熊翠秀，鄧楊保，鄧曙光，王景艷

（1.湖南城市學(xué)院通信與電子工程學(xué)院，益陽413000；2.保山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，保山678000）

峰值折射率對正弦型函數(shù)光子晶體缺陷模的影響

熊翠秀1，鄧楊保1，鄧曙光1，王景艷2

（1.湖南城市學(xué)院通信與電子工程學(xué)院，益陽413000；2.保山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，保山678000）

為了分析峰值折射率對1維正弦型函數(shù)光子晶體缺陷模的影響，首先對折射率按正弦規(guī)律變化的介質(zhì)進(jìn)行離散化，然后應(yīng)用傳輸矩陣法計算了1維光子晶體（AB）mC（BA）m的透射譜，分析了各介質(zhì)層的折射率峰值對該結(jié)構(gòu)1維正弦型函數(shù)光子晶體缺陷模的影響。結(jié)果表明，隨著峰值折射率的增大，缺陷模紅移，且頻率越高缺陷模紅移現(xiàn)象越明顯；低折射率介質(zhì)的峰值折射率對缺陷模頻移的影響比較顯著。這一結(jié)果對光子晶體的設(shè)計有一定的參考價值。

光電子學(xué)；缺陷模紅移；介質(zhì)離散化；傳輸矩陣法

引 言

由于光譜的特殊性，自從1987年JOHN［1］和YABLONOVITCH［2］提出了光子晶體的概念，光子晶體就得到了人們的關(guān)注和應(yīng)用。

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，對器件的性能提出了更多的要求，于是陸續(xù)提出了不同結(jié)構(gòu)的非常規(guī)光子晶體，如含有折射率與頻率有關(guān)的色散材料及特異材料的光子晶體［3-5］、含有折射率受外加電壓及外磁場調(diào)控的液晶光子晶體［6-7］、含有相對介電常數(shù)受溫度和外磁場調(diào)控的超導(dǎo)光子晶體［8-9］和折射率與空間坐標(biāo)有關(guān)的函數(shù)型光子晶體［10-16］等。參考文獻(xiàn)［11］～參考文獻(xiàn)［12］中用函數(shù)型光子晶體中的傳輸矩陣法主要研究了函數(shù)光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)及各結(jié)構(gòu)參量對帶隙結(jié)構(gòu)的影響，參考文獻(xiàn)［13］～參考文獻(xiàn)［16］中用同樣的方法研究了1維函數(shù)型光子晶體的缺陷模，其中參考文獻(xiàn)［13］中的研究對象是折射率為向上的折線型函數(shù)光子晶體中引入常規(guī)介質(zhì)缺陷層，詳細(xì)分析了缺陷的折射率、厚度及位置對該結(jié)構(gòu)缺陷模的影響，參考文獻(xiàn)［14］～參考文獻(xiàn)［15］中的研究對象是1維線性函數(shù)光子晶體中引入常規(guī)介質(zhì)缺陷層，其中參考文獻(xiàn)［14］中分析了缺陷層的位置和折射率對缺陷模的影響，而參考文獻(xiàn)［15］中著重研究了周期數(shù)和缺陷層的位置、折射率及光學(xué)厚度對缺陷模的影響，而參考文獻(xiàn)［16］中研究了1維正弦型函數(shù)光子晶體中的缺陷模，在研究過程中折射率的系數(shù)取一定值（即峰值折射率一定），分析了缺陷層的個數(shù)對缺陷模的影響，其次，用缺陷層的消光系數(shù)來降低或消除缺陷模對透射率的影響。參考文獻(xiàn)［13］～參考文獻(xiàn)［16］中的研究表明，缺陷的各個參量對各種形式的1維函數(shù)型光子晶體的缺陷模及電場分布都有影響，但都沒有涉及到非缺陷層的參量對缺陷模的影響。為了探討正弦函數(shù)的折射率系數(shù)對1維正弦型函數(shù)光子晶體缺陷模的影響，作者先把正弦型函數(shù)折射率介質(zhì)層離散化［17］，用平均折射率等效為每一小層的折射率，再用傳輸矩陣法［18］計算正弦型函數(shù)光子晶體的透射率，分析各個系數(shù)對缺陷模的影響。結(jié)果表明，各個系數(shù)對缺陷模的影響程度有所不同。這為光子晶體的設(shè)計提供一定的理論依據(jù)。

1 理論模型與計算方法

1維光子晶體（AB）mC（BA）m的結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中m表示周期數(shù)。令光波沿著z方向傳播，圖中A和B兩種介質(zhì)是折射率與空間坐標(biāo)z有關(guān)的正弦型函數(shù)介質(zhì)，而缺陷層C是常規(guī)介質(zhì)。A是高折射率介質(zhì)，而B是低折射率介質(zhì)，A介質(zhì)和B介質(zhì)的折射率分別由下面兩個式子表示：

式中，lA和lB分別是A和B介質(zhì)的幾何厚度，nA（0）和nB（0）分別是A和B介質(zhì)起始端的折射率，A1和A2分別是A介質(zhì)和B介質(zhì)的折射率系數(shù)。

計算過程中，對于常規(guī)介質(zhì)層，直接采用傳輸矩陣［18］表示光波在介質(zhì)中的傳輸特性；而對于折射率隨空間坐標(biāo)z按正弦函數(shù)規(guī)律變化的介質(zhì)層，先把介質(zhì)離散化［17］，即把每半個周期分成j小層，每小層的幾何厚度為（或），用每一小層的平均折射率等效為該小層的折射率，離散化后，每小層的光學(xué)傳輸特性用傳輸矩陣表示，故用傳輸矩陣法［18］計算透射率。

2 數(shù)值計算結(jié)果與分析

參量選取參照參考文獻(xiàn)［16］，即高折射率介質(zhì)A、低折射率介質(zhì)B起始端的折射率統(tǒng)一取nA（0）＝3.37和nB（0）＝1.544，缺陷C的折射率統(tǒng)一取nC＝4.8，周期數(shù)統(tǒng)一取m＝5。假設(shè)所有介質(zhì)都是非鐵磁性材料。在MATLAB 7.0環(huán)境下編程計算透射率，計算過程中角頻率ω對中心角頻率ω0歸一化，表示為

2.1 高折射率介質(zhì)為正弦型函數(shù)介質(zhì)

考慮高折射率介質(zhì)A的折射率隨空間坐標(biāo)z按正弦函數(shù)規(guī)律變化，介質(zhì)B和介質(zhì)C為常規(guī)介質(zhì)，即A2＝0。取B介質(zhì)和C介質(zhì)的光學(xué)厚度都為而對折射率按正弦函數(shù)規(guī)律變化的高折射率介質(zhì)A，令（λ為中心波長），且在參量A變01化時，A介質(zhì)的幾何厚度始終保持不變；每個A層離散化為20層（即j＝20）。令光波垂直入射，則TE和TM波的透射譜一樣。圖2中給出了折射率系數(shù)A1分別取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6和0.7時的透射譜。當(dāng)A1＝0時，nA（z）≡nA（0），表示高折射率介質(zhì)A也為常規(guī)介質(zhì)。圖2a和圖2b分別對應(yīng)于所取參量下第一禁帶和第二禁帶的透射率與歸一化角頻率的關(guān)系。由圖2可知，在所取參量下，所有介質(zhì)都為常規(guī)折射率介質(zhì)（即圖中A1＝0的情況）時，第一、二禁帶分別出現(xiàn)了1個透射峰，即為缺陷模，缺陷模分別位于ω／ω0＝0.5和ω／ω0＝1.5的地方。由圖2可知，隨著高折射率介質(zhì)的折射率系數(shù)A1的增大，這兩個禁帶的中心都發(fā)生紅移，缺陷模也發(fā)生紅移，但是缺陷模的紅移速率慢于禁帶的紅移速率，故當(dāng)A1增大到較大時，缺陷模會消失；比較圖2a和2b可以發(fā)現(xiàn)，第一禁帶內(nèi)的缺陷模紅移的速率慢于第二禁帶內(nèi)缺陷模的紅移速率，但是由于第二禁帶紅移速度比較快，因此第二禁帶內(nèi)的缺陷模消失得比較早。

Fig.2 Transmission spectrum of 1-D sine function photonic crystals when A is sine function medium

2.2 低折射率介質(zhì)為正弦型函數(shù)介質(zhì)

考慮低折射率介質(zhì)B的折射率隨空間坐標(biāo)z按正弦函數(shù)規(guī)律變化，介質(zhì)A和介質(zhì)C為常規(guī)介質(zhì)，即A1＝0。取介質(zhì)A和介質(zhì)C的光學(xué)厚度都為λ0／2，而對折射率按正弦函數(shù)規(guī)律變化的低折射率介質(zhì)B，令nB（0）lB＝λ0／2（λ0為中心波長），且在參量A2變化時，B介質(zhì)的幾何厚度始終保持不變；每個B層離散化為20層（即j＝20）。令光波垂直入射。圖3中給出了折射率系數(shù)A2分別取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6和0.7時的透射譜。當(dāng)A2＝0時，nB（z）≡nB（0），表示低折射率介質(zhì)B也為常規(guī)介質(zhì)。圖3a和圖3b中分別對應(yīng)于所取參量下第一禁帶和第二禁帶的透射率與歸一化角頻率的關(guān)系。由圖3可知，在所取參量下，所有介質(zhì)都為常規(guī)折射率介質(zhì)（即圖中A2＝0的情況）時，第一、二禁帶分別出現(xiàn)了一個透射峰，即為缺陷模，缺陷模分別位于ω／ω0＝0.5和ω／ω0＝1.5的地方，隨著低折射率介質(zhì)的折射率系數(shù)A2增大，禁帶及缺陷模都發(fā)生紅移，且A2進(jìn)一步增大會導(dǎo)致缺陷模消失，這些現(xiàn)象與圖2類似。

Fig.3 Transmission spectrum of 1-D sine function photonic crystals when B is sine function medium

2.3 綜合比較

在本文中所取的函數(shù)形式下，高折射率介質(zhì)A和低折射率介質(zhì)B的峰值折射率分別為nA（0）＋A1和nB（0）＋A2，折射率系數(shù)A1或A2增大意味著峰值折射率增大。由圖2和圖3可知，對于1維正弦型函數(shù)光子晶體，無論是高折射率介質(zhì)A還是低折射率介質(zhì)B的折射率系數(shù)增大，也即峰值折射率增大，禁帶內(nèi)的缺陷模都會發(fā)生紅移。但相同參量下不同禁帶內(nèi)的缺陷模紅移量有所不同，同一禁帶內(nèi)的缺陷模在不同參量下的紅移量也不同。

令光波垂直入射。為了比較高、低折射率介質(zhì)A和B的峰值折射率對不同禁帶內(nèi)缺陷模頻移的影響，把折射率按正弦規(guī)律變化的介質(zhì)進(jìn)行離散化，再用傳輸矩陣法計算不同折射率系數(shù)下的透射率，得到不同禁帶內(nèi)缺陷模的歸一化角頻率與折射率系數(shù)A1或A2的關(guān)系如圖4所示。具體計算中所取的兩種參量見下。

Fig.4 Comparison of the frequency of defect modes with different coefficients of refractive indexes A1（or A2）

第1組：nA（0）lA＝nB（0）lB＝nClC＝λ0／2（lC是缺陷C的幾何厚度），對應(yīng)常規(guī)1維光子晶體，這時歸一化角頻率凡是滿足ω／ω0＝0.5（2k＋1）（k＝0，1，2，…）的附近都有以該歸一化角頻率為中心的禁帶，禁帶的中心頻率處都有一透射峰，即缺陷模；分別令高、低折射率介質(zhì)為正弦型函數(shù)介質(zhì)，保持幾何厚度不變，逐漸增大相應(yīng)的折射率系數(shù)A1或A2，分別得到每個禁帶內(nèi)缺陷模的歸一化角頻率，計算中取j＝20。

第2組：nA（0）lA＝nB（0）lB＝nClC＝λ0／4，對應(yīng)常規(guī)1維光子晶體，這時歸一化角頻率凡是能夠滿足ω／ω0＝2k＋1（k＝0，1，2，3，…）的附近都有以該歸一化角頻率為中心的禁帶，禁帶的中心頻率處都有一透射峰，即缺陷模；也分別令高、低折射率介質(zhì)為正弦型函數(shù)介質(zhì)，保持幾何厚度不變，逐漸增大相應(yīng)的折射率系數(shù)A1或A2，分別得到每個禁帶內(nèi)缺陷模的歸一化角頻率，取j＝20。圖4中，“◇”形曲線都對應(yīng)于高折射率介質(zhì)A為正弦型函數(shù)介質(zhì)的情況，而“△”形曲線都對應(yīng)于低折射率介質(zhì)B為正弦型函數(shù)介質(zhì)的情況。圖4的每個禁帶內(nèi)的兩條曲線中，“◇”形曲線始終比“△”形曲線平坦，即同一個禁帶內(nèi)的缺陷模，低折射率介質(zhì)B的峰值折射率對缺陷模的頻移影響更顯著；同一組線型曲線中，歸一化角頻率越大，缺陷模的頻移曲線越陡，也就是說峰值折射率對不同頻率處缺陷模的影響程度不一致，頻率越高，峰值折射率的影響越顯著。

值得注意的是，圖4中不同曲線的數(shù)據(jù)數(shù)不相同，這是因為隨著折射率系數(shù)的增大，禁帶和缺陷模都發(fā)生紅移，而禁帶頻移速率比缺陷?？欤瑢?dǎo)致缺陷模消失，由于不同禁帶內(nèi)缺陷模紅移的程度不一致，有的禁帶內(nèi)的缺陷模消失得早，故能取的數(shù)據(jù)個數(shù)不一致；另外，隨著折射率系數(shù)的增大，會出現(xiàn)新的禁帶，新增的禁帶內(nèi)的缺陷模也會隨折射率系數(shù)的增大而發(fā)生紅移。

3 結(jié) 論

研究了含常規(guī)折射率介質(zhì)缺陷1維正弦型函數(shù)光子晶體的缺陷模頻移特性。高折射率介質(zhì)A和低折射率介質(zhì)B的正弦函數(shù)的折射率系數(shù)A1和A2都對缺陷模的位置有影響；隨著系數(shù)的增大，即折射率的峰值增大，缺陷模發(fā)生紅移，且頻率越高，缺陷模紅移現(xiàn)象越顯著；高、低折射率介質(zhì)中，低折射率介質(zhì)B的峰值折射率使缺陷模紅移的效果更顯著。

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Effect of peak refractive index on defect modes of sine function photonic crystals

XIONG Cuixiu1，DENG Yangbao1，DENG Shuguang1，WANG Jingyan2
（1.College of Communication and Electronic Engineering，Hunan City University，Yiyang 413000，China；2.School of Mathematicas，Baoshan College，Baoshan 678000，China）

In order to investigate effect of the peak refractive index on the defect modes of1-D sine function photonic crystals，the sine function medium was discretized at first，then the transmission spectrum of the 1-D sine function photonic crystal（AB）mC（BA）mwas computed by applying the method of optical transmission matrix，and the effect of peak refractive index of sine function medium on defect modes was analyzed.The results show that the defect modes are redshifted with the increasing of peak refractive index，and the higher the frequency is，the more obvious the red-shift of defect modes is.The obvious effect of frequency shift of defect modes results from the increasing of the peak refractive index of low refractive index medium.The results have a certain reference value for the design of photonic crystal.

optoelectronics；defect mode red-shift；discretization of medium；transfer matrix method

O474

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.06.020

1001-3806（2014）06-0817-05

湖南省自然科學(xué)基金資助項目（14JJ6043）；湖南省益陽市科技計劃資助項目（2012JZ09）

熊翠秀（1980-），女，講師，碩士，現(xiàn)主要從事光學(xué)方面的研究。

E-mail：xiongcuixiu＠163.com

2014-01-02；

2014-01-15