劉宿城 周雒維 盧偉國 畢 凱

（重慶大學(xué)輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶 400044）

1 引言

開關(guān)功率變換系統(tǒng)本質(zhì)上是一類特殊的強(qiáng)非線性系統(tǒng)，從數(shù)學(xué)描述上表現(xiàn)為右邊非連續(xù)的分段化線性狀態(tài)方程[1]。當(dāng)開關(guān)頻率遠(yuǎn)高于系統(tǒng)的截止頻率和擾動(dòng)頻率時(shí)，可通過狀態(tài)平均化的思想忽略高頻分量，建立系統(tǒng)的低頻小信號(hào)動(dòng)態(tài)模型，借助線性系統(tǒng)理論工具（Bode圖，Nyquist曲線，根軌跡等），以此進(jìn)行控制系統(tǒng)的分析與綜合[2]。然而，小信號(hào)模型雖能準(zhǔn)確描述系統(tǒng)在小信號(hào)低頻擾動(dòng)下的響應(yīng)特性，卻無法準(zhǔn)確反應(yīng)系統(tǒng)的大信號(hào)（如起動(dòng)過程、負(fù)載突變等）行為，甚至小信號(hào)穩(wěn)定設(shè)計(jì)的變換器在大信號(hào)擾動(dòng)下會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象[3,4]。

對(duì)于一個(gè)閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)來說，穩(wěn)定性是其基本要求。大信號(hào)穩(wěn)定性研究的是系統(tǒng)在大擾動(dòng)情況下（如電壓突變、負(fù)載切換、控制器飽和甚至系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的變化）的收斂行為。現(xiàn)有研究大信號(hào)穩(wěn)定性最簡單也最常見的方法是時(shí)域仿真法，其機(jī)理是對(duì)描述變換器動(dòng)態(tài)行為的非線性微分方程進(jìn)行數(shù)值求解。由于電力電子系統(tǒng)中負(fù)荷和開關(guān)過程的時(shí)間常數(shù)相差非常大，造成這種病態(tài)系統(tǒng)的計(jì)算時(shí)間較長。雖然通過先進(jìn)的建模手段和仿真算法可以縮短仿真時(shí)間[5-7]，但是時(shí)域仿真得到的結(jié)果物理意義不清晰，對(duì)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)作用不夠明顯。另一方面，解析法中具有代表性的有雅可比矩陣求解法[8]、虛擬平衡點(diǎn)法[3]以及Lyapunov法[11]等。雅可比矩陣求解法與虛擬平衡點(diǎn)法均從系統(tǒng)的大信號(hào)狀態(tài)方程出發(fā)，以反饋系數(shù)組成占空比的約束表達(dá)式，然后通過求解系統(tǒng)的雅可比矩陣或是直接求解狀態(tài)方程，以此確定系統(tǒng)參數(shù)在大信號(hào)變化下的穩(wěn)定邊界。而對(duì)穩(wěn)定區(qū)域與控制參數(shù)的解析分析方面，通常將控制器簡化為純比例結(jié)構(gòu)，側(cè)重于反饋增益的取值對(duì)穩(wěn)定區(qū)域的影響[3,9,10]。與前述兩種解析法不同，Lyapunov穩(wěn)定性理論是衡量動(dòng)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般性基礎(chǔ)理論，目前已被廣泛用于電力電子系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計(jì)[12-16]?；贚yapunov直接法，根據(jù)系統(tǒng)的本質(zhì)特性構(gòu)建合適的Lyapunov能量泛函，可以估計(jì)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的收斂區(qū)域。由于Lyapunov函數(shù)的非唯一性，不同 Lyapunov函數(shù)得到的收斂區(qū)域也會(huì)不同[17]，針對(duì)特定系統(tǒng)建立最優(yōu)Lyapunov函數(shù)尚存挑戰(zhàn)。

本文提出從 DC-DC開關(guān)變換器的大信號(hào)擾動(dòng)模型出發(fā)，借助范數(shù)不等式推導(dǎo)出變換器的充分穩(wěn)定條件，建立起小信號(hào)環(huán)路增益與大信號(hào)穩(wěn)定性之間的關(guān)系，并以此估計(jì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域。文中以Boost變換器為例，說明該方法的推導(dǎo)過程，并以仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證方法的有效性。

2 Boost變換器的大信號(hào)擾動(dòng)模型

圖1為典型平均電流模式控制的Boost變換器原理框圖。假設(shè)Boost變換器工作在電感電流連續(xù)導(dǎo)電模式，即開關(guān)功率管S與二極管VD互補(bǔ)工作，變換器可描述為如下分段線性狀態(tài)方程組

式中，x為狀態(tài)向量；A1,2、B1,2為系數(shù)矩陣；Ts為開關(guān)周期；d則代表占空比。

圖1 典型Boost變換器Fig.1 Typical Boost converter

根據(jù)線性紋波近似法[2]，上述分段線性方程組可近似描述為開關(guān)周期平均意義下的連續(xù)狀態(tài)方程

將狀態(tài)變量和控制變量看作為穩(wěn)態(tài)值與擾動(dòng)的疊加，即

式中，X和?x分別為狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)量和擾動(dòng)量；D和?d分別為占空比變量的穩(wěn)態(tài)量和擾動(dòng)量。

將式（3）代入式（2），整理得到

式中

注意到，式（4）中方程式右邊由于存在控制輸入（占空比）和狀態(tài)變量的乘積，因此描述的是典型的雙線性系統(tǒng)。

代入圖1中的電路元器件和變量符號(hào)，可得到如下Boost變換器的狀態(tài)方程

上述方程即對(duì)應(yīng)圖2所示的Boost變換器在大信號(hào)擾動(dòng)下的電路模型。至此，在建模的過程中并未做小信號(hào)近似，因此該模型適用于大信號(hào)分析。值得一提的是，若忽略其中的雙線性項(xiàng)，則可得到傳統(tǒng)的小信號(hào)線性模型。

圖2 Boost變換器的大信號(hào)擾動(dòng)電路模型Fig.2 Large-signal perturbed circuit model of the Boost converter

為驗(yàn)證該模型的正確性，進(jìn)行了電路仿真實(shí)驗(yàn)，其中 Boost電路的主要參數(shù)為：L=120μH，C=300μF，R=12?，RL=250m?，Vg=12V，VO=24V；仿真結(jié)果如圖3所示，若忽略開關(guān)紋波分量，所建大信號(hào)模型與實(shí)際電路的瞬態(tài)響應(yīng)基本一致。

圖3 大信號(hào)模型驗(yàn)證結(jié)果Fig.3 Verification of the large-signal model

3 環(huán)路增益設(shè)計(jì)

在進(jìn)行大信號(hào)分析之前，有必要先設(shè)計(jì) Boost變換器的環(huán)路增益以確保系統(tǒng)的小信號(hào)控制性能。根據(jù)圖1，可推導(dǎo)平均電流模式控制 Boost變換器的控制框圖如圖4所示。平均電流模式為雙環(huán)控制結(jié)構(gòu)：內(nèi)環(huán)為電流環(huán)（控制器為Fi），起到對(duì)參考電流快速跟蹤的作用；外環(huán)為電壓環(huán)（控制器為Fv），其作用是為電流內(nèi)環(huán)提供參考信號(hào)以控制輸出期望電壓值。雙環(huán)控制結(jié)構(gòu)相比單環(huán)控制具有更優(yōu)越的動(dòng)態(tài)性能，因此被廣泛應(yīng)用于高功率因數(shù)整流器以及高動(dòng)態(tài)升壓調(diào)節(jié)器中。

圖4 平均電流控制Boost變換器的控制框圖Fig.4 Control block diagram for the average-current mode controlled Boost converter

根據(jù)圖4中控制結(jié)構(gòu)框圖，將電流內(nèi)環(huán)等效為電壓外環(huán)的一個(gè)獨(dú)立子環(huán)節(jié)，那么等效后的電壓外環(huán)路增益為

式中，電流環(huán)路增益 Ti(s)=RiFi(s)FmGid(s)，Ri、Fi(s)、Fm和 Gid(s)分別為電流采樣增益、電流控制器、PWM調(diào)制器增益和占空比到電感電流的傳遞函數(shù)；電壓環(huán)路增益Tv(s)=βvFv(s)FmFi(s)Gvd(s)，其中βv、Fv(s)和Gvd(s)分別為電壓采樣增益、電壓控制器和控制到輸出電壓的傳遞函數(shù)。

這里，電流環(huán)和電壓環(huán)的控制器均采用II型補(bǔ)償器，即單零點(diǎn)-雙極點(diǎn)補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，其傳遞函數(shù)分別為

假設(shè)Boost變換器的額定功率為50W，其主電路參數(shù)見下表，那么相應(yīng)電流補(bǔ)償器和電壓補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)參數(shù)分別為：ωi=9 627，ωiz=2 273，ωip=502 300，Ri=0.11，F(xiàn)m=1/3.2；βv=0.208，ωv=5 895,ωvz=377，ωvp=256 800。補(bǔ)償后的等效電壓外環(huán)路增益如圖5所示，其中圖5a為仿真計(jì)算結(jié)果，圖5b為借助頻率響應(yīng)分析儀（型號(hào)為Model 3120）進(jìn)行電路實(shí)驗(yàn)測得的結(jié)果，二者基本吻合。從圖中可以看出，等效電壓環(huán)路增益 To(s)的截止頻率為 1.2kHz，相位裕度和增益裕度分別為 80°和 7.5dB。另外，圖5也表明，雙環(huán)控制下的Boost變換器在低頻段內(nèi)的頻域響應(yīng)近似表現(xiàn)為一階系統(tǒng)行為。

表 Boost變換器的主電路參數(shù)Tab.Parameters for the Boost power stage

圖5 補(bǔ)償后的等效外環(huán)路增益Fig.5 Compensated loop gains for the equivalent outer voltage loop

4 穩(wěn)定區(qū)域估計(jì)

根據(jù)前述推導(dǎo)，Boost變換器的大信號(hào)擾動(dòng)模型為雙線性系統(tǒng)形式，而且傳遞函數(shù)模型中存在右半平面零點(diǎn)，使得基于小信號(hào)設(shè)計(jì)的 Boost變換器在大信號(hào)擾動(dòng)下易于出現(xiàn)不穩(wěn)定行為。本節(jié)將根據(jù)范數(shù)不等式確定變換器的充分穩(wěn)定區(qū)域，并以此揭示小信號(hào)環(huán)路設(shè)計(jì)對(duì)穩(wěn)定區(qū)域的影響。

由 Boost變換器的控制結(jié)構(gòu)框圖（見圖3）可知，控制占空比有如下關(guān)系

式中，dz為輸入擾動(dòng)，代表電壓外環(huán)的初始狀態(tài)。

同時(shí)，根據(jù)式（5）可得出

將式（10）與式（11）代入式（9）得到

將式（12）整理為

對(duì)式（13）應(yīng)用范數(shù)三角不等式，然后整理得到如下關(guān)系

根據(jù)上式，閉環(huán)控制 Boost變換器達(dá)到穩(wěn)定的充分條件是要求占空比表達(dá)式的分母為大于零的正數(shù)，即滿足不等式

式（15）表明了 Boost變換器控制系統(tǒng)大信號(hào)穩(wěn)定的充分條件，可用來估計(jì)系統(tǒng)的大信號(hào)穩(wěn)定區(qū)域。

根據(jù)上文中提供的系統(tǒng)參數(shù)，可以算出|Tv/(1+Ti+Tv)|=1.08，|Ti/(1+Ti+Tv)|=2.16，結(jié)合式（15）可以畫出Boost變換器的充分穩(wěn)定區(qū)域如圖6所示，圖中陰影部分表示狀態(tài)變量能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)所能允許的最大擾動(dòng)范圍。另外，可以推測，不同的環(huán)路增益會(huì)得到不同的穩(wěn)定區(qū)域。

將環(huán)路增益作為變量，根據(jù)圖6結(jié)果可計(jì)算出不同環(huán)路增益下的穩(wěn)定區(qū)域面積S為

圖6 閉環(huán)控制Boost變換器的預(yù)測穩(wěn)定區(qū)域Fig.6 Predicted stability region for the closed-loop controlled Boost converter

由式（16）可進(jìn)一步得到如下關(guān)系

根據(jù)式（17），環(huán)路增益的取值對(duì)面積S和擴(kuò)展面積S′的影響均為正定單調(diào)，因此可用擴(kuò)展面積S′近似分析電壓環(huán)和電流環(huán)增益分別對(duì)實(shí)際穩(wěn)定區(qū)域S的影響。圖7即為擴(kuò)展穩(wěn)定區(qū)域面積S′與環(huán)路增益的關(guān)系。

圖7 穩(wěn)定區(qū)域與環(huán)路增益的關(guān)系Fig.7 Relationship between the stability region and the loop gains

可以看出，在電流環(huán)增益（電壓環(huán)增益）較小的位置，隨著電壓環(huán)增益（電流環(huán)增益）的增加，穩(wěn)定區(qū)域也隨之?dāng)U大；而在電流環(huán)增益與電壓環(huán)增益所占比例相當(dāng)時(shí)（圖中中間區(qū)域），穩(wěn)定區(qū)域最小，穩(wěn)定性也最差。因此，在小信號(hào)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)之上，可借助此方法估計(jì)控制器的大信號(hào)穩(wěn)定區(qū)域，以修正控制器參數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性再設(shè)計(jì)，而不需要改變控制器結(jié)構(gòu)。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證前述分析的有效性，根據(jù)設(shè)計(jì)參數(shù)搭建了 Boost變換器實(shí)驗(yàn)樣機(jī)，其中主電路參數(shù)取值與上文表中所列參數(shù)一致，控制電路參數(shù)也與第 3節(jié)中仿真取值基本一致。圖8為Boost變換器在額定條件下的穩(wěn)態(tài)實(shí)驗(yàn)波形，其中 vGS為開關(guān)驅(qū)動(dòng)脈沖，開關(guān)頻率為 110 kHz，vg與 vO分別為輸入電壓與輸出電壓，iL為電感電流，其額定值為4.5A。

圖8 Boost電路的穩(wěn)態(tài)波形Fig.8 Steady state waveforms for the Boost converter

根據(jù)第4節(jié)中穩(wěn)定區(qū)域估計(jì)結(jié)果，選取圖6中穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)、外兩點(diǎn)Poutr與Pinr作為測試點(diǎn)對(duì)Boost變換器進(jìn)行了動(dòng)態(tài)電路實(shí)驗(yàn)，其中 Pinr點(diǎn)處狀態(tài)變量即電容電壓與電感電流的取值為（20V,6.8A），而Poutr點(diǎn)處狀態(tài)變量的取值為（20V,7.8A）。圖9a即為Boost變換器在20V輸出時(shí)，電感電流從額定值4.5～6.8A（點(diǎn)Pinr處的電感電流值）脈沖切換下的時(shí)域動(dòng)態(tài)響應(yīng)波形，圖9b則為圖9a中虛線框內(nèi)波形的局部放大效果。從圖中可以看出，在此種情況下，Boost變換器能始終通過過渡過程達(dá)到期望的單周期穩(wěn)定狀態(tài)。

圖9 電感電流從額定值至Pinr處的電流切換下的動(dòng)態(tài)波形Fig.9 Dynamic waveforms for the inductive current step from the nominal value to that of Pinr

圖10a為Boost變換器在20V輸出時(shí)，電感電流從額定值 4.5～7.8A（點(diǎn) Poutr處的電感電流值）脈沖切換下的時(shí)域動(dòng)態(tài)響應(yīng)波形，圖10b同樣為圖10a中虛線框內(nèi)波形的局部放大效果?？梢钥闯觯朔N狀態(tài)下，Boost變換器從額定電感電流至 Poutr處電感電流跳變后無法達(dá)到單周期穩(wěn)態(tài)，開關(guān)驅(qū)動(dòng)脈沖呈現(xiàn)多開關(guān)周期狀態(tài)，此時(shí)的電感電流出現(xiàn)較大幅度振蕩，電流紋波值為穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的4倍左右，同樣也導(dǎo)致輸出電壓紋波量的增加。電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果與前述理論分析基本一致，較好地驗(yàn)證了穩(wěn)定區(qū)域估計(jì)的有效性。

圖10 從電感電流額定值至Poutr處的電流切換下的動(dòng)態(tài)波形Fig.10 Dynamic waveforms for the inductive current step from the nominal value to that of Poutr

6 結(jié)論

本文以平均電流控制 Boost變換器為研究對(duì)象，提出一種估計(jì)閉環(huán)控制系統(tǒng)的大信號(hào)穩(wěn)定區(qū)域的解析方法。通過推導(dǎo)占空比的表達(dá)式，借助范數(shù)三角不等式，可得出閉環(huán)控制 Boost變換器在大信號(hào)擾動(dòng)下的充分穩(wěn)定條件。電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。

考慮到開關(guān)功率變換器的主流分析方法與設(shè)計(jì)仍然是基于系統(tǒng)靜態(tài)工作點(diǎn)上取小信號(hào)模型的思路，本文中得到的結(jié)果可用于開關(guān)功率變換器的穩(wěn)定性再設(shè)計(jì)。通過解析分析小信號(hào)環(huán)路對(duì)大信號(hào)穩(wěn)定性的影響，以期達(dá)到小信號(hào)與大信號(hào)的綜合設(shè)計(jì)。后續(xù)研究工作將細(xì)化控制器各參數(shù)對(duì)穩(wěn)定區(qū)域的影響，并以動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)定性的最佳折中為設(shè)計(jì)導(dǎo)向，對(duì)所提方法進(jìn)行優(yōu)化。

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