于曉磐

做數(shù)學題時，經(jīng)常會碰到在某圖形中填寫數(shù)字的題型，這樣的題如果不掌握填數(shù)的方法，光靠碰數(shù)是不行的，那樣不僅浪費時間，還容易算錯。填數(shù)時，要仔細觀察圖形，確定圖形中關鍵的位置應填什么數(shù)字，原則上應首先考量圖形的頂點及中間位置。另外，要將所填的空與所提供的數(shù)字聯(lián)系起來，從而確定關鍵位置應填的數(shù)字。關鍵位置的數(shù)確定好了，其他位置就迎刃而解了。下面通過幾個實例來介紹一下解題規(guī)律。

例1. 把1～8填入下圖○內(nèi)，使每邊上3個數(shù)的和最大，并求出最大的和是多少？

【解題分析】

這道填數(shù)題的圖形相對比較簡單，要使每邊上3個數(shù)之和最大，容易想到把8、7、6、5填在四角，因為4個角上的數(shù)在求和時各用了2次，其他數(shù)各用了1次。由此可以列出求和的算式為：

[（8+7+6+5）×2+4+3+2+1]÷4=62÷4

和不是整數(shù)，說明四條邊上的總和要減少2才行，這只要將填在角上的5換成3即可。所以，最大的和為：（62-2）÷4=15。

例2. 把9個數(shù)1、2、3……9填進圖1中的各個圓圈，使下圖中7個等腰三角形頂點上3個數(shù)的和都相等。

【解題分析】

在填數(shù)之前，先看看圖中有哪七個等腰三角形？

首先從圖中看到4個小三角形，其中有3個分別在圖形的左上部、右上部和下部，另一個在圖形的中間。然后看到3個大三角形，它們各有一邊在圖形的六角形邊界上，這一邊所對的頂點在六角形的內(nèi)部。

圖形外圍的6個圓圈，各屬于一個小三角形和一個大三角形；圖形中間的3個圓圈，每一個都同時屬于兩個小三角形和一個大三角形。

先考慮角上的3個小三角形，它們各據(jù)一方，互不干擾。其中每個小三角形頂點上的3個數(shù)編成一組。要能解答這個填數(shù)問題，先要把1、2、3……9分成3個一組，使各組的和相等。這恰好就是剛剛做過的“均勻搭配”的問題，它的答案是：

9+4+2=8+6+1=7+5+3，

9+5+1=8+4+3=7+6+2。

由此可見，9、8、7這3個數(shù)，每一個都只能屬于2個不同的等腰三角形，并且每兩個都不能填寫在同一個等腰三角形的頂點上。因而9、8、7必須相間排列在圖形的六角形邊界上，如左圖。

例3. 把1、3、5……31這16個單數(shù)填入圖中的小三角形內(nèi)，使6個大三角形內(nèi)的4個數(shù)之和都等于64。該怎么填？

【解題分析】

本題要填的數(shù)字比較多，似乎很難理出頭緒，但是分析一下題干發(fā)現(xiàn)，從1、3、5……31這些數(shù)中不難可以看出：1與31、3與29……15與17的和都是32。不妨用圖來表示：

每個大三角形又都有4個小三角形，因此可以選兩組和是32的數(shù)，4個數(shù)的和正好就是64?？梢詮闹虚g開始，先選15、17，再選兩頭的兩個數(shù)1、31。這4個數(shù)填在一個大三角形里，正好滿足要求。

為了簡便，填的時候可從左至右，首先填在左邊第一個大三角形，它是正著放的，再填左邊第二個倒放的三角形。就這樣一正一反，使所有三角形都按要求填一個數(shù)字。如左面這種填法。

練習題

1. 將1～10這十個數(shù)字分別填入下圖的小圓圈中，使每條線上四個數(shù)的和是21，每個三角形頂點上三個數(shù)的和都等于17。

2. 把1～10這十個數(shù)填入下圖中，使每個正方形頂點圓圈內(nèi)四個數(shù)之和都相等，而且最大。這個和是多少？

3. 把2、3、4、6、7、10、11填入下圖空白圓圈內(nèi)，使每個大圓上的四個小圓圈內(nèi)的數(shù)字之和都是24。

做數(shù)學題時，經(jīng)常會碰到在某圖形中填寫數(shù)字的題型，這樣的題如果不掌握填數(shù)的方法，光靠碰數(shù)是不行的，那樣不僅浪費時間，還容易算錯。填數(shù)時，要仔細觀察圖形，確定圖形中關鍵的位置應填什么數(shù)字，原則上應首先考量圖形的頂點及中間位置。另外，要將所填的空與所提供的數(shù)字聯(lián)系起來，從而確定關鍵位置應填的數(shù)字。關鍵位置的數(shù)確定好了，其他位置就迎刃而解了。下面通過幾個實例來介紹一下解題規(guī)律。

例1. 把1～8填入下圖○內(nèi)，使每邊上3個數(shù)的和最大，并求出最大的和是多少？

【解題分析】

這道填數(shù)題的圖形相對比較簡單，要使每邊上3個數(shù)之和最大，容易想到把8、7、6、5填在四角，因為4個角上的數(shù)在求和時各用了2次，其他數(shù)各用了1次。由此可以列出求和的算式為：

[（8+7+6+5）×2+4+3+2+1]÷4=62÷4

和不是整數(shù)，說明四條邊上的總和要減少2才行，這只要將填在角上的5換成3即可。所以，最大的和為：（62-2）÷4=15。

例2. 把9個數(shù)1、2、3……9填進圖1中的各個圓圈，使下圖中7個等腰三角形頂點上3個數(shù)的和都相等。

【解題分析】

在填數(shù)之前，先看看圖中有哪七個等腰三角形？

首先從圖中看到4個小三角形，其中有3個分別在圖形的左上部、右上部和下部，另一個在圖形的中間。然后看到3個大三角形，它們各有一邊在圖形的六角形邊界上，這一邊所對的頂點在六角形的內(nèi)部。

圖形外圍的6個圓圈，各屬于一個小三角形和一個大三角形；圖形中間的3個圓圈，每一個都同時屬于兩個小三角形和一個大三角形。

先考慮角上的3個小三角形，它們各據(jù)一方，互不干擾。其中每個小三角形頂點上的3個數(shù)編成一組。要能解答這個填數(shù)問題，先要把1、2、3……9分成3個一組，使各組的和相等。這恰好就是剛剛做過的“均勻搭配”的問題，它的答案是：

9+4+2=8+6+1=7+5+3，

9+5+1=8+4+3=7+6+2。

由此可見，9、8、7這3個數(shù)，每一個都只能屬于2個不同的等腰三角形，并且每兩個都不能填寫在同一個等腰三角形的頂點上。因而9、8、7必須相間排列在圖形的六角形邊界上，如左圖。

例3. 把1、3、5……31這16個單數(shù)填入圖中的小三角形內(nèi)，使6個大三角形內(nèi)的4個數(shù)之和都等于64。該怎么填？

【解題分析】

本題要填的數(shù)字比較多，似乎很難理出頭緒，但是分析一下題干發(fā)現(xiàn)，從1、3、5……31這些數(shù)中不難可以看出：1與31、3與29……15與17的和都是32。不妨用圖來表示：

每個大三角形又都有4個小三角形，因此可以選兩組和是32的數(shù)，4個數(shù)的和正好就是64?？梢詮闹虚g開始，先選15、17，再選兩頭的兩個數(shù)1、31。這4個數(shù)填在一個大三角形里，正好滿足要求。

為了簡便，填的時候可從左至右，首先填在左邊第一個大三角形，它是正著放的，再填左邊第二個倒放的三角形。就這樣一正一反，使所有三角形都按要求填一個數(shù)字。如左面這種填法。

練習題

1. 將1～10這十個數(shù)字分別填入下圖的小圓圈中，使每條線上四個數(shù)的和是21，每個三角形頂點上三個數(shù)的和都等于17。

2. 把1～10這十個數(shù)填入下圖中，使每個正方形頂點圓圈內(nèi)四個數(shù)之和都相等，而且最大。這個和是多少？

3. 把2、3、4、6、7、10、11填入下圖空白圓圈內(nèi)，使每個大圓上的四個小圓圈內(nèi)的數(shù)字之和都是24。

做數(shù)學題時，經(jīng)常會碰到在某圖形中填寫數(shù)字的題型，這樣的題如果不掌握填數(shù)的方法，光靠碰數(shù)是不行的，那樣不僅浪費時間，還容易算錯。填數(shù)時，要仔細觀察圖形，確定圖形中關鍵的位置應填什么數(shù)字，原則上應首先考量圖形的頂點及中間位置。另外，要將所填的空與所提供的數(shù)字聯(lián)系起來，從而確定關鍵位置應填的數(shù)字。關鍵位置的數(shù)確定好了，其他位置就迎刃而解了。下面通過幾個實例來介紹一下解題規(guī)律。

例1. 把1～8填入下圖○內(nèi)，使每邊上3個數(shù)的和最大，并求出最大的和是多少？

【解題分析】

這道填數(shù)題的圖形相對比較簡單，要使每邊上3個數(shù)之和最大，容易想到把8、7、6、5填在四角，因為4個角上的數(shù)在求和時各用了2次，其他數(shù)各用了1次。由此可以列出求和的算式為：

[（8+7+6+5）×2+4+3+2+1]÷4=62÷4

和不是整數(shù)，說明四條邊上的總和要減少2才行，這只要將填在角上的5換成3即可。所以，最大的和為：（62-2）÷4=15。

例2. 把9個數(shù)1、2、3……9填進圖1中的各個圓圈，使下圖中7個等腰三角形頂點上3個數(shù)的和都相等。

【解題分析】

在填數(shù)之前，先看看圖中有哪七個等腰三角形？

首先從圖中看到4個小三角形，其中有3個分別在圖形的左上部、右上部和下部，另一個在圖形的中間。然后看到3個大三角形，它們各有一邊在圖形的六角形邊界上，這一邊所對的頂點在六角形的內(nèi)部。

圖形外圍的6個圓圈，各屬于一個小三角形和一個大三角形；圖形中間的3個圓圈，每一個都同時屬于兩個小三角形和一個大三角形。

先考慮角上的3個小三角形，它們各據(jù)一方，互不干擾。其中每個小三角形頂點上的3個數(shù)編成一組。要能解答這個填數(shù)問題，先要把1、2、3……9分成3個一組，使各組的和相等。這恰好就是剛剛做過的“均勻搭配”的問題，它的答案是：

9+4+2=8+6+1=7+5+3，

9+5+1=8+4+3=7+6+2。

由此可見，9、8、7這3個數(shù)，每一個都只能屬于2個不同的等腰三角形，并且每兩個都不能填寫在同一個等腰三角形的頂點上。因而9、8、7必須相間排列在圖形的六角形邊界上，如左圖。

例3. 把1、3、5……31這16個單數(shù)填入圖中的小三角形內(nèi)，使6個大三角形內(nèi)的4個數(shù)之和都等于64。該怎么填？

【解題分析】

本題要填的數(shù)字比較多，似乎很難理出頭緒，但是分析一下題干發(fā)現(xiàn)，從1、3、5……31這些數(shù)中不難可以看出：1與31、3與29……15與17的和都是32。不妨用圖來表示：

每個大三角形又都有4個小三角形，因此可以選兩組和是32的數(shù)，4個數(shù)的和正好就是64?？梢詮闹虚g開始，先選15、17，再選兩頭的兩個數(shù)1、31。這4個數(shù)填在一個大三角形里，正好滿足要求。

為了簡便，填的時候可從左至右，首先填在左邊第一個大三角形，它是正著放的，再填左邊第二個倒放的三角形。就這樣一正一反，使所有三角形都按要求填一個數(shù)字。如左面這種填法。

練習題

1. 將1～10這十個數(shù)字分別填入下圖的小圓圈中，使每條線上四個數(shù)的和是21，每個三角形頂點上三個數(shù)的和都等于17。

2. 把1～10這十個數(shù)填入下圖中，使每個正方形頂點圓圈內(nèi)四個數(shù)之和都相等，而且最大。這個和是多少？

3. 把2、3、4、6、7、10、11填入下圖空白圓圈內(nèi)，使每個大圓上的四個小圓圈內(nèi)的數(shù)字之和都是24。