高武龍，陳志梅，孟文俊(.太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院，太原 03004；.太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，太原 03004)

起重機(jī)作業(yè)過(guò)程中，一方面要求系統(tǒng)快速響應(yīng)，實(shí)現(xiàn)小車(chē)定位，滿足運(yùn)送貨物的要求；另一方面，運(yùn)送過(guò)程中需有效地抑制負(fù)載的擺動(dòng)，使其盡量小，且到達(dá)目的地后迅速衰減為零，避免與周?chē)h(huán)境碰撞[1]。對(duì)于防擺問(wèn)題，Nowacki Z[2]很早就利用PD控制器進(jìn)行了研究，不過(guò)，其線性化的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但卻使橋式起重機(jī)系統(tǒng)喪失了一部分非線性特性。目前很多研究[3-4]，往往依賴于精確的模型、復(fù)雜的算法，或只能在理想條件實(shí)現(xiàn)，而在有外來(lái)攝動(dòng)和摩擦的情況下較難實(shí)現(xiàn)，控制器的魯棒性不強(qiáng)。無(wú)源控制方法早期多用于機(jī)器人控制，后經(jīng)Ortega等學(xué)者引入到電機(jī)控制中，因其從系統(tǒng)的能量入手，能夠簡(jiǎn)化控制器，特別是在魯棒性方面有較優(yōu)異的性能，近年來(lái)得到了廣泛的研究。方勇純[5]、蘇晴等[6]人在無(wú)源性分析的基礎(chǔ)上，為保證系統(tǒng)所有狀態(tài)漸近收斂，對(duì)系統(tǒng)控制Lyapunov能量函數(shù)(CLF)的勢(shì)能項(xiàng)進(jìn)行了修改，所設(shè)計(jì)的PD反饋控制能實(shí)現(xiàn)較快的收斂和一定的魯棒性。遺憾的是他們都是在理想的條件下實(shí)現(xiàn)的，而且盡管基于無(wú)源性，PD控制卻難以兼顧穩(wěn)定性和快速性，魯棒性也不強(qiáng)，易出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象和靜態(tài)誤差，降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性[7]。文獻(xiàn)[8]中方勇純等人為更進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)防擺效果，取控制Lyapunov函數(shù)為系統(tǒng)能量的平方，設(shè)計(jì)了一個(gè)非線性的控制器，該方法使得擺動(dòng)次數(shù)減少一些，不過(guò)擺角仍稍顯大，且對(duì)魯棒性未做深入研究。

本文將分析系統(tǒng)的無(wú)源性，在構(gòu)造控制Lyapunov能量函數(shù)基礎(chǔ)上，結(jié)合分?jǐn)?shù)階微分方法，設(shè)計(jì)出基于無(wú)源性的分?jǐn)?shù)階控制器，實(shí)現(xiàn)存在摩擦及外界干擾等環(huán)境下，小車(chē)的精確定位和負(fù)載的有效防擺。并研究最佳的分?jǐn)?shù)階階次區(qū)間、控制器的魯棒性與穩(wěn)定性。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

如圖1為橋式起重機(jī)的小車(chē)-負(fù)載二維模型，其描述的小車(chē)-負(fù)載動(dòng)態(tài)方程為[9]：

(1)

式中，m為負(fù)載質(zhì)量，M為小車(chē)質(zhì)量，l為繩長(zhǎng)，x為水平位移，θ為負(fù)載擺角，g為重力加速度，μx、μl為別水平運(yùn)動(dòng)和提升運(yùn)動(dòng)時(shí)摩擦系數(shù)，fx、fl分別為小車(chē)水平驅(qū)動(dòng)力和負(fù)載提升力。利用歐拉-拉格朗日(Euler-Lagrange)方程，通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)的能量建立動(dòng)力學(xué)模型是常見(jiàn)的方法。則式(1)可改寫(xiě)成如下矩陣形式：

(2)

圖1 橋式起重機(jī)的小車(chē)-負(fù)載模型

則系統(tǒng)狀態(tài):

q=(xlθ)T

(3)

慣量矩陣:

(4)

向心-柯氏力矩陣:

(5)

重力因子:

G(q)=(0 -mgcosθmglsinθ)T

(6)

控制輸入:

u=(fxfl0)T

(7)

需要指出的幾個(gè)系統(tǒng)性質(zhì)是：

(1)由于系統(tǒng)控制輸入量為二維而系統(tǒng)廣義變量為三維，且受到一些非線性因素，如，飽和特性、繼電特性等的影響，橋式起重機(jī)系統(tǒng)呈欠驅(qū)動(dòng)性和非線性；

2 系統(tǒng)無(wú)源性分析

無(wú)源控制理論從能量角度來(lái)分析系統(tǒng)性能，根據(jù)其定義，當(dāng)系統(tǒng)是耗散的，若供給率等于系統(tǒng)的輸入與輸出之積，則該系統(tǒng)是無(wú)源的[10]。若系統(tǒng)是無(wú)源的，則通過(guò)適當(dāng)?shù)妮敵龇答伳軌驅(qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制，使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，因此，對(duì)于橋式起重機(jī)這類非線性系統(tǒng)，無(wú)源性是研究其穩(wěn)定的一個(gè)重要特性。

系統(tǒng)總能量為：

(8)

其中，?P(q)/?q=G(q).

對(duì)式(8)求導(dǎo)，得：

(9)

(10)

3 控制器設(shè)計(jì)

Hc=λHH+PTΛp=λHH+λx(x(δ))2+λl(l(δ))2

(11)

其中，Λ=dig(λx,λl,0);λH,λx,λl≥0.

對(duì)式(11)進(jìn)行求導(dǎo)得:

(12)

令γ=2δ，則:

(13)

取如下控制律:

(14)

整理得:

(15)

4 仿真研究

進(jìn)一步縮小γ的范圍，選取γ∈(-0.1,0.1)進(jìn)行比較研究。在圖4中，相比γ∈(0.01,0.1)，當(dāng)γ∈(-0.1,-0.01)時(shí)，能量函數(shù)Hc能夠在更短的時(shí)間衰減到0.不過(guò)，如圖5所示，當(dāng)γ≤0，位移曲線存在超調(diào)量，使得系統(tǒng)的定位效果不好。

圖2 0<γ<0.5時(shí)能量變化

圖3 -0.5<γ<0時(shí)能量變化

圖4 -0.1<γ<0.1時(shí)能量變化

圖5γ<0時(shí)小車(chē)位移

Fig.5Trolleyposition(γ<0)

圖6 小車(chē)位移

圖8 負(fù)載擺角曲線1

圖10 負(fù)載擺角曲線3

當(dāng)γ=0時(shí)，控制器將會(huì)變成一個(gè)無(wú)源PD控制器，選擇γ=0.01設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階控制器與其進(jìn)行比較研究，其仿真結(jié)果如圖6-圖8所示。由圖6-圖8，可以發(fā)現(xiàn)，盡管PD控制器小車(chē)速度和繩長(zhǎng)變化速度稍快、擺動(dòng)次數(shù)也少一些，不過(guò)，繩長(zhǎng)卻定位不準(zhǔn)，擺角也明顯更大。反觀分?jǐn)?shù)階控制器，小車(chē)在40 s內(nèi)到達(dá)了期望的位置，僅比PD控制器慢3 s，然而，卻在10 s左右完成提升動(dòng)作，繩長(zhǎng)準(zhǔn)確變?yōu)槠谕? m，整個(gè)過(guò)程擺動(dòng)的次數(shù)不多，幾乎呈諧振，擺角控制在(-0.1rad，0.1rad)以內(nèi)，并在t=25 s時(shí)實(shí)現(xiàn)“零擺”。由此可見(jiàn)，本文設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階控制器改善了PD控制的性能，使得系統(tǒng)快速收斂而且準(zhǔn)確。

而對(duì)存在摩擦和外界干擾的情況下的系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性進(jìn)行的研究，仿真結(jié)果如圖9-圖10所示?？砂l(fā)現(xiàn)，有阻尼狀態(tài)下比無(wú)阻尼狀態(tài)(即μx=μl=0)時(shí)的擺動(dòng)稍微小一些，不過(guò)都在(-0.1rad，0.1rad)以內(nèi)，說(shuō)明控制器能有效地抑制摩擦的影響。而圖10中，在t=30 s時(shí)對(duì)系統(tǒng)所加R=1的階躍干擾和斜率k=-0.5的斜坡干擾，使得擺角在(-0.02rad，0.02rad)以內(nèi)小幅振蕩，并在15 s內(nèi)迅速消除。由此可見(jiàn)，系統(tǒng)有著良好的穩(wěn)定性和強(qiáng)魯棒性。

5 結(jié)論

本文在系統(tǒng)無(wú)源性分析的基礎(chǔ)上，修改了系統(tǒng)的控制Lyapunov能量函數(shù)，改造傳統(tǒng)的PD控制器，設(shè)計(jì)了無(wú)源分?jǐn)?shù)階控制器。該控制器實(shí)現(xiàn)了小車(chē)的精確定位和負(fù)載的有效防擺，確保了系統(tǒng)的穩(wěn)定，提高了系統(tǒng)的魯棒性和快速性等性能。理論分析和仿真結(jié)果表明，無(wú)源控制理論和分?jǐn)?shù)階微分方法的有效結(jié)合應(yīng)用于橋式起重機(jī)的防擺中，能取得良好的效果。

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