童曉麗， 劉曉俊

（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093）

零點(diǎn)位于直線上的亞純函數(shù)的正規(guī)定則

童曉麗， 劉曉俊

（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093）

討論了亞純函數(shù)的零點(diǎn)分布在直線上的亞純函數(shù)的正規(guī)性，得到：設(shè)F是定義在單位圓盤D上的亞純函數(shù)族，若存在M≥0，使得對(duì)于F中任意的亞純函數(shù)f滿足f的零點(diǎn)分布在一直線上，其極點(diǎn)重級(jí)m≥3（m∈?+），且f′（z）不取1，當(dāng)f取值0時(shí)，f′（z）的模不大于M，則F在區(qū)域D內(nèi)是正規(guī)的.

亞純函數(shù)；零點(diǎn)；正規(guī)族

1 問(wèn)題的提出

Bloch原理曾經(jīng)提出：設(shè)P是一個(gè)亞純函數(shù)的性質(zhì)，若亞純函數(shù)f在復(fù)平面?上滿足性質(zhì)P，即〈f，?〉∈P，則必有f≡常數(shù).那么對(duì)于區(qū)域D上的亞純函數(shù)族F，它的每一個(gè)元素f在區(qū)域D上滿足性質(zhì)P，即〈f，D〉∈P，則F在區(qū)域D上正規(guī).例如，可取性質(zhì)1為：P1=｛f≠0，f（k）≠1，k∈?+｝，1959年，Hayman［1］證明了如下的Picard型定理：

定理1設(shè)f為復(fù)平面?上的亞純函數(shù)，若f∈P1，則f≡常數(shù).

相應(yīng)地，在1979年顧永興［2］證明了對(duì)應(yīng)的正規(guī)定則：

定理2設(shè)F為區(qū)域D??內(nèi)的亞純函數(shù)族，k≥1是正整數(shù)，若對(duì)于任意f∈F，f∈P1，則F在D內(nèi)正規(guī).

由此可見，上述性質(zhì)1滿足Bloch原理.再例如，取性質(zhì)2為：P2=｛f的零點(diǎn)重級(jí)≥k+1，其極點(diǎn)均為重級(jí)，f（k）≠1｝，1998年王躍飛等［3］證明了定理3和定理4.

定理3設(shè)f（z）是開平面上的有窮級(jí)亞純函數(shù)，k≥1是正整數(shù)，若f（z）滿足f∈P2，則f≡常數(shù).

定理4設(shè)F為區(qū)域D??內(nèi)的亞純函數(shù)族，k≥1是正整數(shù)，若對(duì)于任意f∈F，f∈P2，則F在D內(nèi)正規(guī).

同樣，上述性質(zhì)2也滿足Bloch原理.

最近，常建明［4］將定理1中的限制條件“f（k）≠1”減弱為“f（k）-1有有限多個(gè)零點(diǎn)”，得到了定理5和定理6.

定理5設(shè)F為D內(nèi)的非零亞純函數(shù)族，k為正整數(shù)，如果對(duì)任意f∈F，滿足f（k）-1至多有k個(gè)零點(diǎn)（不計(jì)重級(jí)），則F在D內(nèi)正規(guī).

定理6設(shè)F為D內(nèi)的非零亞純函數(shù)族，k為正整數(shù)，如果對(duì)任意f∈F，f（k）-1有至多k+1個(gè)零點(diǎn)（不計(jì)重級(jí)），設(shè)存在ε，滿足0＜ε≤1，使得對(duì)任意f∈F，f（k）-1有k+1個(gè)可判別的單零點(diǎn)z1，z2，…，zk+1，并且滿足

則F在D內(nèi)正規(guī).

本文從另一方面考慮函數(shù)的正規(guī)性，將定理1中的限制條件“f（z）≠0”減弱為“f的零點(diǎn)分布在一條直線上”，得到結(jié)果為：

定理7設(shè)F是定義在單位圓盤D上的亞純函數(shù)族，若存在M≥0，使得對(duì)于任意f∈F，有

b.f的零點(diǎn)分布在一直線上；

c.f的極點(diǎn)重級(jí)m≥3；

d.f′（z）≠1，則F在區(qū)域D內(nèi)是正規(guī)的.

2 主要例子

例1設(shè)fn（z）=n（ez-1），，易見fn（z）的零點(diǎn)為zk，n=2kπi，k∈?，位于虛軸上，故zk，n∈D.因?yàn)閒′n（z）=n ez，若，但當(dāng)n充分大時(shí)，zm，n?D.顯然｛fn（z）｝在D上不正規(guī).

注1例1說(shuō)明定理7的條件是必要的.

注2例2［5］說(shuō)明定理7的條件“f的極點(diǎn)均為重級(jí)極點(diǎn)”是必要的.

注2例2、例3說(shuō)明定理7中的條件“f的極點(diǎn)重級(jí)≥3”是不能減弱的.

以上說(shuō)明定理7中的條件“f的零點(diǎn)分布在一直線上”是必要的.

3 引 理

引理1［6］設(shè)F是單位圓盤上的亞純函數(shù)，k≥1是正整數(shù).F中每個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)重級(jí)至少為k，且存在A≥1，使得對(duì)任意f∈F，當(dāng)f（z）=0時(shí)，有.若F在z0處不正規(guī)，則對(duì)任意0≤ α≤k，必存在

a.點(diǎn)列zn→z0；

b.正數(shù)列ρn→0+；

引理2［7］設(shè)f為復(fù)平面上的非常數(shù)亞純函數(shù)，b為非零復(fù)數(shù)，k為一正整數(shù)，則f或f（k）-b有零點(diǎn)；若f為超越亞純函數(shù)，則f或f（k）-b有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn).

引理4［8］若實(shí)函數(shù)f（x）滿足如下條件：

a.f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；

b.f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；

c.f（a）=f（b），則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′（ξ）=0.

4 定理7的證明

證明若存在z0∈D，使得F在點(diǎn)z0處不正規(guī).由引理1，存在點(diǎn)列zn∈D，zn→z0，函數(shù)列fn∈F以及正數(shù)列ρn→0+，使得在?上

式中，g（ζ）為復(fù)平面?上的非常值有窮級(jí)亞純函數(shù)，并且g＃（ζ）≤g＃（0）=M+1.

所以斷言：

a.g′（ζ）≠1；

b.g（ζ）的零點(diǎn)分布在同一直線上.

假設(shè)存在ζ0∈D使得g′（ζ0）=1，斷言g′（ζ）?1，否則g（ζ）=ζ-ζ1.因?yàn)?，矛?因此由Hurwitz定理，存在ζn，ζn→ζ0，使得對(duì)于充分大的n，有g(shù)′（ζn）=1，即f′n（zn+ρnζn）=1，與f′（z）≠1相矛盾.故斷言a成立.

下證斷言b.不妨設(shè)g至少有3個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)ζ1，ζ2，ζ3是g的任意3個(gè)相異的零點(diǎn).由式（1）和Hurwitz定理知：對(duì)于δ＞0，存在點(diǎn)列ζn，i∈Dδ（ζi），i=1，2，3，當(dāng)n充分大時(shí)有則fn（zn+ρnζn，i）=0.由條件知f的零點(diǎn)分布在一直線上，可得到tn為實(shí)常數(shù)，即

式中，a，b（≠0），c為有窮復(fù)數(shù)；m為正整數(shù).

因?yàn)間的極點(diǎn)均為重級(jí)極點(diǎn)，由式（2）可得g至少有3個(gè)不同的零點(diǎn).

設(shè)g的零點(diǎn)分布在直線L上：ξ=α+βζ，其中α，β∈?，ζ∈（-∞，+∞）.令G（ζ）=g（α+βζ），那么G（ζ）的零點(diǎn)分布在實(shí)軸上.所以

當(dāng)deg（H（ζ））≥4，此時(shí)分兩種情形進(jìn)行討論：

情形1H（ζ）僅有單級(jí)零點(diǎn).

情形2H（ζ）有重級(jí)零點(diǎn).

此時(shí)斷言H（ζ）有重級(jí)零點(diǎn)，且僅有一個(gè)二重零點(diǎn)，可設(shè)ζ0是H（ζ）的重級(jí)零點(diǎn)，由

故F在D內(nèi)正規(guī).

［1］ Hayman W K.Meromorphic functions［M］.Oxford：Clarendon Press，1964.

［2］ Gu Y X.A normal criterion of meromorphic families［J］.Scientia Sinica Math，1979（1）：267-274.

［3］ Wang Y F，F(xiàn)ang M L.Picard values and normal families of meromerphic function with zeros［J］.Acta Math Sinica，1998，14（1）：17-26.

［4］ Chang J M.Normality and quasinormality of zero-free meromorphic functions［J］.Acta Math Sinica，2012，28（4）：707-716.

［5］ Nevo S，Pang X C，Zalcman L.Quasinormality and meromorphic functions with multiple zeros［J］.Anal Math，2007，101（1）：1-23.

［6］ Pang X C，Zalcman L.Normal families and shared values［J］.Bull London Math Soc，2002，32（3）：325 -331.

［7］ 顧永興，龐學(xué)誠(chéng)，方明亮.正規(guī)族理論及其應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2007.

［8］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［9］ 孟耀霞，劉曉俊.涉及微分多項(xiàng)式的亞純函數(shù)族正規(guī)定則［J］.上海理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，35（1）：87-90.

（編輯：金 虹）

A Normal Criterion of Meromorphic Functions Whose Zeros Distribute on Some Straight Lines

TONGXiao-li， LIUXiao-jun
（College of Science，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

The normality of meromorphic functions whose zeros distribute on some straight lines was discussed and it is proved：let F be a family of meromorphic functions on a unit disk D，all of whose poles have multiplicity at least m，where m≥3 is an integer.If there exists M≥0，such that for each f∈F，all zeros of f distribute on a straight line，f′（z）≠1，z∈D andthen F is normal on D.

meromorphic functions；zeros；normal family

O 174.52

A

2013-05-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11371139）；數(shù)學(xué)天元專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目（11226095）

童曉麗（1988-），女，碩士研究生.研究方向：復(fù)分析.E-mail：tongxiaoli5063261＠163.com

劉曉?。?982-），男，副教授.研究方向：復(fù)分析.E-mail：xiaojunliu2007＠hotmail.com

1007-6735（2014）04-0362-04

10.13255／j.cnki.jusst.2014.04.011