姚 麗

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000)

0 引言

文獻(xiàn)[2]中稱“貝葉斯學(xué)派至今尚未證明總體分布p(x/θ)中的參數(shù)的任一經(jīng)典估計(jì)都存在一個(gè)先驗(yàn)分布，使得其貝葉斯估計(jì)就是該經(jīng)典估計(jì)”，這一命題現(xiàn)在仍未解決.由于位置參數(shù)族是實(shí)際中比較常見(jiàn)的一般性分布，例如方差已知時(shí)的正態(tài)分布N(θ，σ2)、均勻分布U(0，θ)、威布爾分布等具體分布都是其特例，并且最大似然估計(jì)是其主要的經(jīng)典估計(jì)方法，為此，在一個(gè)縮小的范圍內(nèi)探討命題真?zhèn)螌?duì)于最終解決問(wèn)題是有益的.本文證明了位置參數(shù)族中位置參數(shù)的最大似然估計(jì)，一定存在一個(gè)先驗(yàn)分布，使其貝葉斯估計(jì)就是該位置參數(shù)的最大似然估計(jì)的結(jié)論.

1 位置參數(shù)族的最大似然估計(jì)

設(shè)總體X的密度函數(shù)具有形式p(x－θ)，其樣本空間和參數(shù)空間皆為一維實(shí)數(shù)空間，具有這類密度函數(shù)的分布組成了位置參數(shù)族，其中，θ稱為位置參數(shù).

從總體X中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1，X2，…，Xn，得到 x1，x2，…，xn，則樣本的似然函數(shù):

對(duì)數(shù)似然函數(shù):

令

2 位置參數(shù)族的后驗(yàn)分布

定理1[2]: 當(dāng)θ為位置參數(shù)時(shí)，其先驗(yàn)分布可用貝葉斯假設(shè)作為無(wú)信息先驗(yàn)分布.

證明: 讓X移動(dòng)一個(gè)量c得到Y(jié)=X+c，讓位置參數(shù)也移動(dòng)一個(gè)量c得到η=θ+c.

則Y有密度函數(shù)p(y－η)且Y仍是位置參數(shù)族的成員，其樣本空間和參數(shù)空間仍是一維實(shí)數(shù)空間.

則(X，θ)問(wèn)題和(Y，η)問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu)完全相同，且θ與η具有相同的無(wú)信息先驗(yàn)分布，即π(τ)= π*(τ)，其中，π*(·)為η 的無(wú)信息先驗(yàn)分布.

由變換η=θ+c可以算的η的無(wú)信息先驗(yàn)分布為:

則 π(η)= π*(η)= π(η－ c)

令η =c，則有π(c)= π(0)，其中π(0)，為常數(shù).

又由于c具有任意性，故得位置參數(shù)θ的無(wú)信息先驗(yàn)分布π(θ)=d，d為某一常數(shù)，即當(dāng)θ為位置參數(shù)時(shí)，其先驗(yàn)分布可用貝葉斯假設(shè)作為無(wú)信息先驗(yàn)分布，證畢.

由定理1，取位置參數(shù)族中位置參數(shù)θ的先驗(yàn)密度π(θ)=d，其中，d為某一常數(shù)，則位置參數(shù)θ的后驗(yàn)分布

由(1)式知:

3 位置參數(shù)族中位置參數(shù)θ在取π(θ)=d時(shí)的貝葉斯估計(jì)

由文獻(xiàn)[2]知，位置參數(shù)θ的貝葉斯估計(jì)(最大后驗(yàn)估計(jì))就是使后驗(yàn)密度π(θ/x)達(dá)到最大值的θ的估計(jì)值，我們將其記為由(2)式可知，要想使位置參數(shù)θ的后驗(yàn)密度π(θ/x)達(dá)到最大值，只需要A(x)·d·L(θ)取得最大值，其中，A(x)為一個(gè)不依賴于θ的常數(shù)因子，且滿足如下條件:此時(shí)，位置參數(shù)θ的后驗(yàn)密度π(θ/x)達(dá)到最大值就等價(jià)于似然函數(shù)L(θ)達(dá)到最大值.那么，使后驗(yàn)密度π(θ/x)達(dá)到最大值的θ的估計(jì)值也就等于使似然函數(shù)達(dá)L(θ)到最大值的θ的估計(jì)值，即

4 結(jié) 論

本文以位置參數(shù)族為例，討論并證明了其位置參數(shù)θ的最大似然估計(jì)都存在一個(gè)先驗(yàn)密度為π(θ)=d的先驗(yàn)分布(d為某一確定常數(shù))，只要取得的d值能夠確保A(x)·d＞0，該位置參數(shù)θ的貝葉斯估計(jì)就是其最大似然估計(jì)，這一結(jié)論的確定有利于我們繼續(xù)研究貝葉斯統(tǒng)計(jì)中未解決的問(wèn)題.

[1]童麗娟.矩法估計(jì)與極大似然估計(jì)的比較[J].懷化學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，31(08):1671－9743.

[2]茆詩(shī)松.貝葉斯統(tǒng)計(jì)[M].北京:中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，1999.

[3]張堯庭，陳漢峰.貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷[M].北京:科學(xué)出版社，1991.

[4]茆詩(shī)松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社，2006.

[5]茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京:高等教育出版社，2008.