許艷紅，薛紅，王曉東

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710048)

隨機利率下的脆弱期權(quán)定價

許艷紅，薛紅，王曉東

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710048)

以信用風(fēng)險模型為基礎(chǔ)，假定股票價格、公司價值和公司負債均服從幾何分數(shù)布朗運動，利率滿足由分數(shù)布朗運動驅(qū)動的Vasicek模型，建立了隨機利率下脆弱期權(quán)定價數(shù)學(xué)模型.利用分數(shù)布朗運動隨機分析理論和保險精算方法，推導(dǎo)出脆弱期權(quán)的定價公式.

分數(shù)布朗運動;隨機利率;保險精算方法;脆弱期權(quán)

0 引言

脆弱期權(quán)是指含有信用風(fēng)險的期權(quán)，Merton［1］首先建立了關(guān)于信用風(fēng)險的結(jié)構(gòu)化模型，結(jié)合相對于其負債公司資產(chǎn)價值模型推導(dǎo)違約風(fēng)險價格，Johnson和Stulz［2］首次探討了含有信用風(fēng)險的期權(quán)的定價問題，Hull和White［3］通過構(gòu)造一個二項格狀圖求得了脆弱期權(quán)的價格，Klein［4］假設(shè)信用風(fēng)險與標的資產(chǎn)價值相關(guān)得到了脆弱期權(quán)的定價公式.在以往的期權(quán)定價研究中，人們普遍假設(shè)資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動，但是近年來大量的研究表明，資產(chǎn)收益率的分布具有“尖峰厚尾”的特征，股價變化也不是隨機游走，而是呈現(xiàn)不同程度的相關(guān)性，分數(shù)布朗運動恰好具有這些優(yōu)點，因此用分數(shù)布朗運動來刻畫資產(chǎn)價格的變化，更符合市場的實際情況.黃玲君、周圣武［5］等在公司負債為常數(shù)的條件下給出了股價服從分數(shù)布朗運動的脆弱歐式期權(quán)定價公式，潘堅［6］利用偏微分方程方法給出了分數(shù)布朗運動下脆弱歐式期權(quán)的定價公式.同時，在以往的期權(quán)定價模型中，一個重要的假設(shè)是利率為常數(shù)，然而，在現(xiàn)實市場中，利率在一段時間內(nèi)常常表現(xiàn)出一定的隨機性.很多學(xué)者對此進行了大量的相關(guān)研究，周海林［7］等給出了隨機利率條件下的歐式期權(quán)定價，薛紅［8］在利率滿足由分數(shù)布朗運動驅(qū)動的Hull-White模型下給出了可轉(zhuǎn)換債券的定價公式.

1998 年Mogens Bladt等［9］首次提出期權(quán)定價的保險精算方法，該方法將期權(quán)定價問題轉(zhuǎn)化為等價的公平保費問題.本文假定股票價格、公司價值和公司負債均服從幾何分數(shù)布朗運動，利率滿足由分數(shù)布朗運動驅(qū)動的Vasicek模型，利用分數(shù)布朗運動隨機分析理論和保險精算方法給出了脆弱期權(quán)的定價公式.

1 金融市場數(shù)學(xué)模型

假設(shè)股票價格為S(t)，公司資產(chǎn)市場價值為V(t)，公司負債為D(t).設(shè)X(T)為公司在T時刻承諾支付給債權(quán)人的金額，若公司自始至終都具有清償能力，那么公司的債權(quán)人在T時刻取得償付額X(T).若在T時刻V(T)＜D(T)，則發(fā)生違約，此時公司的債權(quán)人取得的償付額就是X′(T)=X(T)V(T)/D(T)，則在T時刻，公司的實際支付額可以表示為

假定股票價格S(t)，公司價值V(t)，公司負債D(t)和利率r(t)分別滿足隨機微分方程

2 脆弱期權(quán)的定價

定義1［12］隨機過程{S(t)，t≥0}在［0，T］上的期望收益率β(u)定義為

引理2［12］隨機過程{S(t)，t≥0}在［0，T］上的期望收益率βS(u)滿足βS(u)=μS，公司價值{V(t)，t≥0}和公司負債{D(t)，t≥0}在［0，T］上的期望收益率βV(u)，βD(u)分別滿足βV(u)=μV，βD(u)=μD.

定義2在到期日T時刻，承諾支付額為X(T)=(S(T)-K)+，而出現(xiàn)違約或破產(chǎn)時的實際支付額為X(T)=(V(T)/D(T))(S(T)-K)+的脆弱看漲期權(quán)的保險精算價格定義為

其中股票價格S(T)，公司價值V(T)和公司負債D(T)分別用期望收益率βS(u)，βV(u)，βD(u)貼現(xiàn)，執(zhí)行價格K用隨機利率r(s)貼現(xiàn).

定理2在到期日T時刻，承諾支付額為X(T)=(S(T)-K)+而出現(xiàn)違約或破產(chǎn)時的實際支付額為X(T)=(V(T)/D(T))(S(T)-K)+的脆弱看漲期權(quán)的價格為

結(jié)合式(12)～(15)即可得式(11).

推論1當b=0，σr=0，a→0且σD→0時，可得分數(shù)布朗運動下的脆弱期權(quán)定價公式，與文獻［5］結(jié)果一致.

推論2當b=0，σr=0，a→0且H=1/2時，可簡化為文獻［4］中的結(jié)果.

推論3當b=0，σr=0，a→0，H=1/2，且σD→0時，則退化為文獻［2］中的結(jié)果.

［1］MERTON R.On the pricing of corporate debt：The risk structure of interest rates［J］.Journal of Finance，1974，29(2)：449-470.

［2］JOHNSON H，STULZ R.The pricing of options under default risk［J］.Journal of Finance，1987，42(2)：267-280.

［3］HULL J M，WHITE A.The impact of default risk on the prices of options and other derivative securities［J］.Journal of Banking＆Finance，1995，19(2)：299-323.

［4］KLEIN P.Pricing Black-Scholes options with correlated credit risk［J］.Journal of Banking and Finance，1996，20(7)：1121-1129.

［5］黃玲君，周圣武.股價服從分數(shù)布朗運動的脆弱歐式期權(quán)定價［J］.云南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，32(2)：109-112.

［6］潘堅.分數(shù)次布朗運動下脆弱歐式期權(quán)定價的新解法［J］.贛南師范學(xué)院學(xué)報，2011，33(3)：14-18.

［7］周海林，吳鑫育，高凌云.隨機利率條件下的歐式期權(quán)定價［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2011，31(4)：729-734.

［8］薛紅，李軍，吳曉蕊.隨機利率下可轉(zhuǎn)換債券定價［J］.西安工程大學(xué)學(xué)報，2011，25(1)：119-121.

［9］BLADT M，RYDBERG H T.An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumptions［J］.Insurance：Mathematics and Economics，1998，22(1)：65-73.

［10］GUASONI P.No arbitrage under transaction costs with fractional Brownian motion and beyond［J］.Mathematical Finance，2006，16(3)：569-582.

［11］BIAGINI F，HU Y，OKSENDALl B，et al.Stochastic calculus for fractional Brownian notion and applications［M］.New York： Springer，2008.

［12］XUE H，LU J，WANG X.Swap option pricing model in fractional jump-diffusion environment［C］//Proceedings 2011 World Congress on Engineering and Technology，Shanghai，China，2011：336-339.

Vulnerable option pricing under stochastic interest rate

XU Yan-hong，XUE Hong，WANG Xiao-dong

(School of Science，Xi'an Polytechnic University，Xi'an 710048，China)

Based on the credit risk model，assume that stock price，corporate value and corporate debt obey the geometric fractional Brownian motion，interest rate satisfies the Vasicek model driven by fractional Brownian motion.The vulnerable option pricing mathematic model under stochastic interest rate is built，the pricing formulae for vulnerable option is obtained by fractional Brownian motion stochastic analysis theory and the actuarial approach.

fractional Brownian motion;stochastic interest rate;actuarial approach;vulnerable option

1674-649X(2014)01-0133-07

F 830.9;O 211.6

A

編輯、校對：武暉

2013-06-21

陜西省教育廳自然科學(xué)專項基金項目(12JK0862)

薛紅(1964-)，男，山西省萬榮縣人，西安工程大學(xué)教授，博士.E-mail：xuehonghong@sohu.com