampling problem，unwrapping algorithm based on segmentation and zooming principle was introduced.After enlarging interference fringe whose density is too high by interpolation method，the phase was unwrapped.The simulation and experimental results show the feasibility of the proposed algorithm.It turns out that it is an effective unwrapping algorithm for undersampled wrapped phase.

holography；phase unwrapping；segmentation and zooming；undersampling

O438.1

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.01.009

1001-3806（2014）01-0039-05

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61067004）

徐天杰（1986-），男，碩士研究生，現(xiàn)主要從事光信息處理方面的研究。

*通訊聯(lián)系人。E-mail：qianxiaofan1＠sina.com

2013-04-16；

2013-05-16