楊淳偓， 魏立力

(寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計算機(jī)學(xué)院，寧夏銀川 750021)

0 引言

假設(shè)檢驗(yàn)作為應(yīng)用統(tǒng)計推斷和統(tǒng)計決策中一個非常重要的內(nèi)容，已發(fā)展了一套比較完善的理論[1].然而，如果在假設(shè)或觀測值中引入模糊概念，則將面臨很多新穎而又有趣的問題.

近年來，許多學(xué)者致力于模糊假設(shè)檢驗(yàn)問題的研究[2～11]，其中一個重要的方面是把模糊集理論與貝葉斯方法結(jié)合起來.Delgado等人[2]利用模糊集理論與貝葉斯方法，得到原假設(shè)的一個模糊拒絕域.Casals[3]研究了與[2]相同的問題，但其考慮的觀測信息也是模糊的.Taheri[4～5]等人研究了觀測數(shù)據(jù)是精確的而假設(shè)是模糊的模糊假設(shè)的貝葉斯檢驗(yàn).Saade[6]在決策過程中應(yīng)用了模糊化的貝葉斯準(zhǔn)則研究了二重假設(shè)檢驗(yàn)問題及模糊似然函數(shù).對于經(jīng)典的統(tǒng)計學(xué)問題，國內(nèi)有不少學(xué)者在研究，但是只有部分學(xué)者將模糊數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)結(jié)合起來做研究.魏立力等人[7～8]將模糊性引入到多重假設(shè)中，從貝葉斯決策的角度出發(fā)，在定數(shù)截尾樣本情形下，研究了兩參數(shù)指數(shù)分布中尺度參數(shù)的多重模糊假設(shè)檢驗(yàn)的貝葉斯方法.沈紅菊等人[9]研究了單參數(shù)指數(shù)分布中參數(shù)的多重模糊假設(shè)的貝葉斯檢驗(yàn).馬翠玲等人[10]研究了兩參數(shù)威布爾分布中尺度參數(shù)的多重模糊假設(shè)的貝葉斯檢驗(yàn).夏亞峰等人[11]研究了兩參數(shù)指數(shù)_威布爾分布中參數(shù)的多重模糊假設(shè)的貝葉斯檢驗(yàn).

艾拉姆咖分布[12]是俄羅斯在研究武器裝備的維修時間時引入的，此分布在裝備維修理論中占有非常重要的地位，其模糊假設(shè)通常有很好的解釋.本文在精確樣本情形下，考慮艾拉姆咖分布參數(shù)的多重模糊假設(shè)的貝葉斯檢驗(yàn).其中，使用的先驗(yàn)分布為Jeffreys先驗(yàn)和共軛先驗(yàn)分布，并且給出了數(shù)值例子.

1 預(yù)備知識

首先引入一些基本概念.為了避免可能的爭議，在這里強(qiáng)調(diào):先驗(yàn)分布是關(guān)于假設(shè)的真實(shí)性的先驗(yàn)信息，而隸屬函數(shù)僅是對于假設(shè)本身所描述概念的不確定性的一個反映.

設(shè)Θ為我們所考慮的參數(shù)空間，通常是Rn的一個子集.

稱為一個k重模糊假設(shè)(k≥2，且為自然數(shù))，記為(H0，H1，…，Hk－1).記A={a0，a1，…，ak－1}為行動空間，其中ai表示接受Hi(i=0，1，…，k－1)的行動.

設(shè)X=(X1，X2，…，Xn)是簡單隨機(jī)樣本，觀測值為x=(x1，x2，…，xn)，其中X的概率函數(shù)為f(x|θ)，θ∈Θ是未知參數(shù)，且有先驗(yàn)分布π(θ)，現(xiàn)要對 k 重模糊假設(shè) H0，H1，…，Hk－1做出判決，即選擇行動空間A中的一個行動.

由貝葉斯公式可知，在得到樣本x后，參數(shù)θ的后驗(yàn)分布為

其中，m(x)= ∫Θπ(θ)f(x|θ)dθ為樣本X的邊緣分布.

損失函數(shù)是指L(θ，a):Θ × A→R+，L(θ，a)表示參數(shù)真值為θ時采取行動a所造成的損失.從樣本空間X={x=(x1，x2，…，xn)}到行動空間A上的一個映射δ(x)稱為一個判決函數(shù).設(shè)D表示所有判決函數(shù)組成的判決函數(shù)類.其中，損失函數(shù)對樣本分布的期望值

稱為δ(·)的風(fēng)險函數(shù).風(fēng)險函數(shù)對先驗(yàn)分布π(θ)的期望.

稱為δ(·)的貝葉斯風(fēng)險.如果在決策函數(shù)類D中存在這樣的決策函數(shù)δ*(·)，使得.

則稱δ*(·)為貝葉斯風(fēng)險準(zhǔn)則下的最優(yōu)決策函數(shù)[13].

損失函數(shù)L(θ，δ(x))關(guān)于后驗(yàn)分布π(θ|x)的期望值稱為決策函數(shù)δ(·)的后驗(yàn)風(fēng)險.使后驗(yàn)風(fēng)險達(dá)到最小的決策函數(shù)稱為后驗(yàn)風(fēng)險準(zhǔn)則下的最優(yōu)決策函數(shù).

對于給定的決策問題和決策函數(shù)類D，如果給定的先驗(yàn)分布π(θ)使得貝葉斯風(fēng)險B(π，δ)滿足，則貝葉斯風(fēng)險準(zhǔn)則和后驗(yàn)風(fēng)險準(zhǔn)則等價[14].

2 艾拉姆咖分布參數(shù)多重模糊假設(shè)檢驗(yàn)的貝葉斯方法

假設(shè)總體的壽命分布為艾拉姆咖分布，其分布函數(shù)為

密度函數(shù)為

其中t0是參數(shù).

密度函數(shù)為

現(xiàn)在從總體X中抽取n個樣本進(jìn)行壽命試驗(yàn).引理1 θ的Jeffreys先驗(yàn)為證明: 由Jeffreys先驗(yàn)的定義直接可證.此時，后驗(yàn)分布為

引理2 倒咖瑪分布為θ的共軛先驗(yàn)分布.如果取倒咖瑪分布IGa(σ，λ)為θ的先驗(yàn)分布，則θ的后驗(yàn)分布為IGa(σ′，λ′)，其中σ′= σ +2n，λ′=

證明: 若θ的先驗(yàn)分布π(θ)=IGa(σ，λ)，則θ的后驗(yàn)分布為

現(xiàn)在我們從總體X中抽取n個樣本進(jìn)行壽命試驗(yàn).

為了研究k重模糊假設(shè)檢驗(yàn)問題(H0，H1，…，Hk－1)，使用如下的損失函數(shù)[15]:

其中 gi(θ)(i=0，1，…，k－1)為任意非負(fù)函數(shù)，gi(θ)的選取取決于試驗(yàn)者對錯誤接受Hi這一假設(shè)的敏感程度.

定理1 對于k重模糊假設(shè)檢驗(yàn)問題(H0，H1，…Hk－1)，如果取損失函數(shù)(7)，則接受Hi當(dāng)且僅當(dāng)

證明: 考慮決策函數(shù)δ(x)的貝葉斯風(fēng)險

由貝葉斯公式f(x|θ)π(θ)= π(θ|x)m(x)，m(x)

為X的邊緣密度函數(shù)，因而由Fubini定理，可得

其中

如果定理中的(8)式成立，則

因而B(π，ai)≤B(π，aj)，j≠i.即ai(接受Hi)為貝葉斯檢驗(yàn)法則.證畢.

特別的，如果在定理中g(shù)i≡C(常數(shù))，i=0，1，…，k－1，則式(8)等價于

假如把Hi理解為模糊事件，則(9)式說明貝葉斯檢驗(yàn)法則為接受使后驗(yàn)概率最大的假設(shè)Hi，這正是所謂的后驗(yàn)概率準(zhǔn)則.

推論1 若取Jeffreys先驗(yàn)πJ∝1/θ，θ＞ 0，則式(8)，(9)分別等價于

推論2 若取倒咖瑪分布為的共軛先驗(yàn)分布，則 θ的后驗(yàn)分布也是倒咖瑪分布，IGa(σ′，λ′)，其中那么式(8)，(9)分別等價于

3 數(shù)值算例

例1 設(shè)X=(X1，X2，…，X10)是來自艾拉姆咖分布(5)的簡單樣本，考慮如下三重模糊假設(shè):H0:θ比10較小，H1:θ大約為10，H2:θ比10 較大其隸屬函數(shù)分別為

取gi(θ)≡C(常數(shù))，記，則對于 Jeffreys先驗(yàn)，由推論1，需要計算

對共軛先驗(yàn)分布IGa(σ，λ)，超參數(shù)σ，λ需要事先確定，我們這里假設(shè) σ =0.5，λ =5，則由推論2，需要計算

對T=120，140，160，180，200，220，240 分別計算 αi(T)和 αi′(T)i=0，1，2，結(jié)果列入表 1.

表1 例1計算及檢驗(yàn)結(jié)果

通過表1可以看到，使用Jeffreys先驗(yàn)和共軛先驗(yàn)分布，其決策基本相同，說明貝葉斯檢驗(yàn)法則對兩種先驗(yàn)分布不敏感，具有一定穩(wěn)健性.

例2 (續(xù)例1)對于例1中的三重假設(shè)，選取損失函數(shù)為

對于Jeffreys先驗(yàn)，由推論1，需要計算

對共軛先驗(yàn)分布IGa(σ，λ)，超參數(shù)σ，λ需要事先確定，我們這里假設(shè) σ =0.5，λ =5，則由推論2，

需要計算

對T=120，140，160，180，200，220，240 分別計算α(ai|T)和α′(ai|T)i=0，1，2，結(jié)果列入表2.

比較表1和表2易知，當(dāng)T=140時，檢驗(yàn)結(jié)果發(fā)生了改變，這是因?yàn)槲覀冞x取了g0=20，g1=9，g2=9.說明我們對錯誤接受H0這一行動比較敏感，不能輕易接受H0.

表2 例2計算及檢驗(yàn)結(jié)果

[1]Lehmann E L.Testing Statisticalhypotheses(Second Ddition)[M].New York:John Wiley＆ Sons，1986.

[2]Delgado M，Verdegay J L，Vila M A.Testing Fuzzy Hypotheses:a Bayesian Approach[A].Gupt a M M，Kandel A，Bandler W，Kiszka J B.Approximate Reasoning in Expert Systems[C].Amsterdam:Elsevier，1985:307－316.

[3]Casals M R.Bayesian Testing of Fuzzy Parametric Hypotheses from Fuzzy Information[J].RAIRO Operations Research，1993，27(2):189－199.

[4]Taheri S M，Behboodian J.A Bayesian Approach to Fuzzy Hypotheses Testing[J].Fuzzy Sets and Systems，2001，123(1):39－48.

[5]Taheri S M，Behboodian J.Fuzzy Hypotheses Testing with Fuzzy Data:a Bayesian Approach[A].Lecture Notes in Artifical Intelligence 2275[C].Springer，2002:527－533

[6]Saade J J.Extension of Fuzzy Hypothesis Testing with Hybrid Data.Fuzzy Sets Systems，1994，63:57－71.

[7]魏立力，張文修.兩參數(shù)指數(shù)分布模型多重模糊假設(shè)檢驗(yàn)的貝葉斯方法[J].系統(tǒng)工程，2002，20(2):1－5.

[8]魏立力，張文修.多重模糊假設(shè)檢驗(yàn)的貝葉斯方法[J].工程數(shù)學(xué)報，2004，21(3):400－416.

[9]沈菊紅，魏立力.指數(shù)分布模型模糊假設(shè)檢驗(yàn)的貝葉斯方法[J].寧夏大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2005，26(1):26－29.

[10]馬翠玲，張德存，李彪.兩參數(shù)威布爾分布模型多重模糊假設(shè)檢驗(yàn)的貝葉斯方法[J].海軍航空工程學(xué)院學(xué)報，2009，24(1):97－100.

[11]夏亞峰，王瑞.兩參數(shù)指數(shù)－威布爾分布模型多重模糊假設(shè)檢驗(yàn)的貝葉斯方法[J].甘肅科學(xué)學(xué)報，2011，24(3):1－5.

[12]呂會強(qiáng)，高連華，陳春良.艾拉姆咖分布及其在保障性數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用[J].裝甲兵工程學(xué)院學(xué)報，2002，16(3):48－52.

[13]陳希孺.數(shù)理統(tǒng)計引論[M].北京:科學(xué)出版社，1997.

[14]范金成，吳可法，統(tǒng)計推斷導(dǎo)引[M].北京:科學(xué)出版社，2001.