楊明星，郭宗和，王德軍，崔榮江

(1.山東理工大學(xué)，山東淄博 255049；2.山東省農(nóng)業(yè)機(jī)械科學(xué)研究所，山東濟(jì)南 250100)

空間四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)較Steward等并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、造價(jià)低，同時(shí)比三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有較多的自由度等優(yōu)點(diǎn)，是國(guó)內(nèi)外研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)的重要類(lèi)型之一。CARRICATO［1］提出了一種完全各向同性的四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對(duì)此機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析和實(shí)時(shí)控制研究。GOGU［2］介紹了無(wú)奇異完全各相同性的T2R2型四自由度并聯(lián)機(jī)器人，分析驗(yàn)證了操縱器有很好的運(yùn)動(dòng)傳輸能力。黃真等人［3］提出了一種新型4-RPTR并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，求出機(jī)構(gòu)的位置正解并繪制了對(duì)應(yīng)的三維機(jī)構(gòu)裝配簡(jiǎn)圖。馬履中等［4］研究一種新型3T-1R四自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，運(yùn)用正交遺傳算法對(duì)機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。趙鐵石等［5］基于螺旋理論綜合出三移一轉(zhuǎn)四自由度雙重驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。傘紅軍等［6］提出一種新型2-TP/2-TPS空間4自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，運(yùn)用約束螺旋理論對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)和奇異位形進(jìn)行分析研究。游達(dá)章等［7］設(shè)計(jì)了一種可實(shí)現(xiàn)三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)的四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，分析了其工作空間的設(shè)計(jì)原理及過(guò)程。季曄等人［8］以各性能指標(biāo)在任務(wù)空間內(nèi)變化較小且分布均勻?yàn)槟繕?biāo)，對(duì)4-UPU四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化得到最佳的機(jī)構(gòu)參數(shù)。

2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)是作者所在課題組提出的［9］一種新型空間4自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)三維移動(dòng)和繞著y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。本文作者對(duì)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，給出約束條件的基礎(chǔ)上以機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)空間最大為目標(biāo)函數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，對(duì)優(yōu)化的結(jié)果運(yùn)用Adams軟件驗(yàn)證了該機(jī)構(gòu)在減震平臺(tái)上的應(yīng)用。

1 機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型的建立

2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)B1B2B3B4，定平臺(tái)A1A2A3A4以及連接兩平臺(tái)的4個(gè)支鏈組成，其中1、3支鏈為對(duì)稱(chēng)布置且由結(jié)構(gòu)相同的R-P-C副組成，2、4支鏈為對(duì)稱(chēng)布置且由結(jié)構(gòu)相同的S-P-C組成。動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)均為矩形，且與1、3支鏈相連的動(dòng)、定平臺(tái)長(zhǎng)度分別為a、d，與2、4支鏈相連的動(dòng)、定平臺(tái)長(zhǎng)度分別為b、c。根據(jù)該機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)，建立定坐標(biāo)系O-XYZ在定平臺(tái)的中心位置O上，動(dòng)坐標(biāo)系p-xyz在動(dòng)平臺(tái)的重心位置p上。通過(guò)驅(qū)動(dòng)縱向移動(dòng)副P(pán)i改變支鏈SiCi的長(zhǎng)度和轉(zhuǎn)向，從而實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)位姿的變化。

圖1 2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

1.2 機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算

機(jī)構(gòu)的第2、4支鏈布置相同且都為無(wú)約束支鏈，只需對(duì)該機(jī)構(gòu)的第1、3支鏈進(jìn)行螺旋分析?，F(xiàn)取圖2所示機(jī)構(gòu)的支鏈1進(jìn)行分析，可得:

圖2 支鏈1螺旋系的建立

根據(jù)螺旋理論中運(yùn)動(dòng)螺旋與約束螺旋之間的互易關(guān)系，可求得RPC支鏈約束反螺旋為兩力偶:

因1、3兩條RPC支鏈平行布置，可知:

根據(jù)線(xiàn)矢在共軸條件下最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)數(shù)為1，則機(jī)構(gòu)

約束螺旋系仍為兩力偶:

基于以上分析，由于機(jī)構(gòu)約束反螺旋為兩力偶，約束了動(dòng)平臺(tái)繞X軸和Z軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，所以機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)三平移和繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

1.3 機(jī)構(gòu)的位置反解

位置反解可以簡(jiǎn)單的描述為:已知?jiǎng)悠脚_(tái)的位姿(xP，yP，zP，β)，求解縱向連桿的桿長(zhǎng)Li。選擇RPY(繞固定軸Z-X-Y旋轉(zhuǎn))坐標(biāo)表示法描述姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣，定義首先將動(dòng)坐標(biāo)系繞定坐標(biāo)系的Z軸旋轉(zhuǎn)α角，再繞定坐標(biāo)系的Y軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞定坐標(biāo)系的X軸旋轉(zhuǎn)γ角。由于α=γ=0則兩坐標(biāo)系之間的變換矩陣為:

則:R=TR0+P

式中:R為動(dòng)平臺(tái)上一點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo);

R0為動(dòng)平臺(tái)上一點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系中的坐標(biāo);

P為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)p在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

同理，可求得另外3個(gè)桿長(zhǎng)

對(duì)于已知?jiǎng)悠脚_(tái)的位姿，則由公式 (4)— (7)可以求出縱向的4個(gè)驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)，即求得機(jī)構(gòu)的位置反解。

1.4 機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣及其奇異性

這里，J為動(dòng)平臺(tái)位姿速度對(duì)各支鏈輸入速度的一階影響系數(shù)矩陣，即通常所說(shuō)的Jacobian矩陣。

可以看出，機(jī)構(gòu)的逆雅克比矩陣J1的行列式不可能為0，故以正雅克比矩陣J2為基礎(chǔ)，對(duì)該機(jī)構(gòu)的奇異位型進(jìn)行分析。令det(B)=0，整理得

由式 (10)可求得機(jī)構(gòu)發(fā)生位形奇異的情況:

(1)當(dāng)d－a=0時(shí)，即第1、3支鏈與動(dòng)、定平臺(tái)相連處的尺寸相同，在實(shí)際中這種奇異位型是可以避免的。

(2)當(dāng)xpsinβ+zpcosβ=0時(shí)，用Mathematica繪圖得，機(jī)構(gòu)處于奇異位型時(shí)的點(diǎn)，如圖3所示。

圖3 機(jī)構(gòu)奇異位形圖

針對(duì)這種奇異情形，在進(jìn)行機(jī)構(gòu)軌跡規(guī)劃時(shí)要盡量避免出現(xiàn)的奇異點(diǎn)。

(3) 當(dāng)zp(xpcosβ－zpsinβ)+0.25bsinβ(b－ccosβ)=0時(shí)，機(jī)構(gòu)出現(xiàn)的奇異位型與機(jī)構(gòu)的尺寸和軌跡點(diǎn)同時(shí)有關(guān)，這就要求我們根據(jù)實(shí)際情況合理的進(jìn)行尺寸選取和軌跡規(guī)劃。

2 2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化及結(jié)果分析

2.1 機(jī)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化函數(shù)的建立

在實(shí)際的問(wèn)題中，希望所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)盡可能地使整個(gè)機(jī)構(gòu)具有較大空間，并且希望整體機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)性能較好。因此，選取機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)、設(shè)計(jì)變量、約束條件如下:

(1)目標(biāo)函數(shù):

其中，v=Aw/A0，使用蒙特卡洛方法［12］求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間符合條件的采樣點(diǎn)空間Aw與采樣空間點(diǎn)集A0的比值v(也稱(chēng)相對(duì)體積)，V0為選定空間的體積。

(2)設(shè)計(jì)變量:

其中:a、b分別為動(dòng)平臺(tái)的長(zhǎng)和寬;c、d分別為定平臺(tái)的長(zhǎng)和寬，h為動(dòng)、定平臺(tái)的初始高度差。

(3)約束條件:根據(jù)整體結(jié)構(gòu)尺寸及布置的可能性要求，在設(shè)計(jì)中給出個(gè)設(shè)計(jì)變量的允許變化范圍，可以表示為:s.tlb≤X≤ub其中，lb為變量下限，ub為變量上限。

2.2 優(yōu)化實(shí)例

根據(jù)2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，設(shè)動(dòng)平臺(tái)的尺寸為a=150 mm，b=140 mm，則影響該機(jī)構(gòu)性能的因素主要有以下幾個(gè)方面:

(1)定平臺(tái)的整體尺寸c、d，以及動(dòng)、定平臺(tái)的初始高度差h。

(2)縱向移動(dòng)副滑移量限制。從并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用出發(fā)，絕大多數(shù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)各分支桿的滑移長(zhǎng)度變化是有范圍的。這里假設(shè)機(jī)構(gòu)的4個(gè)縱向連桿的桿長(zhǎng)Li相對(duì)初始桿長(zhǎng)L0的滑移量Si;位移最大量為Smax，則機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)中應(yīng)符合的條件是-Smax≤Si≤Smax

(3)轉(zhuǎn)動(dòng)副和球副的轉(zhuǎn)角限制。轉(zhuǎn)動(dòng)副和球副在連接機(jī)構(gòu)連桿的同時(shí)，也要求轉(zhuǎn)角不能隨意轉(zhuǎn)動(dòng)，必須符合設(shè)計(jì)的要求。這里定義縱向連桿與豎直方向的夾角為 θi，夾角允許的最大值為 θmax，最小值為θmin，則 θi應(yīng)滿(mǎn)足的條件是:θmin≤θi≤θmax機(jī)構(gòu)參數(shù)的約束條件為:

2.3 優(yōu)化結(jié)果及分析

為了研究方便，分別取定平臺(tái)的長(zhǎng)c、寬d以及動(dòng)、定平臺(tái)的初始高度差h這三個(gè)參數(shù)中的一個(gè)為變量，其余2個(gè)為常數(shù)進(jìn)行分析，得到結(jié)果如圖4所示。

圖4 結(jié)構(gòu)參數(shù)與工作空間關(guān)系

可以看出，隨著定平臺(tái)的尺寸增大，機(jī)構(gòu)的工作空間先增大后減小;并且當(dāng)與動(dòng)、定平臺(tái)相連的同一支鏈的對(duì)應(yīng)尺寸相同時(shí)，機(jī)構(gòu)的工作空間達(dá)到最大值。同時(shí)，當(dāng)想讓機(jī)構(gòu)達(dá)到更大工作空間時(shí)，在滿(mǎn)足一定空間和性能的情況下盡量使初始動(dòng)、定平臺(tái)的高度差盡可能大些。

3 仿真驗(yàn)證及結(jié)論

3.1 仿真驗(yàn)證

圖5 2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的仿真模型

在希望機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)空間較大的同時(shí)盡量避免因結(jié)構(gòu)參數(shù)帶來(lái)位形奇異，期望機(jī)構(gòu)有較好的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能?；谝陨戏治觯O(shè)想把該并聯(lián)機(jī)構(gòu)用于減震平臺(tái)，選取機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為a=150 mm，b=140 mm，c=140 mm，d=140 mm，h=170 mm在 ADAMS環(huán)境下建立的2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)減震平臺(tái)模型，如圖5所示。

為了驗(yàn)證減震效果，取動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量為20 kg，在縱向連桿移動(dòng)副處添加k=10.0 N/mm、阻尼系數(shù)為c=2.0 N·s/mm的阻尼彈簧，并且對(duì)動(dòng)平臺(tái)中心施加x、y、z3個(gè)方向的脈沖力F和繞著y向脈沖力矩M，力的幅值為500 N，力矩幅值為500 N·mm，脈沖總時(shí)間都為0.4 s，脈沖函數(shù)為:STEP(time，0，0，0.1，500)+STEP(time，0.1，500，0.3，-500)+STEP(time，0.3， -500，0.4，0)，進(jìn)行End Time=10、steps=100的動(dòng)力學(xué)仿真，可以得到在脈沖激勵(lì)下，動(dòng)平臺(tái)的加速度隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)。如圖6所示，橫坐標(biāo)為時(shí)間 (單位s)，縱坐標(biāo)為加速度 (單位mm/s2)，由曲線(xiàn)可以看出動(dòng)平臺(tái)的加速度有明顯的衰減，因此該機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)很好的減震性能。

圖6 減震平臺(tái)的加速度曲線(xiàn)圖

3.2 結(jié)論

(1)對(duì)2-RPC/2-SPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，求得了該機(jī)構(gòu)的位置反解、速度雅克比矩陣并進(jìn)行了奇異性分析，為該新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究提供了理論基礎(chǔ)。

(2)給出約束條件的基礎(chǔ)上以機(jī)構(gòu)的工作空間最大為目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化出最佳尺寸參數(shù)，仿真驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)果在并聯(lián)機(jī)構(gòu)減震平臺(tái)的應(yīng)用，對(duì)該機(jī)構(gòu)的其他應(yīng)用具有重要參考的價(jià)值。

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