王 強(qiáng)，趙志誠(chéng)，桑 博(太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院，太原 030024)

分?jǐn)?shù)階微積分與整數(shù)階微積分誕生于同一時(shí)期，距今已有三百多年的歷史。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，分?jǐn)?shù)階微積分理論應(yīng)用到了許多研究領(lǐng)域，如：電化學(xué)[1]，熱力學(xué)[2]，生物學(xué)[3]，控制理論[4]等。研究表明，用分?jǐn)?shù)階微積分對(duì)實(shí)際動(dòng)態(tài)對(duì)象和過(guò)程建模的好處很明顯，分?jǐn)?shù)階模型具有更低的階數(shù)，更少的參數(shù)，更高的建模精度等優(yōu)點(diǎn)[5]，而且傳統(tǒng)的整數(shù)階系統(tǒng)模型是無(wú)法代替分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型的[6]。目前對(duì)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)辨識(shí)的研究尚處于初始階段，沒(méi)有統(tǒng)一的辨識(shí)方法。由于分?jǐn)?shù)階微積分的物理意義尚不能確定，目前幾乎所有的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)辨識(shí)方法均不考慮模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的辨識(shí)，均是通過(guò)先驗(yàn)知識(shí)或者整數(shù)階模型假設(shè)分?jǐn)?shù)階模型結(jié)構(gòu)參數(shù)。文獻(xiàn)[7]通過(guò)極大似然算法得到等效準(zhǔn)則函數(shù)，將參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，模型誤差主要集中在低頻段；文獻(xiàn)[8]提出了基于主元分析的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)子空間辨識(shí)方法，文獻(xiàn)[9]基于分?jǐn)?shù)階Riemann-Liouville定義把調(diào)制函數(shù)方法擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)辨識(shí)，計(jì)算量較大。文獻(xiàn)[10]對(duì)含有一個(gè)或者兩個(gè)偽極點(diǎn)的分?jǐn)?shù)階模型結(jié)構(gòu)提出一種辨識(shí)方法，把一個(gè)無(wú)限維問(wèn)題轉(zhuǎn)化到有限維范圍，但不能向更多偽極點(diǎn)分?jǐn)?shù)階模型推廣。

本文提出一種基于改進(jìn)的粒子群算法實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)辨識(shí)的方法，可實(shí)現(xiàn)模型參數(shù)和階次同時(shí)辨識(shí)。辨識(shí)精度高，而且易于編程實(shí)現(xiàn)，在有輸出隨機(jī)干擾的情況下也能辨識(shí)到精確的結(jié)果。

1 分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)描述

分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程。它可以看作是整數(shù)階微積分的推廣。

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分定義

在分?jǐn)?shù)階微積分理論發(fā)展過(guò)程中，出現(xiàn)了多種分?jǐn)?shù)階微積分的定義。常用的有Cauchy定義，Riemann-Liouville定義，Grumwald-Letnikov定義。

Cauchy分?jǐn)?shù)階積分定義：

(1)

式中，q為分?jǐn)?shù)階積分階次，C為f(t)單值與解析開(kāi)區(qū)域的光滑曲線(xiàn)，Γ為伽馬函數(shù)。

Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為：

(2)

(3)

(4)

式中，h為步長(zhǎng)，[X]表示對(duì)X的取整。當(dāng)q>0，該式表示分?jǐn)?shù)階微分；當(dāng)q<0，該式表示分?jǐn)?shù)階積分。

1.2 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)就是利用分?jǐn)?shù)階微分方程來(lái)描述其動(dòng)態(tài)特性的系統(tǒng)。線(xiàn)性分?jǐn)?shù)階SISO系統(tǒng)的微分方程一般表達(dá)式：

anDαny(t)+an-1Dαn-1y(t)+…+a0y(t)=

bmDβmu(t)+bm-1Dβm-1u(t)+…+b0u(t)

(5)

式中，ai、bi為實(shí)數(shù)，微分階次αi、βi可以為小數(shù)或者分?jǐn)?shù)，u(t)為系統(tǒng)輸入信號(hào)，y(t)為系統(tǒng)輸出信號(hào)。在零初始條件下，其傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

(6)

目前，辨識(shí)一般的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)是很困難的，因?yàn)橄到y(tǒng)的階數(shù)很難確定。文獻(xiàn)[11]提出連續(xù)階次分布的概念，把分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)一般表達(dá)式轉(zhuǎn)化成公因子階次表達(dá)式：

anDnαy(t)+an-1D(n-1)αy(t)+…+a0y(t)=

bmDmαu(t)+bm-1D(m-1)αu(t)+…+b0u(t)

(7)

式中，α為公因子階次。

2 權(quán)值自適應(yīng)粒子群算法

2.1 基本粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法采用“群體”和“進(jìn)化”的概念，依據(jù)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值大小來(lái)確定最優(yōu)解。

假設(shè)N維空間中，m個(gè)粒子組成一個(gè)群體，第i個(gè)粒子的位置記為Xi=(xi1，xi2，…，xiN)，其所經(jīng)歷的最好位置記為pbest=(pi1，pi2，…，piN)，運(yùn)動(dòng)速度記為Vi=(vi1，vi2，…，viN)，全局極值gbest=(gi1，gi2，…，giN)，則在迭代過(guò)程中，粒子按照式(8)、(9)更新自身速度與位置：

(8)

(9)

式中，i=1，2，3…，m；n=1，2，3…，N；c1、c2為學(xué)習(xí)因子，rand1、rand2是兩個(gè)相互獨(dú)立的0到1之間的隨機(jī)數(shù)。

式(8)表明粒子的速度更新由當(dāng)前狀態(tài)、自身經(jīng)驗(yàn)、和社會(huì)學(xué)習(xí)三部分組成，不僅平衡了局部和全局搜索能力，避免局部極小，同時(shí)使粒子間信息共享，最終到達(dá)最優(yōu)位置。將粒子的位置Xi帶入目標(biāo)函數(shù)就得到相應(yīng)的適應(yīng)值fi=f(Xi).

2.2 權(quán)值自適應(yīng)策略

基本粒子群算法存在容易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題，而且ω的大小會(huì)影響到算法的全局和局部搜索能力，因此可以通過(guò)調(diào)整慣性權(quán)值ω來(lái)改進(jìn)算法。

本文以所有粒子當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)值的平均值作為粒子評(píng)價(jià)指標(biāo)，把粒子群分為三個(gè)不同的子種群，每個(gè)子群根據(jù)粒子的目標(biāo)函數(shù)值自適應(yīng)的調(diào)整慣性權(quán)值ω，進(jìn)而增強(qiáng)種群多樣性以提高算法的全局和局部搜索能力。

假設(shè)m個(gè)粒子的粒子群，當(dāng)前所有粒子目標(biāo)函數(shù)值的平均值記為favg：

(10)

式中，fi為粒子的當(dāng)前適應(yīng)值。

慣性權(quán)值ω值的自適應(yīng)策略如下：

(11)

(12)

式中，ωmax為ω的最大值，iter為當(dāng)前迭代次數(shù)，itermax為允許迭代最大次數(shù)。

3)當(dāng)favg

(13)

式中，k1用來(lái)控制ω的上限，k1越大ω的上限越大，為使式(13)的ω值能夠大于1，本文取k1=1.5，則ω∈(0.5，1.1)；k2控制式(13)的調(diào)節(jié)能力，k2過(guò)大，ω會(huì)迅速越小，使得算法的全局搜索能力不足，k2過(guò)小，ω變化不明顯，容易導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)，本文選取k2=0.9.

3 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)辨識(shí)

文中將改進(jìn)的粒子群算法應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)辨識(shí)過(guò)程中，辨識(shí)步驟如下：

1)確定搜索向量，即待辨識(shí)的參數(shù)，包括模型參數(shù)和階次。

2)選擇目標(biāo)函數(shù)。將單位階躍信號(hào)加入到實(shí)際系統(tǒng)中，得到輸出響應(yīng)y(t)，將單位階躍信號(hào)加入到待辨識(shí)模型中，得到輸出響應(yīng)為yM(t)，選取算法的適應(yīng)度函數(shù)為，

3)算法初始化。初始化算法相關(guān)參數(shù)，產(chǎn)生隨機(jī)搜索向量。

4)確定截止條件。截止條件選擇最大迭代次或者目標(biāo)函數(shù)值。

4 仿真實(shí)例

為檢驗(yàn)所提分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)辨識(shí)方法的有效性，針對(duì)幾種不同模型做如下仿真，并考慮了無(wú)輸出干擾和有輸出干擾兩種情況。仿真取迭代次數(shù)100次為算法截止條件，即itermax=100.算法中參數(shù)設(shè)定如下：c1=c2=1.5，ωmin=0.4，ωmax=0.9.粒子初始化范圍在區(qū)間(0，3)內(nèi)。假設(shè)辨識(shí)的模型結(jié)構(gòu)為：

仿真過(guò)程中，將本文方法與文獻(xiàn)[12]的方法進(jìn)行比較，為避免算法初始值對(duì)比較結(jié)果的影響，兩種辨識(shí)方法采用同一組初始值。

1)輸出響應(yīng)無(wú)干擾，即在理想情況下通過(guò)上述方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)。

利用本文方法得到的系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)果為：目標(biāo)函數(shù)值f=3.086 2e-28，a1=2.300 0，a0=1.800 0，β=0.800 0.模型的單位階躍響應(yīng)如圖1，目標(biāo)函數(shù)值的對(duì)數(shù)隨迭代次數(shù)變化曲線(xiàn)如圖2.由圖可見(jiàn)，辨識(shí)模型與實(shí)際系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)高精度擬合，算法迭代20次時(shí)，辨識(shí)的誤差值為0.001 6，文獻(xiàn)[12]辨識(shí)的誤差值為1.214 8，由此表明，本文方法僅需較少的迭代次數(shù)就可辨識(shí)到期望的系統(tǒng)模型。

圖1 模型Ⅰ及其辨識(shí)模型的階躍響應(yīng)

圖2 模型Ⅰ目標(biāo)函數(shù)值的對(duì)數(shù)變化曲線(xiàn)

該模型為成比例分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型，取α=2β，利用本文方法得到的系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)果為：

f=7.684 6e-23，a2=2.300 0，a1=1.400 0，a0=1.000 0，β=1.100 0.如圖3所示，實(shí)際系統(tǒng)與辨識(shí)模型的單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)幾乎完全擬合。同樣，由圖4可見(jiàn)，對(duì)于成比例分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，本文方法優(yōu)于文獻(xiàn)[12]的方法。

該模型為不成比例分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型。利用本文方法得到的系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)果為：目標(biāo)函數(shù)值f=4.756 4e-20，a2=2.300 0，a1=1.400 0，a0=1.000，α=2.200 0，β=0.900 0，其階躍響應(yīng)及目標(biāo)函數(shù)值變化如圖5、6所示。由圖可見(jiàn)，實(shí)際模型與辨識(shí)模型的單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)高精度擬合。對(duì)于不成比例分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，本文方法優(yōu)于文獻(xiàn)[12]的方法，能夠得到很好的辨識(shí)效果。

圖3模型Ⅱ及其辨識(shí)模型的階躍響應(yīng)

Fig.3StepresponseofmodelⅡanditsidentificationmodel

圖6 模型Ⅲ目標(biāo)函數(shù)值的對(duì)數(shù)變化曲線(xiàn)

圖8 有干擾時(shí)模型Ⅲ目標(biāo)函數(shù)值的對(duì)數(shù)變化曲線(xiàn)

2)輸出響應(yīng)有干擾，在輸出響應(yīng)y(t)上疊加-0.03～0.03的隨機(jī)干擾。下面僅對(duì)模型Ⅲ進(jìn)行有隨機(jī)干擾的仿真分析。

利用本文方法得到的系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)果為：目標(biāo)函數(shù)值f=0.091 0，a2=2.287 0，a1=1.366 8，a0=0.999 3，α=2.187 6，β=0.891 5.如圖7，有隨機(jī)干擾的實(shí)際系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)與辨識(shí)模型的單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)基本一致。同樣，由圖8表明，在輸出響應(yīng)有干擾的情況下，本文方法明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[12]方法，在迭代到10次之后，本文方法辨識(shí)的誤差值明顯小于文獻(xiàn)[12]方法辨識(shí)的誤差值。

5 結(jié)論

按照粒子目標(biāo)函數(shù)值的不同，將粒子群分為三個(gè)子種群，引入慣性權(quán)值自適應(yīng)律來(lái)改進(jìn)基本粒子群算法，并利用改進(jìn)的粒子群算法提出一種分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)辨識(shí)方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的模型參數(shù)和階次參數(shù)同時(shí)辨識(shí)。方法選取實(shí)際系統(tǒng)與辨識(shí)系統(tǒng)的輸出誤差平方和為目標(biāo)函數(shù)。仿真結(jié)果表明，本文方法可有效辨識(shí)成比例和不成比例分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，算法辨識(shí)精度較高。

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