楊 明，郝 亮，徐殿國

基于自適應陷波濾波器的在線機械諧振抑制

楊 明，郝 亮，徐殿國

（哈爾濱工業(yè)大學電氣工程及自動化學院，150001哈爾濱）

針對不斷拓展的伺服系統(tǒng)帶寬將會超過系統(tǒng)固有機械諧振頻率而引發(fā)機械諧振，克服原本被忽略的彈性部件的影響以提高伺服系統(tǒng)性能，采用自適應陷波濾波器進行在線機械諧振抑制.首先對雙慣量彈性負載模型進行理論分析，解釋及驗證了機械諧振機理及現(xiàn)象.通過FFT法實時分析電磁轉(zhuǎn)矩電流，可以在線快速辨識機械諧振特性，并以此辨識結(jié)果在線自動整定陷波濾波器參數(shù)，快速有效地抑制機械諧振.實驗結(jié)果表明，該方案能夠在線自動抑制彈性負載引起的諧振問題.離散化的高剛度諧振系統(tǒng)將以自然諧振頻率持續(xù)振蕩，而在線自適應濾波器無需對控制器參數(shù)進行改變，即可滿足系統(tǒng)高剛度控制的同時抑制諧振.

伺服系統(tǒng)；彈性負載；在線機械諧振抑制；陷波濾波器；FFT

伺服驅(qū)動系統(tǒng)的機械傳動部分經(jīng)常使用傳動軸、變速器、聯(lián)軸器等傳動裝置連接電機和負載.而實際傳動裝置并不是理想剛體，存在一定的彈性，通常會在系統(tǒng)中引發(fā)機械諧振［1］.由于伺服系統(tǒng)動態(tài)性能的不斷提升，原本被忽略的傳動裝置中彈性部件的影響越發(fā)顯著.特別針對中高壓大功率電機驅(qū)動系統(tǒng)，如果諧振抑制不當將產(chǎn)生斷軸等嚴重事故，后果不言而喻.因此，機械振蕩的研究以及抑制方法已經(jīng)成為提高伺服驅(qū)動系統(tǒng)性能的一個重要課題.

早期避免機械諧振的方法很簡單，就是降低速度給定的階躍值或變化斜率，但這必然會限制系統(tǒng)的頻響帶寬［2］.目前各種研究方案主要針對僅測量驅(qū)動電機側(cè)的位置、轉(zhuǎn)速信息，傳動裝置及負載側(cè)無需增加傳感器.眾多的研究方案可大致分為兩類:被動方式和主動方式.

主動方式就是主動改變控制器參數(shù)或控制器結(jié)構(gòu)用以消除諧振影響.主動方式可分為單純PI控制（雙自由度PI控制、RRC）［3-4］、基于PI的狀態(tài)反饋控制［5-6］、其他高級算法應用［7-9］等多種方案.

被動方式就是在速度環(huán)輸出與電流環(huán)給定之間插入陷波濾波器，而控制系統(tǒng)其他設(shè)計不變.利用陷波濾波器衰減指定頻率的幅值而對其他頻率沒有影響的特點，而且其參數(shù)設(shè)計物理概念明確、簡單易行，串入多個陷波濾波器即可抑制多個諧振頻率，是目前大規(guī)模商用伺服系統(tǒng)普遍采用的方案［10-12］.但這種方法需要高效的諧振頻譜辨識方法來準確辨識諧振頻率.離線抑制方式首先要通過掃頻或其他方法獲得系統(tǒng)Bode圖，然后通過分析諧振頻率特性來設(shè)置濾波器參數(shù).這種方法需要占用很多時間而且還要額外運行一次系統(tǒng).文獻［13］詳細闡述了定點算法中所遇到的如延時、量化誤差等各種數(shù)字信號處理問題.陷波濾波器的通帶范圍過寬會導致較大的相角滯后，為了增加抑制深度而采用窄通帶設(shè)計又導致受諧振頻帶辨識影響加劇，因此，文獻［14］采用自適應陷波濾波器設(shè)計方案，該方案能夠快速辨識諧振中心頻率并以此調(diào)整濾波器參數(shù)設(shè)計.盡管陷波濾波器的零極點數(shù)目相等對通帶范圍造成的相角滯后較小，但還是附加了相角滯后，文獻［15］通過相角補償追求零相位滯后，取得一定的效果.而文獻［16］引入一FIR濾波器代替?zhèn)鹘y(tǒng)陷波濾波器，并且只需調(diào)整1個參數(shù)即可實現(xiàn)，但受諧振辨識影響巨大而且不能消除多個諧振點，因此實際抑制效果一般.

本文深入分析離散化后諧振系統(tǒng)的振蕩情況，并提出了一種在永磁交流伺服系統(tǒng)中的在線機械諧振抑制方法.通過FFT的辨識結(jié)果自動設(shè)置陷波濾波器的參數(shù).這種方法能夠抑制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)階段由控制器飽和而激發(fā)的持續(xù)振蕩.首先分析諧振機理，尤其對離散化后高剛度系統(tǒng)的諧振進行研究；通過采用FFT直接分析轉(zhuǎn)矩電流的方法，系統(tǒng)的諧振頻率可以在線辨識出來.基于諧振特性的辨識結(jié)果系統(tǒng)自動設(shè)置陷波濾波器的參數(shù).仿真及實驗的結(jié)果表明，該算法可以保證系統(tǒng)高剛度控制的同時在線準確獲取系統(tǒng)的諧振頻率及諧振幅值，并自動整定陷波濾波器來有效抑制機械諧振.

1 機械諧振的建模與分析

1.1 機械諧振的建模

在實際系統(tǒng)中，傳動裝置的剛度是有限制的，并具有一定彈性.每個機械裝置都有自己的彈性及諧振頻率.通常傳動裝置引起的機械諧振頻率集中在100～2 000 Hz之間［17］，如圖1所示.

圖1 不同因素引起的機械諧振

電機、傳動機構(gòu)、執(zhí)行機構(gòu)組成的典型雙慣量機械傳動系統(tǒng)如圖2所示．電機和執(zhí)行機構(gòu)通過傳動軸系聯(lián)接，傳動軸系具有一定的抗扭剛度K和阻尼系數(shù)Cw．當傳動軸系發(fā)生扭轉(zhuǎn)形變時軸系將產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩Tw，此轉(zhuǎn)矩對于電機來說可看作是電機的負載轉(zhuǎn)矩，而對于執(zhí)行機構(gòu)來說可看作是驅(qū)動轉(zhuǎn)矩．伺服驅(qū)動器控制電機運行，為電機的轉(zhuǎn)軸提供電磁轉(zhuǎn)矩Te．在電機端電磁轉(zhuǎn)矩Te和傳動軸系轉(zhuǎn)矩Tw作用于轉(zhuǎn)動慣量為J1、阻尼系數(shù)為C1的電機轉(zhuǎn)軸．在執(zhí)行機構(gòu)端，執(zhí)行機構(gòu)具有大小為J2的等效轉(zhuǎn)動慣量以及阻尼系數(shù)C2，傳動軸系轉(zhuǎn)矩Tw與負載轉(zhuǎn)矩Tl共同作用于執(zhí)行機構(gòu)最終決定了負載轉(zhuǎn)速．根據(jù)以上分析可建立微分方程組．

圖2 典型雙慣量機械傳動裝置模型

由于系統(tǒng)中的阻尼系數(shù)很小，可忽略阻尼系數(shù)從而對系統(tǒng)模型進行化簡.對化簡后的系統(tǒng)微分方程組進行拉普拉斯變換，得

根據(jù)式（2）可推導出如圖3所示的機械傳動裝置模型框圖，進而推導出電機轉(zhuǎn)速與電機電磁轉(zhuǎn)矩之間的傳遞函數(shù)為

圖3 傳動裝置模型框圖

從式（3）可以得出，機械諧振點在傳遞函數(shù)上引入了一對共軛的零極點，共軛零點為抗諧振頻率點ARF（anti-resonance frequency），共軛極點為自然振動頻率點NTF（naturaltorsional frequency）.零極點的存在使得系統(tǒng)在特定頻率下的響應會比較強烈，這就會形成機械諧振現(xiàn)象.通過式（3）可以得到兩個諧振點具體頻率及慣量比R的關(guān)系為

1.2 機械諧振的影響及特性

跟理想剛性傳動裝置相比，實際傳動裝置中電機轉(zhuǎn)速受閉環(huán)控制基本穩(wěn)定，但負載轉(zhuǎn)速以及電機電磁轉(zhuǎn)矩都出現(xiàn)嚴重振蕩.

圖4為傳動軸系中的電機與負載間的轉(zhuǎn)速差振蕩仿真結(jié)果.扭轉(zhuǎn)振蕩的存在會損害機械傳動裝置，降低使用壽命.

圖4 扭轉(zhuǎn)振蕩的仿真結(jié)果

從圖4可以看出，振蕩頻率明顯分為兩段:當速度調(diào)節(jié)器飽和，系統(tǒng)處于速度控制開環(huán)階段，此時電機和負載側(cè)都以NTF頻率振蕩；當電機速度達到給定速度，速度調(diào)節(jié)器退飽和，進入速度控制閉環(huán)階段，電機和負載速度振蕩頻率為ARF頻率.

此外，由于實際伺服驅(qū)動系統(tǒng)均是數(shù)字化控制系統(tǒng)，所以也要考慮離散對系統(tǒng)諧振現(xiàn)象的影響.離散后系統(tǒng)穩(wěn)定裕度減小，甚至會發(fā)生失穩(wěn).在這里用增益裕度GM來表示，在速度開環(huán)情況下，速度控制器比例增益Kp決定增益裕度.當GM小于零，閉環(huán)離散系統(tǒng)發(fā)散.圖5是兩種Kp情況下的速度開環(huán)Bode圖.

圖5 不同Kp的開環(huán)離散系統(tǒng)Bode圖

離散系統(tǒng)和機械諧振的共同影響會使系統(tǒng)在原本穩(wěn)定范圍的Kp下就會發(fā)生振蕩現(xiàn)象；但由于受到速度調(diào)節(jié)器的飽和限幅，使得系統(tǒng)持續(xù)穩(wěn)定的振蕩．穩(wěn)定裕度的降低而導致穩(wěn)定振蕩的主要因素有兩點:離散化及諧振特性．

圖6表示的是在不同采樣頻率下的諧振系統(tǒng)的電機階躍時的諧振現(xiàn)象，可以發(fā)現(xiàn)采樣頻率較低的離散系統(tǒng)在剛度較大的情況下會發(fā)生持續(xù)振蕩的頻率，該頻率已不是ARF諧振頻率.

圖6 不同采樣頻率的影響

這種持續(xù)振蕩的頻率才是在線諧振抑制的主要頻率.圖7為不同離散化頻率時的對轉(zhuǎn)速差的FFT分解.從圖7中可以看出，不同采樣頻率下都會有NTF的諧振頻率存在，而且附加的頻率為fs／2．（此樣例中設(shè)定fNTF=140 Hz）由于數(shù)據(jù)保持原理，實際系統(tǒng)在采樣后會有一個低通濾波器進行濾波，所以在實際中的該情況下只體現(xiàn)NTF諧振頻率.

圖7 不同采樣頻率對諧振頻率成分的影響

所以通過上述分析可知，對于實際數(shù)字化控制系統(tǒng)，在剛度較高的情況下，無論暫態(tài)還是穩(wěn)態(tài)都以NTF頻率在諧振.

2 機械諧振的在線抑制

2.1 陷波濾波器的設(shè)計

常規(guī)的速度控制器即便實現(xiàn)最優(yōu)自整定參數(shù)也只能做到消除系統(tǒng)固有主導極點，并不能消除由機械諧振引起的欠阻尼振蕩極點，所以需要采用陷波濾波器的方式來消除系統(tǒng)中的諧振極點，諧振系統(tǒng)根軌跡見圖8，其中電流內(nèi)環(huán)簡化成一階慣性環(huán)節(jié).陷波濾波器的設(shè)計主要是通過自身零點對消諧振引入的主導共軛極點.

圖8 諧振系統(tǒng)根軌跡

為了能方便地對陷波濾波器的作用頻率、陷波帶寬以及陷波深度進行調(diào)節(jié)，可以選用改進型雙T網(wǎng)絡(luò)陷波濾波器.圖9是傳統(tǒng)陷波濾波器與改進型陷波濾波器的對比.從圖9可以看出，與傳統(tǒng)陷波濾波器相比，改進型陷波濾波器在作用頻率前的衰減要緩慢.

圖9 兩種濾波器的對比

改進型陷波濾波器的傳遞函數(shù)為

根據(jù)濾波器作用的頻率點ω0、陷波帶寬參數(shù)k1以及陷波深度參數(shù)k23個變量可決定濾波器的a、b、c 3個系數(shù)．式（6）表示的是陷波帶寬Bw以及陷波深度Dp與系數(shù)k1和k2之間的關(guān)系.

通過調(diào)節(jié)陷波頻率ω0改變陷波濾波器的零點，來對消系統(tǒng)的諧振極點．可以通過調(diào)節(jié)陷波帶寬k1來調(diào)整附加極點的位置，當k1=2時，附加極點會全部在實軸上，根軌跡見圖10．

圖11表示的是不同參數(shù)的變化對濾波器的影響.從圖11（b）、11（c）可以看出，過大的陷波帶寬及過深的陷波深度會導致ω0附近其他頻率信號的相角滯后（超前）現(xiàn)象加劇.所以在保證濾波帶寬以及深度足夠的情況下，盡可能減小濾波帶寬和深度，從而降低相頻特性的惡化.

圖10 k1=2時的系統(tǒng)根軌跡

圖11 不同濾波器參數(shù)的影響

將陷波濾波器串入速度環(huán)控制環(huán)路中，對轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器輸出的電流環(huán)給定信號進行濾波，抑制電機電流的振蕩，進而對電機輸出電磁力矩產(chǎn)生抑制，最終達到抑制機械諧振的目的．在設(shè)計濾波器參數(shù)時，應首先確定系統(tǒng)的諧振頻率ω0．之后針對諧振頻率確定其陷波帶寬參數(shù)k1和陷波深度k2．

2.2 頻率特性的在線辨識

本文主要研究的是基于頻率抽取算法的快速傅里葉變換.通過圖蝶形算法原理，實現(xiàn)基于頻率抽取算法的快速傅里葉變換，完成信號的分析.

在實際的數(shù)字控制系統(tǒng)中，采樣結(jié)果可以看成有限長非周期序列x［n］，序列x［n］及其傅里葉頻譜X［k］的變換式分別為

可以推導出，離散傅里葉變換形式為

單個快速傅里葉變換運算單元運算表達式為

但此時的頻譜存儲序列X［k］需要重新按位倒序放置．根據(jù)采樣定理，如果信號的頻譜最高頻率為fmax，為了保證頻譜分析結(jié)果不發(fā)生頻譜混疊，采樣頻率fs不能小于最高頻率fmax的2倍．變換后的頻譜X［k］點數(shù)為N，則X［0］至X［N／2］表示［0，fs／2］頻率區(qū)間內(nèi)的信號離散頻譜．

在永磁交流伺服系統(tǒng)中，經(jīng)常采用的是磁場定向控制（FOC）.在矢量控制中，將電機定子繞組電流轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)軸系下的交軸電流以及直軸電流.其中，直軸電流表示電機電流的勵磁分量，交軸電流表示電機電流的轉(zhuǎn)矩分量.也就是說，在對電機電流進行矢量解耦之后，交軸電流僅與電機的輸出轉(zhuǎn)矩有關(guān)，二者呈線性關(guān)系.由于機械諧振引發(fā)了電機轉(zhuǎn)速振蕩以及轉(zhuǎn)矩的振蕩，因此通過直接分析電機的交軸電流，即可分析電機轉(zhuǎn)矩的頻率特征，進而分析系統(tǒng)的頻率特征.該在線辨識算法只需要對交軸電流進行采樣分析，運算量小，運算速度快，能夠直接反應出系統(tǒng)中存在的機械諧振現(xiàn)象.圖12是機械諧振抑制結(jié)構(gòu)框圖.

在線機械諧振抑制主要有采樣，計算，獲取諧振點，計算諧振頻率4步.啟動機械諧振自動抑制功能后，開始對進入穩(wěn)態(tài)的交軸電流信號進行采樣.每一個速度環(huán)采樣周期完成一次交軸電流信號采樣，把每次采樣數(shù)據(jù)存儲到寄存器中等待整體計算.當采樣點數(shù)達到快速傅里葉運算預定的點數(shù)時，采樣結(jié)束并開始進行FFT蝶形運算.獲取諧振點需要排除低頻段的頻譜數(shù)據(jù)并分析最為可能的極值點信息來自動配置陷波濾波器.

圖12 在線機械諧振抑制結(jié)構(gòu)框圖

3 仿真與實驗

3.1 仿真結(jié)果

仿真及實物實驗中所使用的永磁同步伺服系統(tǒng)的參數(shù)如下:額定功率為0.75 kW，額定轉(zhuǎn)矩為2.39 N·m，額定電流為4 A，電機慣量為11.0× 10-4N·m2，傳動軸彈性系數(shù)為560 N·m·rad-1.令系統(tǒng)的負載轉(zhuǎn)矩類型為摩擦型轉(zhuǎn)矩，大小為1 N·m.系統(tǒng)給定信號為2 000 r／min的階躍.

圖13表示的是對離散系統(tǒng)機械諧振現(xiàn)象及其抑制的仿真圖.采用的方法是在線FFT辨識并自動配置濾波器.圖13（a）、13（b）分別為濾波前后電機轉(zhuǎn)速與負載轉(zhuǎn)速的階躍響應曲線.可以看出經(jīng)過濾波后，電機轉(zhuǎn)速的振蕩受到抑制.圖13（c）中，濾波前后電機階躍響應的電磁轉(zhuǎn)矩曲線也表明濾波器抑制了電機交軸電流中的振蕩，進而抑制了電機電磁轉(zhuǎn)矩的振蕩，最終實現(xiàn)機械諧振的抑制［18］.

圖13 機械諧振抑制仿真結(jié)果

3.2 實驗結(jié)果

機械諧振抑制平臺實物照片如圖14所示.左側(cè)是實驗室的電機及750 W伺服驅(qū)動器，右側(cè)是作為對比及負載的電機.在電機與負載間有一根可以產(chǎn)生機械諧振的傳動軸.諧振頻率可以通過附加慣量盤或更換其他傳動軸的方法改變.控制器核心芯片為TMS320F2812.

圖14 雙慣量系統(tǒng)實物照片

由于采樣頻率為1 kHz，系統(tǒng)可以獲得的頻率為0～500 Hz.越多的采樣點數(shù)，諧振頻率的分析精度就越高，但數(shù)據(jù)需要的存儲空間及程序運行時間就越長.最終選擇1 024點的采樣點數(shù).圖15表示的是系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)振蕩中的交軸電流的FFT分析結(jié)果.在線計算的總時長為1 087 ms.圖16為開啟自整定陷波濾波器的速度階躍的現(xiàn)象.

圖15 交軸電流FFT分析結(jié)果

圖16 在線抑制機械諧振實驗波形

圖16（a）為200 r／min下的轉(zhuǎn)速及交軸電流結(jié)果，圖16（b）為2 000 r／min下的轉(zhuǎn)速及交軸電流結(jié)果.從圖15可以看出，分析出的161 Hz的諧振頻率與圖16的時域結(jié)果吻合.無論速度給定的階躍值如何，只要控制器剛度覆蓋自然諧振頻率，系統(tǒng)就會產(chǎn)生持續(xù)振蕩.通過采樣和FFT分析，自動辨識的數(shù)據(jù)輸入給陷波濾波器，系統(tǒng)開啟抑制功能.可以看出開啟在線自整定濾波器后的抑制效果明顯，系統(tǒng)保持了高剛度控制的同時，能夠有效地抑制機械諧振.

4 結(jié) 論

1）重點分析了離散系統(tǒng)的諧振狀況，并提出了一種基于自適應陷波濾波器的在線機械諧振抑制方法.

2）分析了帶彈性傳動裝置的雙慣量系統(tǒng)機械諧振的模型與機理.暫態(tài)系統(tǒng)諧振頻率為NTF；連續(xù)系統(tǒng)速度控制閉環(huán)狀態(tài)下的諧振頻率為ARF；離散系統(tǒng)中，如果控制系統(tǒng)的剛度大，由于諧振特性和速度控制器飽和的影響，系統(tǒng)會以NTF頻率在穩(wěn)態(tài)持續(xù)振蕩.

3）采用FFT技術(shù)在線分析出諧振特征可以不用考慮是何種類型的諧振頻率.根據(jù)諧振特征的辨識結(jié)果在線自動整定陷波濾波器參數(shù).仿真及實驗結(jié)果證實了該在線自適應濾波器可保證高剛度控制的同時自動抑制機械諧振.

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（編輯 魏希柱）

Online suppression of mechanical resonance based on adapting notch filter

YANG Ming，HAO Liang，XU Dianguo
（School of Electrical Engineering and Automation，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China）

To improve the performance of servo system，online suppression of mechanical resonance based on adapting notch filter is adopted.The expansion of bandwidth in servo system will exceed the natural mechanical resonance frequency.The originally ignored influence of elastic components will be more obvious，and mechanical resonance is caused.Firstly，the theoretical analysis of 2-mass model with elasticity load is carried out.The results of simulation verify this resonance mechanism and phenomenon.By FFT method to real-time analyze the electromagnetic torque current，resonance characteristic can be identified online and quickly. Based on identification result of resonance characteristic，parameters of notch filter can be online-set automatically.It can suppress mechanical resonance quickly and effectively.Experiment results show this method can online-suppress the resonance caused by elastic load automatically.Resonance system with high stiffness sustained oscillates at natural torsional frequency when the system is discretized.This method which uses adapting filter to suppress mechanical resonance doesn’t need to change the parameters of controller while high stiffness of control is satisfied.

servo system；torsional load；online suppression of mechanical resonance；notch filter；FFT

TM921

A

0367-6234（2014）04-0063-07

2013-05-15.

國家自然科學基金資助項目（61273147）；

臺達環(huán)境與教育基金會資助項目（DREK2012002）.

楊 明（1978—），男，博士，副教授；

徐殿國（1960—），男，教授，博士生導師.

楊 明，yangming＠hit.edu.cn.